微分方程及其定解条件、等效积分ppt课件

1、这一部分里，我们将看到以下内容几个典型物理问题及其数学描画微分方程和定解条件微分方程的类型微分方程的边境条件微分方程及其边境条件的等效积分原理几个典型的问题弦振动问题的微分方程及定解条件传热问题的微分方程及定解条件位势方程及定解条件弦是一种笼统模型，工程实践中，可以模拟绳锁、电缆等构造，如远间隔输电线路、一些桥梁的悬索、拉锁等；几何上可以用一条线段不一定是直线段来表示弦。这里所说的弦的振动是弦的微小横振动，一定长度的、柔软、均匀的弦，两端拉紧，在垂直于弦线的外力下做微小横振动，弦的运动发生在同一平面内，弦的各点位移与平衡位置垂直x,u x t弦的长度l，线密度为 ，弦的张力为TO弦振动的微分方

2、程为：22222uuaftx2/aTf是垂直于平衡位置的外力这个微分方程虽然描画了弦振动时各点的运动形状，但单纯依托这个微分方程，我们还不能独一确定弦的振动，必需给出定解条件，定解条件主要有两种，一种是初始时辰弦的运动形状，称为初始条件： ,00,00u xxxluxxxlt初始时辰各点的位移初始时辰各点的速度另外一种定解条件是边境条件，对于弦振动问题来说给定弦的两个端点的运动规律，普通来说边境条件有三种：第一种给定弦端点的位移 120,utgtu l tgt第二种给定位移梯度的端点值 0,uttxul ttx位移的梯度表示弦线的挠度第三种边境条件是端点的位移和速度的线性组合是一个知函数，对于

3、弦振动 010,0,uTtk uttxuTl tk u l ttx这个边境条件的物理意义是，弦的端点固定在两个弹性支撑上，两个弹性支撑的弹性系数为：k0，k1以上是弦振动的数学模型，是由微分方程与相应的定解条件初值条件，边值条件共同组成的，这一样问题又称为混合初边问题。定解条件中只需初值条件的问题称为初值问题。定解条件中只需边值条件的，称为边值问题。下面来看第二个典型问题：热传导问题三维非定常热传导问题的微分方程为：0TTTTckkkftxxyyzzck0f物体的比热容物体的密度物体的热传导系数物体内部热源强度与弦振动问题类似，要想确定物体内部的温度场，除了上面那个微分方程以外，还需求定解条件

4、，定解条件也包括两种：初值条件和边值条件初值条件，是初始时辰物体的温度场0, ,tTx y z边值条件也有三种第一种：给定边境的温度, ,Tx y z第二种：给定边境的热流量, , ,Tx y z tn第三种：给定边境的热流量和温度线性组合, ,ThTx y znxyzTTTTTnnnnxyzn下面来看第三个典型问题：位势方程在三维热传导问题中，假设温度不随时间变化，即定常热传导，三维热传导方程可以写为00TTTkkkfxxyyzz假定物体是均匀的，那么这个方程可以进一步简化222222TTTgxyz这个方程又称为泊松Poisson方程再进一步，假设均匀物体中没有热源，稳态热传导方程为2222

5、220TTTxyz这就是我们熟习的拉普拉斯方程Laplace以上给出的是泊松方程和拉普拉斯方程在笛卡尔坐标系下的方式，下面给出它们的算子方式，它们在其它坐标也成立系2TTg 20TT 泊松方程拉普拉斯方程其中，在笛卡尔坐标系下：xyz ijk 称为哈密顿Hamilton算子2222222xyz 称为拉普拉斯算子从上面的算子表达式，再回想我们学过的高等数学的知识，哈密顿算子运算的结果，是一个标量场的梯度是一个向量场，而反过来说，假设一个向量场是一个标量场的梯度，这个向量场称为有势场，这个标量场称为有势场的位势场或位势函数在定常热传导问题中，温度场的梯度为TTTTxyzijk 也就是说，这个向量场

6、是温度场的梯度，是一个有势场而温度场是这个有势场的位势场或位势函数，这就是泊松方程和拉普拉斯方程称为位势方程的缘由如今我们来看位势方程的定解条件。由于待求变量与时间无关，不需求初值条件因此位势方程的定解条件类似三维热传导方程的三种边境条件，, ,Tx y z, , ,Tx y z tn, ,ThTx y zn如今我们来回想一下刚刚引见的几个微分方程22222uuaftx0TTTTckkkftxxyyzz222222TTTgxyz2222220TTTxyz第一个微分方程，方程两边微分的最高阶数都是2，如果做移项整理22222uuaftx这个方程的方式和双曲线方程的方式很类似2222xycab这类

