第11讲空间中垂直关系的判定与性质

1、空间中垂直关系的判定与性质I与平面a内的任意二条直线都垂直，就说直线I丄a.直线I叫作平面a的垂线，平面a叫作直线I 与I的.基础知识整合1. 直线与平面存垂直(1 )定义：如果直线平面a互相垂直，记作垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫作垂足.(2 )画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图1丄a如果一条直线和一个平面内的两1丄b条相交直线都垂直，那么该直线与a a? 1 丄 aba此平面垂直a Ab = P(3 )判定定理文字语言付号语言图形语言2. 二面角(1)二面角：从一条直线岀发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直 线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作

2、二面角的面.(2 )二面角的记法：如图，记作：二面角a AB B,也可记作a AB B.(3 )二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角.3. 平面与平面垂直(1 )定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2 )判定定理文字语言付号语言图形语言如果一个平面经过另一个平面的a a一条垂线，那么这两个平面互相垂? a丄卩ya丄卩/直 14.直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言付号语言如果两条直线冋时垂直于一个平面，那么这两条直线平行2a丄a?

3、 a/bb丄a5.平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言付号语言如果两个平面互相垂直，那么在一a丄0a A 0= l个平面内垂直于它们交线的直线? a±01a a垂直于另一个平面a丄l.典例精析题型一：线面垂直的判定例1:如图所示，在Rt KBC中，ZB= 90 °，且S为所在平面外一点,满足SA= SB= SC.D为AC的中点.求证：SD丄平面ABC.证明：在 RtAABC 中，/B= 90。，且D 为 AC 的中点，二 BD = AD=DC.又tSA = SB= SC, SD 为公共边， SBDzSAD也zSCD, /ZSDB=ZSDA =ZSCD= 90 °

4、;,SD丄 AD , SD丄 BD, tAD ABD = D ,.SD 丄平面 ABC.变式训练1 :如图，已知 AB是O O的直径，C是圆周上不同于 A, B的点，PA丄O O所在的平面，AF丄PC于F,求证：BC丄平面PAC.BC证明：因为 AB为O O的直径，所以 BC丄AC.因为PA丄平面 ABC,平面ABC，所以PA丄BC.因为PAAAC = A，所以BC丄平面PAC.题型二：面面垂直的判定例2 :已知四面体 ABCD的棱长都相等，E, F, G, H分别为AB,AC, AD , BC的中点求证：平面 EHG丄平面FHG.证明：如图，取CD的中点 M，连接HM , MG , FM ,

5、则四边形 MHEG 为平行四边形.连接EM交HG于O,连接尸0.在厶FHG中，O为HG的中点，且 FH = FG,所以FO丄HG.同理可证FO丄EM.又 HG AEM =O,所以FO丄平面EHMG .又 FO 平面FHG，所以平面 EHG丄平面FHG.变式训练2 :如图，在空间四边形 ABDC中，AB = BC, CD = DA , E、F、G分别为CD、DA和对角线 AC的中点.：求证：平面BEF丄平面BDG.证明：TAB = BC, CD = AD , G 是 AC 的中点，.-.BG± AC,DG 丄 AC,又 EF/AC,.EF丄 BG, EF± DG.EF丄平面

6、BGD.vEF 平面 BEF, 平面BDG丄平面BEF.题型三：垂直关系的综合应用例3 :如图，在三棱锥 P ABC中，PA丄底面ABC , PA= AB , ZBCA=90 °点D , E分别在棱PB, PC上，且DE/BC.(1) 求证：BC丄平面PAC；(2) 是否存在点E使得二面角A DE P为直二面角？并说明理由.证明： tPA丄底面 ABC,.PA丄 BC.又ZBCA= 90 °，-AC± BC.又PAPAC = A ,.BC丄平面PAC.(2)存在点E使得二面角 A DE P为直二面角由 知BC丄平面 PAC,又DE/BC,.DE丄平面 PAC又vA

