高等数学(第五版)10-1对弧长曲线积分

1、第十章曲线积分与曲面积分 一元积分一元积分:二重积分二重积分: :三重积分三重积分: : 曲线积分曲线积分本章：本章：积分范围：积分范围：曲线段曲线段 曲面积分曲面积分曲面块曲面块一元函数在区间上的积分一元函数在区间上的积分二元函数在平面区域上的积分二元函数在平面区域上的积分三元函数在空间区域上的积分三元函数在空间区域上的积分第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分 第十章 一、问题的提出一、问题的提出实例：求曲线形物体的质量实例：求曲线形物体的质量M，假设其线密度假设其线密度(单位长度的质量

2、单位长度的质量) 是连续函数是连续函数.),(yx ABoxyL简单情形简单情形：均匀物体：均匀物体sM 由于线密度是连续函数，在小范由于线密度是连续函数，在小范围内变化不大，可近似为常数围内变化不大，可近似为常数分割：分割：求和：求和：取极限：取极限： niiiisM10),(lim 近似：近似：oxyABL),(ii niiMM1 niiiisM1),( )max(is is iiis ),( iiis ),( iM由此引进多元函数在曲线上的积分。由此引进多元函数在曲线上的积分。二、多元函数对弧长的曲线积分的定义二、多元函数对弧长的曲线积分的定义,),(),( ),),(1 niiiiii

3、iiiiisfsfPsLLyxfxOyL ，再再求求和和积积，先先作作乘乘（一一点点任任取取在在每每个个小小弧弧段段上上，分分割割成成若若干干个个小小弧弧段段任任意意上上，将将义义在在定定曲曲线线弧弧，函函数数光光滑滑面面上上的的是是设设上上对对弧弧长长的的曲曲线线积积分分。在在此此极极限限为为函函数数和和的的极极限限总总存存在在，就就称称时时，这这的的最最大大值值如如果果当当各各小小弧弧段段的的长长度度Lyxf),(0 .)( ),( LLdspfdsyxf或或记记作作积分弧段积分弧段存存在在则则上上连连续续，在在光光滑滑曲曲线线弧弧如如果果注注： LdsyxfLyxf),( ),( 1.

4、，是是分分段段光光滑滑，设设如如果果21 . 3LLLL AB1L2LoxyABL),(ii is Ldsyxf),( 即即iiniisf ),(lim10 .),(),( . 2 dszyxfzyxf对对弧弧长长的的曲曲线线积积分分记记作作上上在在空空间间曲曲线线弧弧三三元元函函数数 21 LLLfdsfdsfds规规定定弧长微元弧长微元 Lds1.的的长长度度L )2(可可加加性性：曲曲线线积积分分对对积积分分弧弧段段的的性质：性质：.)( )1( LLLgdsfdsdsgf加加法法是是常常数数）数数乘乘kfdskkfdsLL( dsfdsfdsfLLLLLL 2121，则则如如果果物理意

5、义：物理意义：.),(),(的的曲曲线线形形物物体体的的质质量量表表示示线线密密度度为为yxdsyxL 几何意义：几何意义：三、多元函数对弧长的曲线积分的计算法三、多元函数对弧长的曲线积分的计算法存存在在，且且则则是是光光滑滑曲曲线线弧弧），即即上上具具有有一一阶阶连连续续导导数数（在在，其其中中，方方程程是是的的上上连连续续，在在曲曲线线弧弧：设设函函数数定定理理 LdsyxfLbaxybxaxyyLLyxf),(,)()(),(dxxyxyxfdsyxfbaL )(1)(,),(2基本思想：基本思想： 曲线积分曲线积分直线积分（一元积分）直线积分（一元积分）dsyxfL ),(近近似似）（

6、小小曲曲线线段段用用小小直直线线段段xxy )(12)(xxyy syxf ),(xxyxyxf )(1)(,2 syxf),(lim0 。误误差差的的和和的的极极限限为为当当分分割割无无限限细细时时，上上式式020lim , ( )1( )xf x y xyxx dxxyxyxfba )(1)(,2 Ldsyxf),( 即即 s证明证明:oxyABx abs )(:xyyL y syxf),(lim0 22)()(yx dxxyds)(12 其其中中22)()( dydxds 即即.长度长度几何上代表小切线段的几何上代表小切线段的dxxyxyxfba )(1)(,2 Ldsyxf),(.,