7、的方程又称为双曲型微分方程再看第二个方程，如今加上物体均匀，为了几何上更直观这个方程可以，我们写出一维的情况202TTckftx这个方程方式和抛物线方程方式类似2yaxc这类方程又称为抛物型微分方程最后再看位势方程，为了几何直观，我们写成二维的情况2222TTgxy这个方程方式和椭圆方程方式类似22221xyab这类方程又称为椭圆型微分方程微分方程主要就分为这三个类型：抛物型；双曲型；椭圆型请大家留意，我们并不是要讨论三种类型的微分方程的准确定义。准确的定义，大家可以参考数学物理方程的有关书籍和资料有限元方法特别适宜求解椭圆微分方程或方程组。如今来总结一下边境条件，我们看到，在以上的三个典型问

8、题的微分方程中，给定的边境条件都有三种：第一种是给定待求函数在边境处的数值，这种边境条件称为第一边境条件、Direchlet边境条件、强迫边境条件第二种是给定待求函数在边境处梯度或方导游数，这种边境条件称为第二边境条件、Neumann边境条件第三种是给定边境上待求函数及其方导游数的线性组合，这种边境条件称为第三边境条件我们总结一下这一小节的内容描画物理过程的微分方程主要分为三个类型：椭圆型、双曲型、抛物型有限元法特别适宜求解椭圆型微分方程边境条件主要有三种：第一边境条件Direchlet条件、强迫边境条件、第二边境条件Neumann条件和第三边境条件思索题：这小节中，三维热传导问题的微分方程和

9、位势方程、以及哈密顿算子 给出的都是笛卡尔坐标下的方式，试查阅资料，并推导这些微分方程和算子在柱坐标和球坐标系下的表达式。拓展前面我们看到了三个典型问题的微分方程，实践中遇到的、运用的、包括我们本人在分析问题时建立的微分方程是非常多的，为了便于研讨，我们采用一种符号表示法来表示微分方程，例如： 0A这个表达式代表恣意一个微分方程，就像我们用f(x)表示恣意函数的道理一样,同样，边境条件我们也可以用符号表达 0B例如，在一个平面区域内的拉普拉斯方程22220 xy并且有边境条件0 22220Axy 0B这是一个微分方程和一个边境条件，单个待求函数的情况，这种表示方法也可以拓展到微分方程组，多个待

10、求函数和多个边境条件的情况。可以用向量符号来表示待求解函数、微分方程组和边境条件T12,nu uuu带求解函数向量微分方程组向量 TT12,0mmAAAA uuuu边境条件向量 TT12,0kkBBBB uuuu例如，在一个平面区域内的拉普拉斯方程22220 xy如今边境条件有两个，在一部分边境上给定函数值，另一部分的边境上给定函数方导游数，这样 22220 xyA 00qkqn B了解微分方程的笼统数学表达对实际研讨是很有协助的，由于在研讨微分方程的普通性质或推导一些微分方程的普通规律时，我们不能够对每个微分方程都推导一遍，这时笼统表达是 就发扬重要作用了。下面我们就将见到一种微分方程的普遍

11、规律或者说普遍的变换方式等效积分方式虽然是要推导一个普遍规律，但为了便于阐明，我们还是从一个简单的特例出发，这个特列就是刚刚提到的二维拉普拉斯方程及其边境条件 22220 xyA 00qkqn B这个二维拉普拉斯方程的求解域是一个平面区域xy在求解域内的一个小区域内拉普拉斯方程也是成立的，也就是22220 xyxy 假设方程两边同时乘以这个小区域的面积，结果会是这样222222220Sx yxyxyxy 想象把求解域划分成假设干个小区域，也就是说求解域的面积等于这些小区域面积和12niiiiiSSSSSxy 对于每一个小区域来说，刚刚的推导也是成立的222222220iiiiiSx yxyxy

12、xy 如今我们把它对一切小区域求和如今我们把它对一切小区域求和22220iiixyxy 再进一步，假设我们取的小区域趋向无穷小，也就是0;0iixy回想一下，高等数学中定积分的概念，立刻就可以得到2222222200limd d0iiiixiyxyx yxyxy 对于边境条件我们同样可以做类似的分析2222d ddd0qx ylkqlxyn上面的积分式成立根本缘由是拉普拉斯方程及其边境条件成立，拉普拉斯方程从以下这个角度对待222211 0 xy如今，我们把1换成其他的，恣意的函数，同样成立222200vvxy对于边境条件也可以这样0v按照刚刚的思绪，同样可以得到一个积分等式0v kqn222

13、2d ddd0qvx yvlv kqlxyn这个方程与拉普拉斯方程及其边境条件是等效的，也就是说，只需拉普拉斯方程成立这个积分式就成立，反过来只需这个积分式成立，拉普拉斯方程及其边境条件就成立。这就是拉普拉斯方程及其边境条件的等效积分形式。我们可以把它推行到普通情况。如今，我们来看普通的微分方程组的情况，之前曾引见过，微分方程组及其边境条件可以表示为： TT12,0mmAAAA uuuu TT12,0kkBBBB uuuu像上面拉普拉斯方程等效积分方式分析的过程一样，对微分方程组中每一个微分方程，以下的积分都是成立的 1122d0,d0,d0nnv Av Av A uuu12,nv vv都是恣

