培优专题3_用分组分解法进行因式分解(含答案)

1、4、用分组分解法进行因式分解【知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法 的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见” 源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。应用分组分解法因式分解， 不仅可以考察提公因式法， 公式法，同时它在代数式的化简， 求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。【分类解析】1. 在数学计算、化简、证明题中的应用例1.把多项式2a(a2+a + 1)+a4+a2+1分解因式，所得的结果为()A. (a + a- 12

2、B. (a- a+ 1)C. (a + a+ 12 D. (a- a 1)分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。解：原式=2a(a2+a+1) + a4+a2+1432=a4 +2a3 +3a2 +2a+1= (a4+2a3+a2)+(2a2+2a)+1= (a2 +a)2+2(a2 +a)+1= (a2 +a+1)2故选择C5432例2.分解因式x - x +x - x +x- 1分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把X5 - X4 +X3和-X2 +X- 1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把X5- X4，X3-

3、X2和 X- 1分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解法1：原式二(X5- X4+X 3- (X - X + 1) = (X3- 1)(X2- X+1)2 2=(x- 1)(x + x + 1)(x -x+1)解法2：原式=(x5 - x4) +(x 3- x )2+(x - 1)=x4(x- 1)+x2(x- 1)+(x- 1)=(x- 1)(x4 + x2 +1)= (x- 1)(x4+2x2+1)- x22 2=(x- 1)(x +x+1)(x - x+1)2. 在几何学中的应用2 2 2例：已知三条线段长分别为 a、b、c,且满足a>b, a +c &l

4、t;b +2 ac证明：以a、b、c为三边能构成三角形分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”证明：2 2 , 2 ,a +c <b +2aca2 + c2 - b 2- 2ac < 0a2 - 2ac+ c2- b 2<0,即(a- c) - b 0(a- c + b)(a- c- b) <0又 7a- c + b>a- c- ba- c+b>0, a- c- b<0a+b>c, a- b<c即a- b<c<a +b以a、b c为三边能构成三角形3. 在方程中的应用例：求方程x- y

5、 = xy的整数解直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，分析：这是一道求不定方程的整数解问题, 故可考虑借助因式分解求解解：x- y = xyxy - x + y = 0xy-x+y-1 = -1即 x(y- 1) + (y- 1) = -1(y- 1)(x + 1) = -1x, y是整数镲x + 1 = 1 亠 x + 1 = -1眄或镲-1 = -1 y-1 = 14、中考点拨2 2例1.分解因式： 1- m - n +2mn二。2 2解：1 -m -n +2mn2 2=1- (m - 2mn +n )=1- (m- n)2=(1 + m- n)(1- m + n)说明：观察此题是四项

6、式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。例2.分解因式：2 2x - y - x + y =解: x2 - y2 -x + y = (x2- y2)- (x- y)= (x+y)(x- y)- (x- y)= (x- y)(x+y- 1)说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。32例3.分解因式：x +3x - 4x- 12=3232解: x + 3x - 4x - 12 = x - 4x + 3x - 12=x(x2 - 4)+3(x2- 4)= (x+3)(x+2)(x- 2)说明

7、：分组的目的是能够继续分解。5、题型展示:2 2 2例 1.分解因式： m (n -1)+4mn- n +1解：m2(n2 -1) +4mn-n2 +12 2 2 . 2 .=m n - m +4mn- n +1=(m2n2+2mn +1)- (m 2- 2mn- n )22 2=(mn + 1) - (m- n)= (mn- m + n +1)(mn + m- n +1)说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn， 配成完全平方和平方差公式。2 2 2 2例 2.已知：a+b=1, c+d=1,且 ac+bd = 0，求 ab+cd 的值。解：ab+c

8、d= ab? 1 cd ? 12 2 2 2= ab(c +d ) +cd(a +b )= abc2 +abd2 +cda2 +cdb2=(abc2 +cdb2) + (abd2 +cda2)= bc(ac+bd) +ad(bd +ac)=(ac + bd)(bc+ad):ac+ b(=0原式=0说明：首先要充分利用已知条件a2 +b2 = 1, c2 + d2 =1中的1 （任何数乘以1，其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式,由ac+bd=0可算出结果。例3.分解因式：x3 +2x- 3分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当x=1时，它的值为

9、0,这就意味着x- 1是x3 +2x- 3的一个因式，因此变形的目的是凑x- 1这个因式。解一(拆项)：x3 +2 x- 3 =3)< - 3 - 2k3 +2x= 3(x- 1)(x2 +x + 1)- 2x(x2- 1) = (x- 1)(x2 +x+3)解二(添项)：x3+2x-3=f - x +x 2 x 32=x (x-1)+ (x - 1)X + 3)=(x - 1 )( +x + 3)请同学们试拆一次项和常数项，看看是说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法， 否可解？【实战模拟】1. 填空题:(1 分解因式：a2 - 3a- b2+3b = _(2)分解因式：x2 - 2

10、x- 4xy+4y2 + 4y = 分解因式：1 - mn(1- mn) - m3n3 = _2.已知：a + b+c = 0,求a3 + a2c- abc + b2c + b3的值。53.分解因式：a +a +14. 已知：x2 - y2 - z2 =0, A是一个关于x,y,z的一次多项式，且x3 - y3 - z3 = (x - y)(x- z)A，试求 A 的表达式。5.证明：(a + b- 2ab)(a + b- 2)+(1- ab)2 =(a- 1)2(b-1)2【试题答案】1. (1)解：原式=(a2- b2)-3(a-b)=(a b)(a - b) - 3(a -b)=(a -

11、b)(a b -3)(2) 解： 原式=(x -4xy 4y ) - 2(x - 2y)2= (x-2y)-2(x -2y)=(x _2y)(x _2y -2)(3) 解：原式=1 mn m2 n2 m3 n32 2=(1mn)亠 m n (1mn)2 2=(1 - mn)(1 m n )2. 解：原式=(a b)(a2 - ab b2) c(a2 - ab b2)二(a2ab b2)(a b c)a b c =0.原式=0说明：因式分解是一种重要的恒等变形，在代数式求值中有很大作用。53. 解：a5 a 1=a5 _a2 a2a 1=a2 (a3 T) (a2 a 1)=a2 (a1)(a2 a 1) (a2 a 1)= (a2 a 1)(a3 - a21)4.解：2 x2 2_y z 0222 2 2y=X-z ， z =x -y333.x-y-z=(X3 -y3)z z2=(x -y)(x2 xy y2) -z(x2 -y2)=(x -y)x2xy y2 -z(x y)=(x -y)x(x -z) y(x z) (x2 z2)=(xy)(x z)(x y x z)=(x -y)(x -z)(2x y z).A =2x y z5. 证明：(a b -2ab)(a b -2)(1 -ab)22 2 2 2 2 2=aab 2a ab b 2b