第18讲-平行四边形

1、第18讲平行四边形让平行线相交吧，让我亲眼目睹它们相交吧我会看到的,我还会宣称它们已经相交了,但我仍然不会接受它。陀思妥耶夫斯 基知识方法扫描四边形的问题主要涉及在一定条件下求边长、角度、面积以及证明这些量之 间的等与不等的关系，四边形的问题一般可以化归为三角形问题来解决。平行四边形是一种特殊的四边形：两组对边平行的四边形叫平行四边形。 平行四边形的性质是：对边相等，对角相等，对角线互相平分。平行四边形的判定方法有：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两 组对边相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形经典例题解析例1（1988年全国初中数学联赛试题）下面有四个命题：（1

2、）一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；（2）一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边（3）组对角相等且这一组对角的顶点所联结的对角线平分另一条对角线的 四边形是平行四边形。（4）-组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分 的四边形是平行四边形。其中，正确的命题的个数是（）（A） 1（B） 2（C） 3（D） 4解命题（1）是假命题。如图（1）中的四边形ABCD,它满足命题的条件, ZA=ZC, AB=CD,但它不是平行四边形。命题（2）是假命题。如图（2）,延长等腰AADE底边ED至任意点O,以 O为对角钱的交点作平行四边形ABCE,这时四边形

3、ABCD满足AD=BC且 AO=OC,但它不是平行四边形。命题（4）也是假命题，如图（3）,四边形ABCD中，ZBAD=ZBCD, BD 垂直平分AC,但四边形ABCD不是平行四边形。下面证明命题（3）是真命题。如图（4）,四边形ABCD中，ZBAD=ZDCB, 且命题。如图（4）,四边形ABCD中，ZBAD=ZDCB,且OB=OD,以O为中 心，将AABD逆时针旋转180。OB=OD, AD与重合,B与D重合，点A与射线OC上的点A环是C,则 ZBArD>ZBCDo （A，在线段 OC 上，非点 C）,或ZBATXZBCD（A，在线段OC的延长线上）都与ZBAfD= ZBAD= ZBC

4、D矛盾，所以A，即为C, 即OA=OX=OC,所以A，即为点C,即OA=OAZ=OC,所以四边形ABCD是平 行四边形。故选（A）。D例2. （1984年武汉市初二数学竞赛试题）ABCD是 平行四边形，以AC为边在两侧各作一个正三角形ACR ACQo试证BPDQ为平行四边形。证明 因AACP与AACQ都是正三角形，于是PA=AC=CQ=PC=AQO故四边形PAQC为平行四边形。 连结PQ交AC于O。则O点是AC的中点也是PQ的中点。连结BD,因ABCD是平行四边形，故BD与AC互人 相平分，即BD的中点也是O。因为PO=QO, BO=DO,所以BPDQ为平行四边形。例3. （1976年美国纽约

5、初中数学竞赛试题）平行四边形相邻两边长5米和 6米，一条对角线长为8米，另一条对角线长为仮，求k。解 我们先来证明下面的的“平行四边形定理S平行四边形四边的平方和等 于对角线的平方和。右图中ABCD是平行四边形。作CE丄AB, DF丄AB,垂 足为 E, Fo 显然 BCEAADF,贝I BE=AF, CE二DF。 故 BD2+AC2BF2+FD2+AE2+CE2(AB+AF) 2+FD2+(AB-BE) 2+CE2(AB+BE) 2+CE2+(AB-BE) 2+CE22 (AB2+ BE2+CE2)= 2 (AB2+ BC2).下面运用这个性质解答原题，（VT）2+82=2（52+62）,

6、k=58.例4.（第12届“希望杯”数学邀请赛培训题）如图，在AABC中，AB=AC, AD丄BC于D,点P在BC上，PE丄BC交BA的延长线于E,交AC于F。(1)求证:2AD二PE+PF：（2）平移PE,使P点在BC的延长线上，PE交BA的延长 线于E,交AC的延长线于F,写出AD, PE, PF满足的关系式, 并证明你的结论。HB解 (1)如图，延长AD至A使A?D=AD,连结XC,延长EF交XC于F 在ZXABC中，AB二AC,且AD丄 BC,： AD平分BC,即BD=CD.乂 RtAADCRtAADC, AC=AC, ZACD=ZA,CD, AACFF,为等腰三角形，FP=FT.乂

7、ZCAD=ZCAD二ZEAD, AT:AB,：四边形AATE是平行四边形，: AAEFSAA2AD,EFEP+PFEP+PF,故 2AD 二 PE+PF。（2）AD、PE、PF满足关系式2AD=PE-PF.如图，延长AD到A，使A'D=AD,连接A，C并延长与EF相 交于F.则由知PF=PF，,且AA'F'E是平行四边形， AA-EFS 2AD二PE-PF.例5. （1990年西安市初中数学竞赛试题）在等腰三角形 ABC的两腰AB.AC上分别取点E和F,使AE=CF,已知BC=2, 求证：EF>1.证明 作平行四边形ABCH,在HC上截取HG二AE, 连结EG ,

8、显然四边形AEGH和BEGC也是平行四边形， EG=AH=BC=2o CG=BE=AB-AE=AC-CF=AFo在厶EAF 与ZFCG 中，AE=CF, ZEAF=ZFCG,AF=CG,所以 EAFAFCGo 于是 EF二FG。因2EF二EF+FG>EG=2, ittEF>l.例6. （2001年北京市中学生数学竞赛试题）如图,在等腰AABC中,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连结DE,恰有AD二BC二CE二DE。.求证:ZBAC=100。.证明 山图及已知条件，AADE中，AD=ED. AADE 为等腰三角形，其底角ZEAD必为锐角，所以等腰三角形 ABC中，ZBAC为钝角，

