金融工程学(第六章)

1、第六章第六章 互换互换一、利率互换 利率互换（Interest Rate Swaps）是指双方同意在未来的一定期限内根据同种货币的相同名义本金交换现金流，其中一方的现金流根据浮动利率计算，另一方的现金流根据固定利率计算。 常见期限包括1 年、2 年、3 年、4 年、5 年、7 年与10 年。 例1：假定甲、乙公司都想借入5年期的1亿美元，甲希望以浮动利率借款，乙希望以固定利率借款。但两家公司信用等级不同，故市场向它们提供的利率也不同，如下表所示（1个基点=0.01% ）。固定利率浮动利率 甲公司 9.50%6个月期LIBOR+50个基点 乙公司10.50%6个月期LIBOR+100个基点 比较

2、优势比较优势。甲以固定利率借款比乙少支付1%，以浮动利率借款比乙少支付50个基点=0.5%，因此甲的比较优势在固定利率；同理乙的比较优势在浮动利率。 情形情形1，不做利率互换，即甲以浮动利率借款，乙以固定利率借款。6个月之后需要支付的利息为 甲=1(LIBOR+500.01%)0.5，乙=110.50%0.5，总利息=0.5(LIBOR+11.00%)亿 情形情形2，做利率互换，即甲以固定利率借款，乙以浮动利率借款。6个月之后需要支付的利息为 甲=19.50%0.5，乙=1(LIBOR+1000.01%) 0.5，总利息=0.5(LIBOR+10.50%)亿。 显然，通过利率互换合约，无论6个

3、月后LIBOR是多少，两公司通过利率互换总利息支付减少。 互换通常经过中介实现，下图是一个可能的利率互换LIBOR+0.5%甲公司乙公司中介机构9.5%LIBOR+1%9.8%9.7%LIBOR+0.5% 具体互换过程具体互换过程 根据这个利率互换合约，甲公司按固定利率，乙公司按浮动利率各自借款1亿元； 甲公司每6个月应该按LIBOR+0.5%的浮动利率向中介机构支付利息，并从中介机构按9.7%的固定利率收取利息，实际只支付利差； 乙公司应该按9.8%的固定利率向中介机构支付利息，并从中介机构按LIBOR+.05%的浮动利率收取利息，实际只支付利差。 每次付息时现金流计算每次付息时现金流计算

4、甲公司支付现金流的利率为9.5%+LIBOR+0.5%-9.7%=LIBOR+0.3%，比直接借款的浮动利率低了20个基本点； 乙公司支付现金流的利率为LIBOR+1%+9.8%-LIBOR-0.5%=10.3%，比直接借款的固定利率低了20个基本点； 中介机构获得的现金流的利率为9.8%+LIBOR+0.5%-9.7%-LIBOR-0.5%=0.1% 假设6个月期LIBOR的值为9.00% 实际互换过程实际互换过程 乙公司支付给中介机构利息为1(9.80%-9.00%-0.50%)0.5=15万 中介机构支付给甲公司的利息为1(9.70%-9.00%-0.50%)0.5=10万 中介机构的收

5、益为5万，一次利率互换结束 在互换过程中没有本金和利息的交换，只发生利息差额的交换，因此信用风险很小。二、货币互换 货币互换（Currency Swaps）是将一种货币的本金和固定利息与另一货币的等价本金和固定利息进行交换。 例2：设甲公司需要人民币贷款，乙公司需要港币贷款，已知甲、乙两公司可分别按如下的固定利率获得人民币和港币的贷款港币固定利率人民币固定利率 甲公司 6.40%8.80% 乙公司8.40%9.20% 比较优势比较优势。甲公司以港币贷款比乙公司少支付利率2%，以人民币贷款比乙公司少支付利率0.4%，显然甲公司的比较优势在港币贷款，同理乙公司的比较优势在人民币贷款。 进行货币互换

6、。甲以港币贷款，乙以人民币贷款，1年之后需要支付的利率为甲= 6.40% ，乙= 9.20% 。 一个可能的货币互换甲公司港币利率6.4%人民币利率8.2%港币利率7.8%人民币利率9.2%港币利率6.4%人民币利率9.2%中介机构乙公司 具体互换过程具体互换过程 根据这个货币互换合约，甲公司在市场上以6.4%借入港元，乙公司以9.2%借入人民币； 甲公司以人民币8.2%向中介机构支付利息，并从中介机构按港币6.4%的利率收取利息； 乙公司按7.8%的港币利率向中介机构支付利息，并从中介机构按9.2%的人民币利率收取利息。 每次付息时现金流计算每次付息时现金流计算 甲公司根据本金收支的利率有：