7、E 平面 PAC, PE 平面 PAC,：DE 丄AE, DE丄PE.AZAEP为二面角 A DE P的平面角.又v PA丄底面 ABC,：PA丄AC.：/PAC= 90 ° 在棱PC上存在一点 E,使得AE丄PC.这时，/ AEP= 90。.故存在点E使得二面角A DE P是直二面角.变式训练3 :如图所示，PA丄平面ABC, AC丄BC, AB= 2 , BC2 ,PB= ：6，求二面角 P BC A的大小.解：vPA丄平面 ABC, BC 平面 ABC,.PA丄 BC.又 AC丄 BC, PAPAC=A ,.BC丄平面PAC又PC 平面PAC,.BC丄PC.又 BC 丄 AC,

8、 azPCA 为二面角 P BC A 的平面角.在 Rt APBC 中，：PB =' 6 ,BC=J2 ,PC= 2.在 Rt AABC 中，'-AB = 2 , BC= 2 ,AC= ;' 2. 在 Rt APAC 中,cos ZPCA=2C,CiZPCA= 45。，即二面角 P BC A 的大小为 45 °题型四：线面垂直性质定理的应用例4 :如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC 上，且 EF丄 A1D , EF丄 AC.求证：EF/BD1.证明：如图所示，连接 AB1、B1C、BDJ.DD1丄平面ABCD , AC 平

9、面ABCD.DD1丄AC.又 tAC 丄 BD，且 BD nDD1 = D ,.AC丄平面 BDD 1./BD1 平面 BDD1 ,.BD1 丄 AC.同理可证 BD1 丄 B1C.1BD1 丄平面 AB1C./EF±A1D , A1D /B1C,.EF丄B1C.又 EF丄 AC ,且 AC PB1C= C,/EF丄平面 AB1C,.EF/BD1.变式训练3 :如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF丄A1D, EF丄AC.若G是AB的中点，贝U E在A1D上什么位置时，能使 EG丄平面ABiC?解：若EG丄平面ABiC，因为BDi丄平面 A

10、BiC，所以EG/BDi.因为G为AB的中点，所以E为ADi的中点，即E为AiD的中点时，EG 丄平面ABiC.题型五：面面垂直性质定理的应用 例5 :已知平面 PAB丄平面ABC，平面PAC丄平面 ABC，求证：PA丄平面 ABC.证明：如图所示，在 BC上任取一点 D，作DF丄AC于F, DG丄AB于G,BC平面PAC丄平面 ABC，且平面PACA平面ABC = AC,：DF丄平面PAC,又丁PA 平面PAC,.DF丄PA,同理 DG丄PA,又vDF ADG = D 且 DF 平面 ABC, DG 平面 ABC,PA丄平面 ABC.变式训练5 :如图所示，边长为 2的等边 PCD所在的平面

11、垂直于矩形 ABCD所在的平面,BC= 2 ：'2, M为BC的中点.求证： AM丄PM .证明：如图连接 AP矩形ABCD中，AD丄DC, BC丄DC,又平面PDC丄平面 ABCD，平面 PDC A平面ABCD = DC,：AD丄平面 PDC, BC丄平面PDC，又I PD 平面PDC, PC 平面PDC,AD 丄 PD, BC丄PC,在 RtAD 和 Rt APMC 中，易知 AP2= AD2 + PD2B2+ 22= i2 , PM2= PC2 + MC2 = 22 +2= 6,2= 6 ,.AP2= PM2 + AM2,.AM 丄 PM.又vRtABM 中，AM2 = AB2

12、+ BM2 = 22 + (2- 题型六：垂直关系的综合应用 例6 :如图，正方形 ABCD所在平面与平面四边形 ABEF所在平面互相垂直， ABE是等腰直角三角形，AB = AE, FA= FE,ZAEF= 45 °(i)求证：EF丄平面BCE;设线段CD、AE的中点分别为 P, M，求证：PM /平面BCE.证明：因为平面 ABEF丄平面 ABCD , BC 平面ABCD , BC丄AB,平面ABEFA平面ABCD = AB ,所以BC丄平面 ABEF.所以BC丄EF因为ABE为等腰直角三角形， AB = AE，所以/AEB= 45。又因为/ AEFBCABE= B,所以EF丄平

