平面向量数量积的物理背景及其含义导学案

1、平面向量的数量积第一课时平面向量数量积的物理背景及其含义【知识技能】1通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其几何意义。2体会平面向量数量积与向量投影的关系，理解掌握平面向量数量积的性质及其应用。【学习方法】自主学习、分组讨论、探究展示【情感提升】体会数形结合、分类讨论、类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括和推理论证的能力。【知识准备】1 两个非零向量夹角是怎样求解的？为什么不能是零向量？零向量与任一向量的夹角是多少？夹角0的范围是 ，其中日=90 '时，ab ；当日=0 或日=180，时，ab。0与任意向量a的夹角，为什么？2. 用五点法作出余弦函数 y二cost

2、门 0,2二】的图象并填空。当 0兰Bc90 时，cos日，日=0 时，cos =当二-90 时，cost =当 90 ： v < 180 时，cost, v - 180 时，cos：二3. 我们研究了向量的哪些线性运算，这些运算的结果是向量还是数量？4. 我们是怎样引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的？5. 如图，小车在力F的作用下产生位移 S，那么:片（1）力F所做的功W =;， 一"VF（2）请同学们分析这个公式的特点：W （功）是量, F （力）是量, S （位移）是 量，寸是。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗？6. 平面向量数量积的概念

3、：已知两个非零向量 a与b，它们的夹角为 日，我们把数量 afb cos日叫做a与b的数量积（或内积），b- fv fc-记作：a b，即：ab=。丁的范围是。注意： 数量积（内积）的运算结果是一个 。“规定”：零向量与任何向量的数量积为 ,即：o G =记法“ a b ”中间的“ ”不可以省略，也不可以用“”代替。7. 平面向量数量积的几何意义(1) 投影”的概念：从数上看：叫做b在a方向上的投影；类似地,叫做a在b方向上的投影。从形上看:COSV0B,0B|注意：投影也是一个 数量而不是向量，它的符号取决于 。(2) 平面向量数量积的几何意义： 【我的疑惑】【课堂实录】一、展示课前预习成果

4、二、分组讨论预习中的疑惑三、合作探究探究一：平面向量的数量积的概念。探究二：平面向量数量积的几何意义是什么？探究三：平面向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？它什 么时候为正？什么时候为负？为零？它的符号由谁决定？若a和b均为非零向量，日为a和b的夹角，a b = a b cos日(1)a b 0= cos=0 =I- a b ： 0 = cos : 0=¥ (3) a b = 0cos =0=(4) |a 一Bib用不等号连接)(5) 公式变形：(6) b特殊化：探究四：由探究三总结归纳 平面向量数量积的性质若a和b均为非零向量，日为a和b的夹角，

5、ab = a b cos日垂直a丄bw共线同向V-Tab="T-2TL T卜 2a a = a =, a =毛 a a = a反向a b =绝对值«» 1a b兰符号* *a b >00 ea b =0e =a b v0Q 夹角公式cos 日=a b【例题选编】例1已知a =5,旧=4, a与b的夹角日=120，求a b【课堂精练】 0 a = o丨 a b 1=1 a| b I （ ）1判断正误，并简要说明理由4 I 0 AB = BAa与b是两个单位向量，则2.若向量a,b满足a = b 1 ,A12b.32v 3C. 1 + 2D.23. c；=2,b

6、）=4，向量a和向量b的夹角为120，则向量a在b方向上的投影等于A.2B.120 =C. 1D.由向量b的长度确定60，则a b等于 （）a和b的夹角为4在 RtABC 中，NA =90 :则 AB AC =Bfti fc-5.已知 a =7，贝U a a =6.（探）在 ABC中，AB BC V ,则 ABC的形状是（）A 锐角三角形B直角三角形C.钝角三角形D 不能确定【课堂小结】知识线：(1)平面向量数量积的(2) 平面向量数量积的(3) 平面向量数量积的的数学思想和方法。思想方法线：、_【课后练习】1.已知丨a | = 8,| b I = 6,在下列条件下分别求 a b .a与b的夹角是60 °a丄ba / b2已知| a I = 6, e为单位向量，当a,e之间的夹角二分别等于45 ,90 ,135 时，画图表示a在e方向上 的投影，并求其值。0 T T3.已知 a,b,c 分别为 ABC 的三边 BC , AC, AB. a = 5,b = 8，/ C = 60，求 BC CA .4已知 |a | =12, | b 丨=9, a b 二 -54、2，求 a 与 b 的夹角 0。- *一N-_ «!» 5. 已知ab=2, 1 a 1 =3，1 b 1 = 4,求向量a在b方向上的投影，并求 b在a方向上的投影。6. 已知 ABC中，A