7、:限限积积分分下下限限要要小小于于积积分分上上化化为为一一元元积积分分时时在在把把对对弧弧长长的的曲曲线线积积分分注注)00( xs要要求求特别的，特别的，曲线曲线L的长度的长度 Lds1.)(12dxxyba bdsoxyABx as )(:xyyL ，则则同同理理，如如果果曲曲线线)(: dycyxxL dsyxfL ),( dcdyyxyyxf)(1),(2，则则更更一一般般的的，如如果果)()()(: ttyytxxL22)()(yxs ttytx )()(22 ttyyttxx)()( dttytxtytxf)()()(),(22dsyxfL ),(曲线曲线L的长度的长度 Lds1.

8、)()(22dttytx ，则则空空间间曲曲线线)()()()(: ttzztyytxxLdszyxfL ),( dttztytxtztytxf)()()()(),(),(222解解:,1dxx 所求弧长为所求弧长为dxxba 1.)1()1(322323ab ab Ldss1dxx2)(121 dsdxyx21 例例2. 2. .2如如图图所所示示，其其中中求求LdsxyL xy9:22 yxL先写出积分弧段的方程先写出积分弧段的方程, ,dxxx22)922(1 dxx293 29:xyL dxydsx21 3022293)9(dxxxx 原原式式.27)9(322330232 x 302

9、2)9(923xdx 30239xdxx3o3解：解：)30( x的的积积分分，化化为为对对 x方法方法2:2: ds 2023)sin3(cos3 dttt 202)(sincos81 dttt27sin381203 txy3o39:22 yxL tytxLsin3cos3:)20( t.),( 的的方方程程表表示示的的值值不不依依赖赖于于注注：LdsyxfL dt3 dttt22)cos3()sin3( 的的积积分分，化化为为对对 t dsxyL2例例3. 3. .)(如如图图所所示示，求求闭闭曲曲线线积积分分LdsyxIL oxyL)1 , 1(B)0 , 1(A解解: : Ldsyx)

10、( OAdsyx)( ABdsyx)(dxds dyds :OA, 10 , 1 : yxAB BOABOAdsyxdsyxdsyx)()()(dxx 10dyy)1(10 21 23 , 10 , 0 xy BOdsyx)( Ldsyx)( dxds2 oxyL)1 , 1(B)0 , 1(A , 10 , : xxyBO22210 dxx.2222321 原式原式= =dtkatka 2022222)( 2032222| )3(tktaka ).382(23222kaka 20222)()sin()cos(kttata例例4.4. 计算曲线积分计算曲线积分 ,d)(222 szyx其中其中

11、 为螺旋为螺旋的一段弧的一段弧. .)20(,sin,cos ttkztaytax线线解解: :dtktata222)cos()sin( 概念理解：概念理解：以以下下推推导导是是否否正正确确？，则则为为设设曲曲线线222)1(RyxL dsyxL )(22 Ddyx )(22围围成成，则则由由区区域域222)2(RyxD xyoDL正解：正解： Drdrdr 2原原式式 Rdrrd0320 .214R 注意注意: :曲线积分是在曲线上积分曲线积分是在曲线上积分, ,而二重积分是在而二重积分是在平面区域上积分平面区域上积分. .dsRL 23222RRR dsRL 12 DdR 2 DdR 12

12、422RRR oxyABx abs )(:xyyL y ds 要点要点: :第一节 对弧长的曲线积分 多元函数对弧长的曲线积分的定义多元函数对弧长的曲线积分的定义: Ldsyxf),(iiniisf ),(lim10 Lds1.的的长长度度L 性质：性质：物理意义：物理意义：.),(),(的曲线形物体的质量的曲线形物体的质量表示线密度为表示线密度为yxdsyxL 几何意义：几何意义：如如 曲线曲线积分对积分弧段的可加性积分对积分弧段的可加性. .曲线积分是多元函数在曲线上的积分曲线积分是多元函数在曲线上的积分. . 基本思想基本思想：小曲线段用小直线段近似。小曲线段用小直线段近似。多元函数对弧长的曲线积分的计算法多元函数对弧长的曲线积分的计算法:曲线积分曲线积分直线积分（一元积分）直线积分（一元积分