9、必是顶角。所以AB,AC是腰，有 AB=ACo过C作AD的平行线，与过D所作BC的平行线交于 点F,连结EE易知BCFD为平行四边形，因此DB=CEBC=DEZEAD=ZECF.在 AADE 与 ZCEF 中，AD二CE,AE二DB二CF, ZEAD=ZECE 所 以 AADEACEF,于是ED=EF.但是ED二BC二DF, ADEF是个对边三角形，ZEDF=60°o设 ZBAC=a ,贝ij ZADF=ZABC= 一° ,ZDAE=180°-a , ZADE= 2180°-2 Z DAE = 180°-2(180°-a)=2a-l

10、80°.由ZADF+ ZADE= ZEFD=60°.得""一°+ (2a-180°) =60°,解得 a=100°o2B|JZBAC=100°.o例7. (1963年武汉市数学竞赛试题)在平行四边形ABCD的边AB, AD ± 向外形作两个正方形ABMX, ADNYo求证：对角线AC与两正方形的顶点X 与Y的联线互相垂直。I证明.V ABMX, ADNY是正方形，ABCD是平/h/行四边形，:.AX=AB=DC, AY=AD, ZXAB=ZYAD=90°, ABDC。 ZXAY=180

11、°-ZBAD=Z4,AAAXYADCA, .Z2=Z3,V Zl + Z3=90。， Zl + Z2=90°, /.AH±XYo 弓 三例8 .在等边六边形 ABCDEF中，/ /弋、ZFAB+ ZBCD + ZDEF = ZB + ZCDE+ZF,求证；”ZFAB= ZCDE, ZB = ZDEF、ZBCD = ZF./ /证明：如图，在六边形外作射线DG,使 、1/BCZEDG = ZABC,ZCDG = ZAFE.并在 DG ±截取 DG二AB。连接 AE, EG, GC,CAoZFAB+ ZBCD+ ZDEF = ZB + ZCDE+ZF,ZFA

12、B+ ZB + ZBCD+ ZCDE+ 乙 DEF + ZF = 4xl80w = 720",/. ZB + 乙 CDE + ZF = 360".AB = ED、BC = DG、ZABC = ZEDG、AABC= AEDG. :. AC=EG.同理，AE=CG.从而四边形ACEG是平行四边形。：.乙EAC=ZEGC. 故 ZEDC= ZDEG+ZEGC+ ZDCG=ZDEG+ ZEAC+ ZDCG=ZBAC+ ZEAC+ ZFAE= ZBAEZFAB= ZCDE.同理 ZB = ZDEF. ZBCD=ZF.同步训练一选择题1. 某平行四边形对角线的长为x,y, 边长为12,

13、则x,y的值可能是(A) 8 与 14(B) 10 与 14(C) 18 与 20(D) 10 与 382. (2003年山东省“KLT快灵通杯”初中数学竞赛试题)已知四边形 ABCD,从下列条件中：(1)ABCD； (2)BCAD； (3)AB=CD： (4)BC = AD； (5)ZA=ZC； (6)ZB=ZDo任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是 平行四边形”这一结论的情况有()(A) 4 种(B) 9 种(C) 13 种 (D) 15 种3. 如图，在口ABCD中，E,F分别在边BC, AB上，且FEAC, 那么图中除了adec本身外与其面积相等的三角形共有()个。B(A) 1(B

14、) 2(C) 3(D) 44. (第9届“希望杯”数学邀请赛试题)如图，ejABCD中，ZABC=75。，AF±BC于F, AF交BD于E,若DE=2AB,则ZAED的大小是()(A) 60°(B) 65°(C) 70°(D) 75°,BN5（1993年哈尔滨市初中数学竞赛试题）如图，oABCD中，M, N分别是AD, AB上的点，且BM二ND,其交点为P,设ZCPB=a, ZCPD=p,贝lj （）（A） a=p （B） a>p （C） a<p（D） a» 的大小不能确定二填空题6. （1997年陕西省初中数学竞赛试题）

15、已知aABCD中，E是AB的中点，AB=10,AC=9, DE=12,贝iJdABCD 的面积 S二D G7. 如图，P为aABCD内一点过P点分别作AB, AD的平行线，交平行四边形于E, F, G, H四点，若四边形AHPE £ 的面积为3,四边形PFCG的面积为5,则三角形PBD的 面积为/ H8. （1994年北京市初二数学竞赛复试试题）如图，六边形ABCDEF中，ZA=ZB=ZC=ZD=ZE=ZE 且 AB + BC= 11, FA CD = 3, 贝lj BC+DE=ABF E9（第9届“希望杯”数学邀请赛试题）已知平行四边形ABCD的周 长为52,自顶点D作DE丄AB,

16、 DF丄BC, E、F为垂足， =5, DF=8,则BE+BF的长为10. （第14届“五羊杯”初中数学竞赛试题）五羊大学建立 分校，校本部与分样隔着两条平行的小河。如图，IJ/11 表示小河甲，h/h表示小河乙，A为校本部大门，B为 分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥， 桥面垂直于河岸。图中的尺寸是：屮河宽8m,乙河宽10m, A到屮河垂直距离40m, B到乙河垂直距离20m,两河距 离100m, A, B两点水平距离（与小河平行方向）120m, 为使A, B两点间来往路程最短，两座桥都按个口标而建， 点间来往的路程是 三解答题D若DE2那么，此时A, B两nio11. （1997年江苏省初中数学竞赛试题） 已知四边形 ABCD,从ABDC；AB二DC ；ADBC； ®AD=BC； ZA=ZC； ©ZB=ZD中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行在 RtAABC 中，ZACB = 9