7、支付借款的港币利率6.4%；收取由中介机构支付的港币利率6.4%；支付8.2%的人民币利率。 甲公司将6.4%的港币利率借款转换成8.2%的人民币利率借款，这比他直接接受人民币借款的利率低了0.6个百分点。 乙公司收支的利率有：支付借款的人民币利率9.2%；接受中介机构支付的人民币利率9.2%；支付7.8%的港币利率。 乙公司利用此互换将利率为9.2%的人民币借款转换成了利率为7.8%的港币借款，这同样比其从市场直接借款少了0.6个百分点。 中介机构从港币利率支付获取1.4个百分点的收益，对人民币利率支付须支出1个百分点。 同利率互换的名义本金不同，在货币互换中的本金由于货币品种不同，一般需要

8、交换本金交换本金，本金数量根据合约生效日的两种货币之间的即期汇率应是等值的。假设在例2中互换合约生效当日人民币与港币的兑换率为0.8:1，如果甲公司要借贷的是1000万港币，则乙公司的借贷应是等值的800万人民币。 实际互换过程：实际互换过程： 合约生效当日，甲公司将所借贷的1000万港币经由中介机构交给乙公司；乙公司将所借的800万人民币经由中介机构交给甲公司。 合约确定的付息日（设一年付息两次）合约确定的付息日（设一年付息两次） 甲公司接收中介机构支付的港币利息10006.4%0.5=32万港币 并向中介机构支付人民币8008.2%0.5=32.8万 乙公司接受中介机构支付的人民币利息80

9、09.2%0.5=36.8万人民币，并向中介机构支付港币利息10007.8%0.5=39万港币。 两公司再各自向债权人付息。至互换合约到期日，甲、乙两公司除各自交纳相应的利息外，同时应交换本金额以归还各自的债权人。 付息日三方收益付息日三方收益 甲公司收益：直接贷款支付人民币利息-互换支付人民币利息=8008.8%0.5-32.8=2.4万人民币 乙公司收益：直接贷款支付港币利息-互换支付港币利息= 10008.4%0.5-39=42-39=3万港币 中介机构收益：港币收益+人民币收益=(39-32) 0.8+(32.8-36.8) =1.6万人民币 汇率风险分担汇率风险分担 上面的货币互换中

10、汇率风险由中介机构一家承担。设计不同的互换合约，可以使合约不同的参与方承担汇率风险，或者由甲方承担汇率风险，或者由乙方承担汇率风险，或者由三方中的某两方承担汇率风险，或者由三方共同承担汇率风险。 由于货币互换涉及到本金互换，因此当汇率变动很大时，三方就将面临一定的信用风险。 练习：货币互换中的协议利率与例2不同，其余条件相同，当汇率变化时，三方收益如何变化？甲公司港币利率6.1%人民币利率7.9%港币利率7.5%人民币利率8.9%港币利率6.4%人民币利率9.2%中介机构乙公司三、互换的定价 1、利率互换的定价 假设：忽略天数计算（3个月以1/4年计）； 以国际市场上的互换为例，浮动利率使用

11、LIBOR； 贴现率也使用 LIBOR。 考虑一个 2005 年 9 月 1 日生效的两年期利率互换，名义本金为 1 亿美元。甲银行同意支付给乙公司年利率为 2.8% 的利息，同时乙公司同意支付给甲银行 3 个月期 LIBOR 的利息，利息每 3 个月交换一次。事后可知利率互换中甲银行的现金流量如下表： 该利率互换的净现金流反映在列（4）中，这是互换的本质，即预期系列现金流的组合： 列（4）= 列（2）+ 列（3） 在互换生效日与到期日增减 1 亿美元的本金现金流，则 列（2） 列（6） 列（3） 列（7） 头寸分解（I） 甲银行：浮动利率债券多头（列6）固定利率债券空头（列7） 乙公司：浮动

