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文档简介

1、第二章平面向量1.向量:数学中,我们把既有大小,又有方向的量叫做向量。数量:我们把只有大小没有方向的量称为数量。2.有向线段:带有方向的线段叫做有向线段。有向线段三要素起点、方向、长度3.向量的长度(模)向量aB的大小,也就是向量AB的长度(或称模),记作4.零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作0,零向量的方向是任意的。单位向量:长度等于1个单位的向量,叫做单位向量。5.平行向量方向相同或相反的非零量b是两个平行向量,那么通常记作Il b。平行向量也叫做共线向量。我们规定:零向量与任一向量平行,即对于4a.4AU6.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。b是两个相等向量,那么通常记

2、作4,b=>4a7.如图,已知非零向量II4 d做a与b的和,记作b,在平面内任取一点4bJra艮nbJrao作A,向量的加法:求两个向量和的运算叫做向量的加法。这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则。II i I I I4、宀 d d d d d8.对于零向量与任一向量 a,我们规定:a+0 = 0 + a=a9.公式及运算定律 A1A2 +.+ AnA 1 = | a+b | < | a |+| b | a+b b a410.相反向量:我们规定,与a长度相等,方向相反的向量,ii4 4a和-a互为相反向量。(a+b) +c叫做a的相反向量,记作-a个向量等于加上这个向量的相反

3、向量。 我们规定,零向量的相反向量仍是零向量 任一向量与其相反向量的和是零向量,即ii 如果a、b是互为相反的向量,那么 我们定义f-b二a+(-b),即减去一11.向量的数乘:一般地,我们规定实数入与向量 数乘。记作 a,它的长度与方向规定如下:a的积是一个向量,这种运算叫做向量的-aL»ra向方的Jra与 a的方向相同;当入v 0时,的方向与a的方向相反;入=0时,Jib -!-a -JraUfaI JI 3JlaJra12.运算定律* 才44 444()a ( a)a)(a b)=ba与b共线。那么Jrab,如果有一个实数入,使 40 4 a/(>4 a13.定理:对于向

4、量444b的长度是向量a的长度的卩倍,即|b|11 40 4a44 4444 44a|,那么当a与b同方向时,有b =a ;当i a与b反方向时,有b =a且向量相反,已知向量 a与b共线,则得如下定a工0理:向量向量)与b共线,当且仅当有唯一一个实数入,使b = a14.平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数 1我们把不共线的向量e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。15.向量a与b的夹角:已知两个非零向量 a和bII作 OA a,OB,则 AOB(0 °180 °)叫做向量 a与b的夹角。当e=

5、0°时,a与b同向;当e =180°时,与 b反向。如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作4ao16.补充结论:已知向量则 m=n=O。b是两个不共线的两个向量,且m、n R,若 ma17. 正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解。18. 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)。即若(x1, y1),b (X2, y2),则 a(xi X2, yi y2),Jlay22JX19.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。即若(xi, yi),则21.定比分点坐标公式4444a、b(b工0)共线2

6、0.当且仅当xiy2-x2y仁0时,向量1x1X2 y1y2PP2时,P点坐标为(,)1 1当点P在线段P1P2上时,点P叫线段P1P2的内分点,入0当点P在线段P1P2的延长线上时,P叫线段P1P2的外分点,入V -1 ;当点P在线段P1P2的反向延长线上时,P叫线段P1P2的外分点,-1VXV 0.则OCoAoB,其中入+卩=11 14 414 41 14 423.数量积(内积):已知两个非零向量a与b,我们把数量| a |b | cos叫做a与bi114 4 41 14 4 444的数量积(或内积),记作a b即a b =| a |b | cos 。其中e是a与b的夹角,22.从一点引岀

7、三个向量,且三个向量的终点共线,| a |cos (| b |cos )叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。我们规定,零向 量与任一向量的数量积为0。24-b的几何意义:数量积a b等于a的长度|a |与b在a的方向上的投影|b | cos的乘积25.数量积的运算定律: a b =b (入a)L»ra2-b)L»raJr aJr a 22 J2L»r a2JJD两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即Jlab xx y$2。则:若a (x,y),则|吕|2 x2 y2,或| a| .x2 y2。如果表示向量a的有向线段的起点和中点的坐标分别为(人,y

8、)、(X2,y ,那么a(X2人,丫2y),2z(2&x2&Jraxllv则y2)*7 x2oJibJllaoy127.设 ab都是非零向量,(X1, y) , b(X2, y2), e是a与b的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示可得:cosXi X2yi 目22013-2014学年度XX学校XX月考卷试卷副标题1、在平面直角坐标系中,角 与角ih勺顶点为坐标原点,始边为 轴正半轴,终3sina -边关于对由对称,已知花则MSp-()2、下列命题正确的是()A.单位向量都相等b.若a与b是共线向量,c与b是共线向量,则a与c是共线向量D.LBJrbLRa则a0与B0是单位向量

9、,则设b是a的相反向量,则下列说法一定错误的是()A.与b的长度相等b. aba与b一定不相等d. a是b的相反向量4、设a,b都是非零向量,下列四个条件,使J-b成立的充要条件是()5、下列命题:平行向量一定相等;不相等的向量一定不平行;平行于同一个向量的两个向量是共线向量;相等向量一定共线其中不正确 命题的序号是()A. B. C. D. 6、下列命题正确的是()A.单位向量都相等B. 模为0的向量与任意向量共线C.平行向量不一定是共线向量D.任一向量与它的相反向量不相等7、 下列说法不正确的是()a. a, b为不共线向量,若a bb,则a bb若a,b为平面内两个不相等向量,则平面内任

10、意向量1都可以表示为D.LBJD5LBJD13若,则a与c不一定共线b8、在平行四边形ABCD中,点E为CD中点,点F满足aF 2FD, eF xaC yTB ,A. 3 B.1 C.21 D.49、如图,在ABC 中,AD -Ac,Bp31BD,若 APaB AC,贝H 的3值为()A. 3 B.2 C.2 D. 310、如图,已知tb a,恆c b,託3CE,则A.3b1aB.a 3b c.d.A431244312411、点G为ABC的重心(三边中线的交点).设gBa,GCb,则丄等于2()A.3a1bB.a月c. 2bD.2b22212、在 ABC 中,若 AB AC 4AP,则()A.