13、面BCE.(2)取BE的中点N ,1连接 CN，MN，贝U MN統§ AB綊=45。，所以ZFEB= 90。，即EF丄BE因为BC 平面BCE, BE 平 面 BCE,PC,所以PMNC为平行四边形.所以 PM /CN.因为CN在平面BCE内，PM不在平面 BCE内，所以PM /平面BCE.变式训练6 :如图，四棱锥 SABCD中，SD丄平面 ABCD , AB /DC, AD丄DC, AB = AD=1 , SD = 2 , BC丄BD , E为棱SB上的一点，平面 EDC丄平面SBC.(1)证明：DE丄平面SBC;证明：SE= 2EB证明：(1)连接BD, vSD丄平面ABCD，

14、故BC丄SD,又TBC丄BD, BD PSD = D ,.BC丄平面BDS,；BC丄DE.作BK丄EC, K为垂足，因平面EDC丄平面SBC, 故 BK丄平面EDC, BK丄DE. 又 vBK 平面SBC, BC 平面SBC,DB2BK ABC= B,.DE丄平面 SBC.由(1)知 DE丄SB , DB = .；2AD = ：2 /-SB . SD2 +厂SD DB 2M62yj6,aSE= 2EB., DE=右, EBDB2-de2-7 , SE= SB- EB=T三.方法规律总结1 线面垂直的判定定理是证明线面垂直的主要方法，证明的关键是在平面 内找到两条相交直线与已知直线垂直.2 在证

15、明面面垂直时，一般方法是从一个平面内寻找另一个平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决(所作辅助线要有利于题目的证明)，即由线面垂直证面面垂直.3 .空间中线线、线面、面面之间的垂直关系可以相互转化，其转化关系如下：4 会用线面垂直的性质定理证明平行问题，用面面垂直的性质定理证明垂直问题. 四：课后练习作业一、选择题1 .设I、m为不同的直线，a为平面，且I丄a,下列为假命题的是（B ） A .若 m 丄 a,贝 U m /IB .若 m 丄 I,贝U m /aC.若 m /a,贝 U m 丄 ID .若 m /I,贝 U m 丄 a【解析】A 中，若I丄 a, m 丄 a,

16、 则m /1,所以A正确；B中，若I丄a,m丄I,贝y m/ a或ma,所以B错误；C中，若I丄a, m /a ,则m丄I,所以C正确；若I丄a , m /I ,贝U m丄a ,所以D正确.2 .在正方体 ABCD Ai B1C1D1中，与AD 1垂直的平面是（A ）A .平面 A1DCB1 B .平面 DD1C1C C .平面 A1B1C1D1 D .平面 A1DB【解析】连接 A1D、B1C ,由ABCD A1B1C1D1为正方体可知， AD1丄A1B1, AD1丄A1D.故AD1丄平面 A1DCB1.A . BC / 平面 PDFB. DF丄平面PAE3 .如图，在正四面体 P ABC中

17、，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个 结论中不成立的是（C ）【解析】由题意知 BC/DF，且BC丄PE, BC丄AE.：PEnAE= E,PAE丄平面ABC也成BC丄平面PAE,.BC /平面PDF成立，DF丄平面PAE成立，平面 立.4 .设a、B是两个不同的平面，I是一条直线，以下命题正确的是 （C ）A.若I丄a，a丄卩，则I卩 B .若I/ a, all 3,贝U I卩C.若I丄a , al 3 ,贝U I丄3 D .若l/a , a丄3贝U I丄3【解析】A错，可能I/3； B错，可能I/3； C正确；D错，不一定I丄35 .设平面a丄平面3 ,且a A 3= I,直

18、线a a,直线b 3 ,且a不与I垂直，b不与I垂直,那么a与b（ B ）A .可能垂直，不可能平行C.可能垂直，也可能平行B .可能平行，不可能垂直D .不可能垂直，也不可能平行【解析】当a , b都平行于I时,a与b平行，假设a与b垂直，如图所示,由于垂直，在b上任取一点 A,过点A作b '丄平面a丄平面3 , b '丄平面a ,从而b '丄I ,又由假设a丄b易知a丄平面3，从而a丄I,这与已知a不与I垂直矛盾, 假设不正确，a与b不可能垂直.6 .空间四边形 ABCD,若AB、AC、AD与平面BCD所成角相等，贝U A点在平面BCD的射影是厶BCD的（A ）A.