14、意的函数，把这些积分加起来 1122d0nnv Av Av A uuu对于边境条件也一样，只是积分是沿边境积分 1122d0kkv Bv Bv B uuu上面这两个积分，我们可以写成矢量方式 T1122dd0nnv Av Av A uuuv A u T1122dd0kkv Bv Bv B uuuv B uTT1212,nnv vvv vvvv这两个积分加起来，就得到想要得到的结果了 TTdd0 v A uv B u这就是微分方程组等效积分方式的普通式，它与原微分方程完全等效，就像之前以拉普拉斯方程为例进展讨论的情况一样。微分方程组的等效积分方式，是有限元方法的实际根底之一，推导有限元求解方程的

15、方法之一就是从微分方程组的等效积分出发，由于与原微分方程的等效性，从而保证了有限元求解的正确性。上面分析中对等效积分中运用的恣意函数以及微分方程的解的性质没有做出任何限定，现实上，对它们是有一定限制的，那就是它们应该使得等效积分式中的被积函数具有可积性或者说使积分可以进展计算 TTdd0 v A uv B u在这个积分式中， 要使这个积分存在，不能出现无穷大的情况, ,v v u要到达这个目的，就要对 做出一些限制, ,v v u对 ，由于是我们可以选择的函数，那就选择那些单值，且在求解域和求解域边境上可积分的函数就可以, v v对 ，虽然是待求解，我们也可以定性的给出它的一个性质，它的选择要

16、根据微分方程的阶数来选择，假设微分方程组中最高微分阶次为n，那么待求解必然是一个具有n-1阶延续的导数，这样的函数也称为具有Cn-1延续性。这可以用于指点近似解或近似函数的选择。u微分方程的最高阶数对待求解提出了要求，但这种要求有时过于苛刻，例如下面这个微分方程：444422420wwwxxyx 这个微分方程的等效积分假设可以计算，那么要求待解函数具有3阶延续偏导数。这个要求太过严厉，实践上只需待求解函数的二阶偏导数为常数，这个微分方程就曾经得到满足了，只需二阶延续导数就可以了，假设能有方法降低偏微分方程的阶数，就可以降低对待求解函数延续性的要求了。 TTdd0 v A uv B u从微分方程

17、等效积分方式出发，假设要降低等效积分中微分方程的阶数要怎样办呢？经过分步积分的方法可以降低等效积分中微分方程的阶数，代价是对 进展微分，等于说降低对待求函数的要求，却提高了对 延续性的要求。TvTvTvTv我们用一个一维问题的微分方程来阐明这个问题。一个微分方程22d001duuxxx这个微分方程的等效积分方式2211122000ddddd0dduuvuxxvxv uxxxx 要求待求解函数具有一阶延续导数，如今对二阶导数部分进展分步积分111000dd ddd0dd duv uvxv uxxxxx 经过这样的分步积分之后，对待求函数的要求由原来的具有一阶延续导数，下降为延续可导，而对函数v的

18、要求那么有原来的单值可积提高为延续可导。对于二维、三维的情形，分步积分能够复杂一些，但根本思想是一致的，如今把这种思想拓展到普通情况。类似之前用符号表达微分方程一样，我们把对 中每一个函数的微分运算用一个符号来表示，那么等效积分分步积分后的表达式可以写为：TvTv d0TTd Cv D uEv F u这就是等效积分的“弱方式对于二维和三维的情况，直接从分步积分的方法推导等效积分的“弱方式，能够有些困难，可以利用数学分析中“格林公式和“高斯公式推导。最后还有一个小问题，在等效积分“弱方式的推导过程中，由于分步积分，一方面使得在积分项中待求函数的最高微分阶数降低了，同时还产生了另外一项例如，之前引

19、见的一维问题里面111000dd ddd0dd duv uvxv uxxxxx 第一项，就是由于分布积分而产生的，普通来说，这一项往往可以合并掉或者消去，因此在等效积分“弱方式的普通表达式里，并没有专门写出这一项。总结与思索请大家了解用普通符号表示微分方程及边境条件的方法请大家了解微分方程等效积分的概念，弄清楚为什么等效积分与微分方程及其边境条件是等效的请牢记，微分方程及其边境条件的等效积分是有限元的重要实际根底微分方程等效积分“弱方式是从何而来，它与等效积分有什么关系？等效积分“弱方式较之等效积分有什么益处？就是为什么要推导等效积分“弱方式例题：二维导热微分方程及其边境条件的等效积分及等效积分“弱方式。0kkQxxyy00qkqn 这个例子中，第一个边境条件，我们曾经知道这是第一边境条件或Direchlet边境条件，在有限元或其他基于等效积分的近似解求解方法中，普通要事先选择待求函数的近似函数，在选择这个近似函数时，就事先满足第一边境条件了，相当于强迫要求近似函数满足第一边境条件，因此这个边境条件普通不出如今等效积分中，这也是为什么第一边境条