2、函数的性质

1、函数的性质:7、框架图1.单调性(熟记初等函数单调性、图象法、复合函数法(同增异减)、导数法)2.奇偶性否非奇非偶函数f x f x-且 f x f x既是奇函数又是偶函数定义域是否关于原点对称口 f x f x_ - 7m是*奇函数注：偶函数的图象关于 y轴对称，在对称区间上单调性相反；奇函数的图象关于原点对称，在对称区 间上单调性相同，若在 x 0处有定义，则f 00.3.周期性：设函数y f x x D ,如果存在非零常数 T ,使得 x D, (x T) D有f x T f x , 则函数f x为周期函数，T为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正 数叫做最

2、小正周期.注：(1)周期函数可任意加减周期的整数倍，即 f x f x nT ,n Z;1, ,.1(2)若fxT fx或fxT fx T或fxT 或f x T ，则函数f x的周期为2T. f xf x4 .对称性：若fax fax或fx 22*,则*关于直线x a对称.a b ,(2)右函数f x满足f(a x) f (b x),则有函数f x的图象关于直线 x 对称。2a b(3)若函数f x满足f(a x) f(b x) 2c,则有函数f x的图象关于点 ,c中心对称25 .三个常见结论已知函数对称性，将其转化为函数周期性(可以根据y=sinx的图象理解)：若f x的图象在定义域内有两

3、条对称轴x a,x b ,则f x的一个周期为T 2b a ；(2)若f x的图象在定义域内有两个对称中心a,0 , b,0 ,则f x的一个周期为T 2b a ；若f x的图象在定义域内有对称轴 x a和对称中心b,0，则f x的一个周期为T 4b a二、方法诠释第一方面：单调性问题例1:下列四个函数中，在(0, 十 )上为增函数的是()1A. f(x) = 3-xB. f(x)=x2-3xC. f(x)= - - D. f(x)=- |x|x I 13._. 解：通过回图，可以得到当x0时，f(x) = 3 x为减函数；当xC (0,3)时，f(x) = x23x为减函数,3当日2,21)

4、时，f(x)= x23x为增函数；当xC(0, +8)时，f(x) = 为增函数; x I 1当xC(0, +8)时，f(x)=|x|为减函数，故选 C.第二方面：函数的奇偶性2xa为常数)例2:已知函数f(x) 勺上是奇函数21(1)求a的值；(2)解不等式f(x)解：(1)因为f(x)2 a _r是R上的奇函数，则f( x) f(x) 021所以2x a2x 1xxx x2 a 2 a 1 a 2(21)(1 a) 1 a 02 x 12x 112x2x 1所以a 1 6分 f (x)x21f x218分 解得x 2 ,10分所以不等式的解集为,212分第三方面：奇偶性、周期性、单调性的综

5、合问题例3.1:已知定义在 R上的奇函数f(x)满足f(x 4)=f(x),且在区间0,2上是增函数，则()A. f(-25)f(11)f(80) B. f(80)vf(11)vf( 25) C. f(11) v f(80) v f( 25) D. f(25) v f(80) v f(11) 解：f(x)满足f(x4) = f(x),f(x8)=f(x), .函数f(x)是以8为周期的周期函数，则 f( 25)=f(1), f(80) = f(0), f(11)=f(3).由f(x)是定义在 R上的奇函数，且满足 f(x 4) = -f(x),得f(11)=f(3)=f(1) = f(1).f

6、(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，f(x)在区间2,2上是增函数，.f(-1)f(0)f(1),即 f(-25)f(80)b时，ab=a;当ab时，a b= b2,则函数f(x) = (1 x)x-2 x, xC2, 2的最大值等于()A. - 1B. 1C, 6 D. 12解析：选 C 由已知得当一2WxW1 时，f(x)=x-2,当 1X11时，f(x2) f(x1)，八1(X2-xi)abB. cbaC. acbD.bac3.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间( 8, 0)上单调递增.若实数 a满足f(2|a 1|)f(-V2),则a的取值范围是(A.(,2)