19、外心 B .内心C.重心 D .垂心【解析】设A点在平面 BCD内的射影为 0可知，OABBzOAC也/OAD QB =QC = QD, 点Q为外心.7 .下列说法中正确命题的个数为 （B ）如果直线I与平面a内的无数条直线垂直，则 I丄a;如果直线I不垂直于 a ,则a内没有与I垂直的直线；如果一条直线与平面内的一条直线垂直， 则该直线与此平面必相交；如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线 必在这个平面内；如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任一直线.B. 1C. 2【解析】如图（1）所示，I与a相交（不垂直），此时也有无数条直线与I垂直故错误；如图（2）所示，I与a平行，此时

20、平面内也存在 无数条直线与I垂直，故错误；如图（3）所示，直线I与平面a的 垂线m垂直，但I不在平面a内；由线面垂直的定义可知，正确.8 .如图，在正方形 ABCD中，E、F分别为边 BC, CD的中点，H是EF的中点，现沿AE、AF, EF把这个正方形折成一个几何体，使 B、C、D三点重合于点 G，则下 列结论中成立的是（A ）A. AG丄平面EFGB. AH丄平面EFGC. GF丄平面AEFD . GH丄平面AEF【解析】 AG丄GF, AG丄GE, GF AGE= G,：AG 丄平面 EFG.9 .如图，在四边形 ABCD 中，AD /BC, AB = AD，/BCD = 45 

21、6;，启AD = 90 °，将ZABD沿BD折起，使平面ABD丄平面BCD，构成四面体 ABCD，则在四面体ABCD中，下列命题正确的是（B ）A .平面 ADC丄平面BDCB.平面 ABD丄平面 ABCC.平面 ABC丄平面BDCD .平面 ADC丄平面ABC【解析】在图中，/ BAD = 90 °,AD = AB, a/ADB = ZABD = 45 °. vAD /BC,；zDBC=45 °.又/BCD = 45 °.azBDC= 90。，即BD丄CD.在图中，此关系仍成立.v平面 ABD丄平面 BCD,.CD 丄平面 ABD.vBA 平

22、面 ADB , /.CD 丄 AB.vBA 丄 AD , /.BA 丄平面 ACD.BA 平面ABC,/.平面ABC丄平面ACD.10 .如图，在正方体 ABCD A1 B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1上运动，并且总保持 AP丄BD1,则动点P在（A ）A .线段B1C上B.线段BC1上【解析】连接BC.因为平面a丄平面3,且an 3= I，又因为BD 平面且BD丄I,所以BD丄平面a.又-/BC 平面a,.BC丄BD.所以CBD”1/7也是直角三角形.在RtBAC中，BC= 32 + 42= 5.在RtCBD 中，CD = ,；52 + i22= i3.所以 CD 长为 i3 cm.C

23、. BBl中点与CCi中点的连线上D. B1C1中点与BC中点的连线上【解析】连接 AC, BiC, ABi，由线面垂直的判定可知 BDi丄平面ABiC.若AP 平面ABiC，贝U AP丄BDi.这样只要P在BiC上移动即可.二、填空题ii .如图，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，平面 ACDi与平面 BBiDiD的位置关系是.垂直【解析】 ABCD是正方形， AC丄BD.又TDiD丄平面 ABCD , AC 平面ABCD ,.DiD丄AC.tDiD ADB = D ,.AC丄平面 BBiDiD./AC 平面ACDi，平面ACDi丄平面BBiDiD.i2 .如图所示，已知 PA丄平面a