12、利率债券空头（-列6）固定利率债券多头（-列7） 利率互换可以分解为一个债券的多头与另一个债券的空头的组合。 头寸分解（II） 列（4）= 行（I）行（VIII） 除行（I）的现金流在互换签订时就已确定，其他各行现金流都类似远期利率协议（FRA）的现金流。 利率互换可以分解为一系列 FRA 的组合。 利率互换定价的两种方法：等价于计算债券组合的价值；等价于计算 FRA 组合的价值。由于两种定价方法都是列（4）现金流的不同分解，这两种定价结果必然是等价的。 利率互换定价有两种情形： (i) 利率互换的初始价值为零。在协议签订时，一个公平的利率互换协议应使得双方的互换价值相等。因此协议签订时的互换

13、定价，就是选择一个使得互换的初始价值为零的互换利率。 (ii) 利率互换的价值随着市场利率的变化而 变化。在协议签订后的互换定价，是根据协议内容与市场利率水平确定利率互换合约的价值，可能为正，也可能为负。 债券组合定价法债券组合定价法 互换多头：支付固定利率者 互换空头 ：收取固定利率者 固定利率债券定价 浮动利率债券定价fixflBBV互换flfixBBV互换nitrtrfixnniiAekeB111trflekAB 例：假设在一笔利率互换协议中，某一金融机构支付 3 个月期的 LIBOR ，同时收取 4.8% 的年利率（ 3 个月计一次复利），名义本金为 1 亿美元。互换还有 9 个月的期

14、限。目前 3 个月、 6 个月和 9 个月的 LIBOR （连续复利）分别为 4.8% 、 5% 和 5.1% 。试计算此笔利率互换对该金融机构的价值。 FRA 组合法组合法 FRA 多头价值 从利率期限结构中估计出 FRA 对应的远期利率，即可得到每笔 FRA 的价值，加总即为利率互换多头的价值。tTrTTrTTreAeAeKF 例：假设在一笔利率互换协议中，某一金融机构支付 3 个月期的 LIBOR ，同时收取 4.8% 的年利率（ 3 个月计一次复利），名义本金为 1 亿美元。互换还有 9 个月的期限。目前 3 个月、 6 个月和 9 个月的 LIBOR （连续复利）分别为 4.8% 、

15、 5% 和 5.1% 。试计算此笔利率互换对该金融机构的价值。 确定合理互换利率确定合理互换利率 互换合约签订之初，利率互换的定价就是确定合理互换利率，即使得利率互换价值为零的固定利率，即fixflBB 例：假设在一笔2年期的利率互换协议中，某一金融机构支付3个月期的LIBOR，同时每3个月收取固定利率（3个月计一次复利），名义本金为1亿美元。目前 3 个月、6个月、9个月、12个月、15个月、18个月、21个月与2年的贴现率（连续复利）分别为4.8%、5%、5.1%、5.2%、5.15%、5.3%、5.3%与5.4%。第一次支付的浮动利率即为当前3个月期利率4.8%（连续复利）。试确定此笔利

16、率互换中合理的固定利率。 即固定利率水平应确定为 5.43%（3个月计一次复利）。万美元1000041000044444442054. 075. 1053. 05 . 1053. 025. 10515. 01052. 075. 0051. 05 . 005. 025. 0048. 0ekekekekekekekekBfix 假设利率互换的互换周期为每半年一次，互换利率为rs，在契约期间共互换n次。则契约到期日可视为n/2年，固定利率债券的价值Bfix在t=0时为12312322222100()() 1002nnnnrrrrrsfixrBeeeee100fixflBB2212(1)ntnrstn

17、rtere 2、货币互换的定价 货币互换的分解：货币互换也可以分解为债券的组合或远期协议的组合。 一份外币债券和一份本币债券的组合； 远期外汇协议的组合。 甲银行的现金流 现金流的分解：美元固定利率债券多头与英镑固定利率债券空头组合；一系列 FXA 的组合。日期日期美元现金流美元现金流（1）英镑现金流英镑现金流（2）2007.10.1-20.0+10.02008.10.1+0.9-0.62009.10.1+0.9-0.62010.10.1+0.9-0.62011.10.1+0.9-0.62012.10.1+20.9-10.6 债券组合定价法债券组合定价法 ：货币互换的价值 ：用外币表示的从互换中分解出来的外币债券的价值 ：从互换中分解出来的本币债券的价值 ：即期汇率（直接标价法）互换VFBDB0S 对于收入本币利息、付出外币利息的一方 对付出本