7、,1,3B.(,2) U (2,13、，3C. ( ,)D.(,2 224.已知函数f(x) = x2 m是定乂在区间-3 mm2m上的奇函数，则下列成立的是A.f(m)f(0) D. f(m)与 f(0)大小不确定5.奇函数 f(x)的周期为 4,且 x e 0,2 , f(x) = 2x x2,则 f(2 018) + f(2 019) + f(2 020)的值为6 .已知f(x)是R上的偶函数，且当 x0时，f(x) = x2-x- 1,则当xf(a+3),则实数a的取值范围为2 a x+ 18 .已知 f(x)= a, x1,x0成立，那么a的取值范围9 .已知定义域为R的函数f(x)

8、1 一 - 一 是奇函数.4x 1(1)求a的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若对任意的t R,不等式f(t2 2t) f(2t2 k) 0恒成立，求k的取值范围.10.设函数f(x) kx2 2x ( k为实常数)为奇函数，函数 g(x) af(x) 1(a 0且a 1).(1)求k的值；求g(x)在1,2上的最大值;(3)当a 在时,g(x) t2 2mt 1对所有的x 1,1及m 1,1恒成立，求实数t的取值范围.函数的性质答案：1.解：选D A选项定义域为R,由于f(_x)=/1 + x2 =严中= f(x),所以是偶函数.B选项定义域为x|xw 0由于f( - x) = - x

9、 = _ f(x),所以是奇函数.C选项定义域为 R,由于f(x) = 2 xH1 =4+x222x=f(x),所以是偶函数.D选项定义域为 R,由于f(x)= x+ex= 4 x,所以是非奇非偶函数.e1、52.斛：由f(x)的图象关于直线x= 1对称，可得f( m =f(3).由x2xi1时，f(x2)f(xi)(x2xi)0恒成立，55知 f(x)在(1, + 8)上单倜递减. 125f(-)f(e),bac.答案D3 .解：选C因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(一8, 0)上单调递增，所以f(-x) = f(x),且f(x)1在(0, + 8)上单倜递减.由 f(2a 1|)

10、f(*), f( 42) = f(42),可得 21a 11VM2,即 |a1|万，所以1 av3. 224 .解：选A 因为函数f(x)是奇函数，所以一3-m + m2-m=0,解得m = 3或一1.当m= 3时，函数f(x) = x1,定义域不是 6,6,不合题意；当 m=1时，函数f(x) = x3在定义域2,2上单调递增，又 m0,所 以 f(m)f(0).5 .解：函数 f(x)是奇函数，则 f(0) = 0,由 f(x) = 2x-x2, xC0,2知 f(1) = 1, f(2)=0,又 f(x)的周期为 4,所 以 f(2 018)+f(2 019)+f(2 020)=f(2)

11、 + f(3) + f(0) = f(3)=f( 1)=-f(1) = - 1.答案：一16 .解：当 x0,则 f(x)=(x)2( x)1 = x2+x 1, f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(x) =f(x)=x2+x 1.答案：x2 + x1a2 a0,7 .解：由已知可得 a+30, 解得一3a3.则实数a的取值范围为(3, - 1)U (3, + ). a2 a a+ 3,答案：(3, 1)U(3, +8)2-a0,338.解：由已知条件得f(x)为增函数,a1,解得322,，2的取值范围是22).222a x 1+1a,3答案：3,2)a -010,得a40 129 .解：(

12、1)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)=0,所以:1 一、11(2)由a 2.，得f(x)772.根据复合函数单调性的判定知函数f(x)在r上单调递减.(3)依题意知函数f(x)是定义在R上的单调递减的奇函数，由f(t2-2t)+f(2t2-k) 0,得f(t2-2t) k-2t2-oo即k3t2-2t,te R,得k(3t2-2t)min, tC R,因此k 1.所以k的取值范围是 32210 .【解析】(1)由 f( x) f(x)得 kx 2x kx 2x, . k 0 .f(x)2x2 x(2) - g(x) a 1 a 1 (a )1当a21,即a1时，g(x) (a2)x 1在1,2上为增函数，g(x)最大值为g(2)a4 1.当a21,即0a 1时，. g(x) (a2)x在1,2上为减函