24、, PB丄平面卩，垂足分别为 A、B, aA3= l,/APB= 50 ° 则二面角aI卩的大小为 i30 °【解析】如图，设平面 PABAI= 0,连接AO , BO , AB,PA丄 a, I a, PA丄 I同理 PB丄 I，而 PBPPA= P,丄平面PAB,.I丄AO, I丄BO, a/AOB即为二面角a I供勺平面角.结合图形知/ AOB+ ZAPB= i80 °,.AOB = i30 °.i3 .如图，已知平面 a丄平面3,在a与卩的交线I上，取线段 AB = 4 ,AC、BD分别在平面a和平面卩内，它们都垂直于交线 AB，并且 AC=3

25、cm , BD = i2 cm，贝U CD =.i3 cm不同直线，给出四个论断：m丄n；a丄卩；n丄卩；m丄a.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题:若，则（或若，则）【解析】利用面面垂直的判定，可知？为真；利用面面垂直的性质，可知 为真.15 .如图平面 ABC丄平面 BDC,ZBAC=ZBDC= 90 °，且AB = AC= a，贝U AD =【解析】如图所示，取 BC的中点E,连接ED, AE,tAB = AC,/AE丄BC,：平面ABC丄平面 BDC. .-AE丄平面 BD.AE丄 ED.在 RtXBC 和 RtBCD 中, AE = ED

26、=気二2 2a,/ 在 Rt AED 中，AD = .AE2 + ED2= a.三、解答题16 如图所示，AB是圆0的直径，PA垂直于圆面，M是圆周上任意一点，丄平面PBM.AN丄PM，垂足为证明：设圆0所在的平面为a, PA丄 a,且 BM a, /.PA丄 BM.又TAB为O 0的直径，点为圆周上一点， AM丄BM ,直线PAAAM = A,.BM丄平面PAM .又AN 平面PAM ,BM 丄AN.这样，AN线垂直.故 AN丄平面PBM.17 如图所示，过 S引三条长度相等但不共面的线段=ZASC= 60 ° ,zBSC= 90 °.求证：平面 ABC丄平面BSC.【证

27、明】（法一）取BC的中点D，连接AD , SD.v/ASB= ZASC,且 SA= SB= AC , /AS = AB = AC.aAD 丄 BC.又ABS是正三角形， BSC为等腰直角三角形， BD=SD.AD2 + SD2 = AD2 + BD2 = AB2 = AS2.由勾股定理的逆定理，知 AD丄SD.又SDQBC= D , /AD丄平面BSC.又 AD 平面ABC,平面ABC丄平面 BSC.(法二)同法一证得 AD丄BC, SD丄BC,则/ADS即为二面角 A£ £ 2 2 2BC S的平面角./zBSC= 90 ° 令 SA= 1，则 SD = T，A

28、D = -, aSD2+ AD2= SA2.ZADS = 90 °：平面 ABC丄平面 BSC.18 .如图，在三棱锥 S-ABC中，SA丄平面ABC, AB丄BC, DE垂直平分SC,分另U交 AC、SC 于 D、E,且 SA = AB = a, BC= .； 2a(1) 求证：SC丄平面BDE;(2) 求平面BDE与平面BDC所成二面角的大小.(1)证明：T SA丄平面 ABC, 又 AB、AC、BD 平面 ABC,SA丄AB, SA丄AC , SA丄BD ,.SB= : SA2 + AB2 = ' ：'2a. TBC = ；2a,SB = BC.E 为SC 的中

29、点，E±SC.又 DE丄SC,BEADE = E,.SC丄平面 BDE.(2)由 及 BD 平面 BDE, 得BD丄SC.又知BD丄SA,：BD丄平面 SAC. /-BD丄AC且BD丄DE.zCDE为平面BDE与 平面 BDC 所成二面角的平面角. AB 丄 BC, AC = ,AB2+ BC2= 3a.Rt SAC 中，tanSA V3ZSCA= = 一，/SCA= 30 °.：ZCDE= 60。，即平面 BDE 与平面 BDC 所成二面角为AC 360 °19.如图，已知三棱锥 A BPC中，AP PC , AC BC , M为AB中点，D为PB中点，且 PMB为正三角形.(1) 求证：DM