数列通项的求法

1、高中数学专题讲座 深挖教材，回归题目的本质，让高中数学变得不再难数列的通项的求法数列考题中大多都是考通项和求法，特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈，所以掌握求通项的方法是学好数列的最基本的要求。现在的高中数学中数列通项主要有以下一些求法：类型一：观察法求通项公式1、写出数列1,2,3,4,5, 的一个通项。答案：2、写出数列1,0,1,0,1, 的一个通项。答案：3、写出数列0，的一个通项公式。略解：先将原式不含0的项变形为：，观察出第一项应该为：。最终归纳得出：4、3,33，333,3333，答案：类型二：定义型主要是利用前n项和的定义去求数

2、列通项：。在这里特别要注意的是：时一定要单独讨论。题型一：公式的直接应用1、求下列数列的前n项和为。（1） 略解：（1）当时 （2）当时 将两式相减得： 从而得：2、 求。略解：（1）当时 ,从而得 （2）当时 将两式相减并化简得： 由于，得，从而知是等差数列。易得： 题型二：如果题中出现了，或时，一般都是逆用公式，将换成。3、已知数列中，1,前n项的和为，且，求.略解：将变形为，两边同除得。即知为等差数列，先求，进一点求出。4、设数列的前n项和为，若1，且满足，求的通项公式。略解：将代入原式得：。化简即得：。题型三：将类型一中的拓展成任何一个前n项的形式，进而去求数列的通项。5、设数列满足，

3、求数列的通。解：（1）当时，（2）当时，由原式可得两式相减得：即综合（1）（2）得10、已知各项均为正数的数列，且对任意的 都有 记数列前n项的和为。（1）求证： （2）求的通项公式。解：（1）由题可得 （1） （2） （1）（2）得 即：。 即。从而得到： （2）由（1）得： （a） (b) （a）-（b）得：即 。 从而得：。即数列是一个等差数列。以下略。 类型三：递推型一、累加型：（适用于型数列）1、已知数列满足，试用a、b表示。略解：由原式得：将上式相加得：，从而易求。以下步骤略。2、已知数列满足，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，3、数列满足，且对任意的，总有

4、，求数列的通项公式。提示：在原式中令m=1即可。4、数列满足，。 (1)已知，求数列的通项公式。（2）求数列的通项公式。（3）已知，设。记。求。二、累乘型：（适用于型数列）1、已知数列满足，的通项。略解：原式可变形为将上述式子左右分别相乘得：，2、已知数列满足，（2），则的通项解析；当2时，（）（）（），其中当时，所以答案是：类型四：配项型这类题型在高中主要有四类题型：（1）,直接设求出x即可。（2）. 设。其中由当为一次函数时，设为一次函数，为二次函数时，设为二次函数。但这类题型如果在考题中出现多为证明形式。（3），两边同除转化为类型（1）（4）递推公式为（其中p，q均为常数）。解法：先把原

5、递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型1的方法求解。1、 数列满足：，当总有，求提示：设求出x=1,从而知为等比数列，以下略。2、 已知数列满足， ，求提示：两边同除得，化简得：，如果令即得，以下略。3、在数列中，（）证明数列是等比数列；（）求数列的前项和；提示：对于（），在高中主要有两种解决方法，一种是直接配，还有一种是换元。换元法更明显直接，更是解决这种证明新数列的通用方法，具体做法如下：设，从而得：，代入原式即得：，即数列为等比数列，先求出的通项公式，刚后面问题易解决。注：此种类型的问题的一般解决方法如下：4、设数列：，求.解：设，将代入递推式，得（）则,又，故代入（）得说明：若为

6、的二次式，则可设5、已知数列中，,，求。解：由可转化为即或这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即又，所以。 类型五：构造新数列型类型一：取倒数法形如递推式，考虑函数倒数关系有令则可归为型。1、 已知数列满足，且，求方法一：在同乘并化简得：，两边同除以得：，转化为类型四中的第一种题型。以下略。方法二：将原式两边取倒数得：。2、 已知数列满足，求数列的通项公式；提示：原式两边取倒数得：类型二：取对数型形如：的数列可以在两边取对数从而化成一个新的等比数列。3、设正项数列满足，（n2）.求数列的通项公式.

7、解：两边取对数得：，设，则是以2为公比的等比数列，.，类型六：特征根法题型一：设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。作出一个方程则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.1、已知数列满足：求解：作方程当时，数列是以为公比的等比数列.于是题型二：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。1、已知数列满足，求数列的通项公式。解：数列：， 的特征方程是：。,。又由，于是故题型三：如果数列满足下列

8、条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。1、数列求数列的通项公式. 解：由已知，得，其特征方程为，解之，得，2、已知数列满足性质：对于且求的通项公式. 解: 数列的特征方程为变形得其根为故特征方程有两个相异的根，则有：即3、已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？分析：作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根 解：(1)对于都有(2) 令，得.故数列从第5项开始都不存在，当4，时，.(3)令则对于(4)、显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且2.当（其中且N2）时，数列从第项开始便不存在.于是知：当在集合或且2上取值时，无穷数列都不存在.注：特征根法在现在的高考很少涉及，这里只要求学生了解，有心参加自主招生