11、B.C.4D.444413、如图,在 ABC中,D为线段BC的中点,下的3个四等分点,若AB4AP,则(E,F,G依次为线段AD从上至)A.点P与图中的点D重合 B. 点P与图中的点E重合C.点P与图中的点F重合 D. 点P与图中的点G重合14、在三棱柱ABC A3G中,若cA a,CB b,CC1 C,则KB等于()A.B.C.c D.15、如图,正六边形ABCDEF中,A. 0 B.C.D.16、已知3,4,2,,则x等于(A. 23 B.233D.23417、在 j ABC两点M , N,若中,点O是BC的中点,AB mAM, AC过点O的直线分别交直线AB,1 1,m,n为正数,则一一

12、m nAC于不同,2&1 -3的最小值为D.18、设两个非零向量S与J不共线,如果畑1*®和片+ k勺共线那么k的值是()A. 1 B. -1 C. 3 D.±119、 点P在直线:x-v-l = 0上运动,閱4川,B®,则|PA| + |PB|的最小值是()A.書 B. 花 C. 3 D. 420、已知向量a 2,1, b 1,3,则向量2a b与a的夹角为()A. 135° B. 60° C. 45° D.30°21、 如图,在半径为R的圆C中,已知弦AB的长为5,贝【JAEV"()5255 -R25R

13、A. 2B.2C.D.222、 若四边形ABC是正方形,E是DG边的中点,且,则壬三等于()A. b+ a B. b a C. a+ b D. a b23、如图,在正方形 ABCD中, M N分别是BC CD的中点,若AC =入皿+ 口 BN ,则入+ 口 =()868A. 2B . 3C.D+rf-卄-t24、 已知 O, N, P在 i 所在平面内,且= |CL3| =“ 込 '、】 = 0w,送则点o, n, p依次是的()A.重心外心垂心 B.重心外心内心C.外心重心垂心 D.外心重心内心25、 已知平面向量a, b和c在同一平面内且两两不共线,关于非零向量a的分解有如下四个命

14、题: 给定向量b,总存在向量c,使a b c ; 给定向量b和c,总存在实数 和,使a b c ;给定正数 入和口,总存在单位向量 b和单位向量c,使a b c .则所有正确的命题序号是.26、已知a i,2,b i,i,则与a 2b方向相同的单位向量e27、已知向量a6,2 ,b 3,m,且/d,则a b28、如图,在正方形 ABCD中,已知AB 2,M为BC的中点,若N为正方形内29、上的投影的取值范围是0,oP oA oB,且i,则30、把边长为1的正方形ABCD如图放置,A、D别在x轴、y轴的非负半轴上滑动.的最大值是(含边界)任意一点,则的取值范围是II、7,则 AO BC(2)若

15、a x1(x, y R,且x 0),求一的最大值.33、在边长为1的正三角形 ABC中,设I,点D满足BD31、如图, ABC的外接圆的圆心为 0, AB= 2, AC= 3, BC32、在边长为1的正三角形ABC中,设曹 AB , AC ,点D满足BD - DC .2(1)试用aD ;(2)若(x, y R,且 x 0),求X的最大值.(1)试用表示ad ;34、已知:a、b、c同一平面内的三个向量,其中(1,2)(1) 若|c| 2、5,且C/1,求c的坐标;(2) 若|b |5,且a 2b与2a b垂直,求a与"b的夹角1、【答案】D2、【答案】C3【答案】C4、【答案】D5【

16、答案】A6【答案】7、【答案】B&【答案】B9、【答案】D10【答案】D11、【答案】B12、【答案】A13【答案】C14【答案】D15【答案】B16【答案】C17、【答案】A18【答案】D19【答案】C20【答案】C21、【答案】B22、【答案】B23、【答案】D24、【答案】C25、【答案】26、【答案】 3 ,上27、【答案】、105 528、【答案】0,629、【答案】-11,1 30、【答案】231、【答案】5参考答案52B32、【答案】aD12、3泸;(2) T试题分析:(1)由向量加法的运算法则可得试题解析:(1)畑即可得结果;(2)(2)lxxy故当的最大值为晋丄sD3xn,换亓后;利用基本不等式即可得结果-2 2V x y xy【答案】(1)AD -3试题分析:(i)借助图形,结合向量的线性运算将 D分解即可;(2)先求a,化为二次函数的形式,通过求二次函数的最值可得结果试题解析:(1)如图,结合图形可得(2)vxe ye2 ,'2xy;2 x2I 42xyei e22 2X y xy ,a 、x2 y2 xy ,|x、x2y2 xy12yx12 ,34又X, y、34且最大值为2时,JIC1(2,4)或 c ( 2, 4) ;( 2)试题分析:(1)求c的坐标,若设出c (x,y),则需建立关

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