数学摆线在车床上进行多边形切削的应用

1、实习教学数学摆线在车床上进行多边形切削的应用江苏泰州市技工学校刘永新在工厂生产中, 经常要加工断面为多边形的机械零件, 而这些零件通常是采用铣床、刨床等机床进行加工的, 加工工艺较复杂。特别是在大批量生产中, 效率很低, 车床上, , 、铣床等设备, , 而且还可以大大提高生产效率。特殊条件为定圆。所示, 设定圆的半径为2R , (特殊条件 动圆的半径为R , 定圆的圆心为O , 动圆的圆心为C , 动圆内定点P 与C 之间的距离为e , 建立直角坐标系, 坐标原点和定圆中心重合, 设动圆运动到如图所示的位置, 和定圆切于B , 连O C , 作CD O X , PM O X ,PN CD ,

2、 D 、M 、N 分别为垂足。设X O C =, 根据平面几何知识可知, C PN =成立。设P (X , Y , 则X =O M =OD +D M =OD +N P =O C cos +PC cos =R cos +e cos =(R +e cos ,Y =D M =D C -N C =O C sin - PC sin =图1首先, 我们来看上述图形, 一个椭圆可以把一个圆切出两条平行边A B 和CD , 如图1(a 。这两条边虽然是椭圆上的线, 但当椭圆较扁的时候, A B 和CD 不仅可近似于直线, 而且还可将误差控制在要求的范围内。我们再看图1(b , 两个椭圆相交就能切出一个正四边形

3、, 图1(c 则为三个椭圆相交切出一个正六边形的情形。现在的问题就转化为如何在车床上实现刀头的椭圆轨迹。下面我们首先来介绍利用摆线一笔画出椭圆的方法。R sin -e sin =(R -e sin 。X =(R +e cos Y =(R -e sin所以说, 特殊情况下的内余摆线可能是椭圆。把上面推导的内余摆线方程X =(R +e cos Y =(R -e sin X =a cos Y =b sin相比较, (R , e 是定值 ,我们认为:特殊情况下的内余摆线(定圆半径是动圆半径的2倍 是以R +e 为长轴, R -e 为短轴的椭圆。根据上面的推导, 通过图3所示的方法, 即可顺利地一笔画出

4、椭圆。数学上是这样来定义内摆线的:如果一动圆在其内切的定圆内作无滑动的滚动时, 动圆上一个定点运动的轨迹称为内摆线(或圆内旋轮线 。如果动圆沿着定圆作无滑动的滚动时, 在动圆内的一个定点随动圆运动而滚动, 那么这一点运动的轨迹称为内余摆线。图3头运动的轨迹。图4现在就来研究笔尖的运动轨迹怎样变成车床上刀先来看图4, 根据上面的推导已知P (x , y 的运动轨迹是椭圆。P 点的运动实际上是以下两种运动的43合成:实习教学(1 P 点绕圆心C 作圆周运动(设其转速为nc , (2P 点同时绕圆o 作圆周运动(设其转速为中心反方向转动(即按逆时针方向 , 同时刀盘还绕它自己的中心转动(按顺时针方向

5、, 如图6 。由于刀盘与工件的转速比为21, 所以当刀盘中心A o 绕O 按逆时针方向转过角而到达A 点时, 刀尖M o 在刀盘上按顺时针方向转过2角, 到达点M (x , y (即自转了角 。根据图6可以看出2 X =B A-CA =|OA |cos -|A M |cos (2- -|OA o |-|A o 2=(|OA |-|A M | cos (no 。因为动圆的直径是定圆直径的1/2, 所以P 点绕c 作圆周运动, 角速度是P 点绕o 作圆周运动的角速度的2倍, 也就是转速之比K =nc no =21。在图5中我们把P 绕C 所作的圆周运动变成刀盘的运动, 把P 绕O 所作的圆周运动变

6、成三爪卡盘即工件作的运动, 同时刀盘的转速为工件转速的2倍, 这样车削出来的工件就是椭圆形轮廓线了。件相比较, , 同点是, , 而是以K (=nc no , 。现在我们先以=2为例来说明普通车床车削多边形零件的工作情况。如图5所示, 车刀固定在刀盘M o | cos =h co sA M |sin (2 =Y =+-(|M |o |+|A oM o | sin -X =h cosY =(2r +h sin这显然是椭圆的参数方程。消去参数, 22+(=1, 这就表明刀尖2r +h 2h 2M 在工件上运动的轨迹是一个椭圆, 它的半长轴、半短轴的长分别为2r +h , h , 而长轴在Y 轴上。

7、当刀盘半径r 比h 大得多, 即椭圆的长、短轴相差很大时, 这个椭圆就很扁, 靠近短轴的两个端点的曲线弧可以近似地看作直线段如图1(a 所示。如果在刀盘中心位置上装两把车刀, 那么工件就被车削成近似的正方形, 如果两把车刀及O 刀盘中心均在一条直线上, 但车刀不对称安装, 则车削出来的就是长方形, 如果两把车刀和O 不在一条直线上, 则车削出来的就是平行四边形,上, 刀盘夹紧在车头上, 工件用三爪卡盘夹紧, 三爪卡盘固定在拖板上, 工件的轴线平行于刀盘的轴线, 利用齿轮的传动使刀盘与工件转动方向相同, 且转速比为21, 这样就把图4所示P 点绕C 点所作的圆周运动图形的形状决定于车刀的多少及刀

8、盘上各车刀之间的角度和长短。如果装三把车刀(彼此间的夹角为120, 到刀盘中心的距离r 均相等 , 那么工件就被车削成近似的正六边形(如图1中的c 图 。多边形切削实际上就是在一定的条件下“以曲代直”, 用一种便于加工的曲线近似地代替车床上难以加工的直线段。变成刀盘的运动, 把P 点绕O 点所作的圆周运动变成工件的运动, 同时也保证了刀盘的转速为工件转速的2倍。这样, 刀头相对于工件的运动轨迹就是椭圆, 车削出来的工件断面形状就是椭圆轮廓线了。为了确切地证明刀头的运动轨迹是椭圆, 现在我们从另一角度来加以论证:设工件的中心位置为O , 刀盘的中心位置为A o , 刀尖初始位置为M o (所设字母与图5相同 , 刀盘半径(刀尖与刀盘中心A o 的距离 为|A oM o | = r ,两轴线间的距离为:|OA o |=r +h (|O M o |=h 以上是K =2即刀盘与工件的转速为21的情况, 如果K =3, 5, 7时, 同样可以车削出正三边形、正五边形和正七边形。如果将刀盘与工件的转速比、车刀的把数、车刀间的夹角和车刀的长短(不一