例析递推数列通项求法

1、例析递推数列通项求法有关递推数列通项的求解问题，是考试的热点，也是学生学习的难点.本文精选几例，加以归类解析，旨在探讨解题规律，揭示解题方法.题型一递推关系式为an+1=pan+q(p,q为常数，且p1)型分析：这种类型的递推数列，可由待定系数法将上述递推公式写成an+1+t=p(an+t),则有pt-t=q,可得t=-，故数歹Uan+是以p为公比的等比数列，然后再进一步求an.例1若数列an的前项n和为Sn,对于任意的n6N*,都有Sn=2an-3n,试求数列an的通项an.解：令n=1,则S1=a1=2a1-3,a1=3又Sn+1=2an+1-3(n+1)®,Sn=2an-3n两

2、式相减得an+1=2an+1-2an-3,an+1=2an+3可由待定系数法设上式等价于an+1+t=2(an+t),则有t=3an+3是以公比为2的等比数列，其首项为a1+3=6,an+3=(a1+3)2n-1=6x2n-1=3x2n，an=3(2n-1).题型二递推关系式为a?琢n+1=pa(p>0)型若p=1,则等式两边取常用对数或自然对数，化为：？琢lgan+1=p?茁lgan,得到首项为Igai,公比为的等比数列lgan,所以lgan=()n-1lga1,得an=a1BB.若pw1,则等式两边取以p为底的对数得：？琢lgpan=?茁lgpan-1+1,这就转化为题型一求通项的形

3、式.例2已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图像上，其中n=1,2,3,.求数列an的通项.解：由已知可得an+1=a+2anan+1=(an+1)2-1,即an+1+1=(an+1)2;a1=2,an+1>1于是两边取对数得lg(an+1+1)=2lg(an+1),即=2数歹Ulg(an+1)是以首项为lg(a1+1)=lg3,公比为2的等比数列.lg(an+1)=2n-1lg3=lg32/.an+1=32B，an=32-1.题型三递推关系式为an+2=pan+1+qan(p,q为常数)型分析：这种类型的递推数列，可用待定系数法将原递推式an+2=pan+1+

4、qan写成an+2-Aan+1=B(an+1-Aan),即an+2=(A+B)an+1-ABan,则有A+B=p,AB=-q,于是由韦达定理构造一元二次方程解由A、B,便可得数列an+1-Aan是以B为公比的等比数列，即可转化为前面的题型求通项的形式.例3已知数列an中，a1=1,a2=2,an+2=an+1+6an,求数列an的通项an.解：设an+2=an+1+6an可化为an+2-Aan+1=B(an+1-Aan),则有A+B=1AB=-6,于是A、B为方程x2-x-6=0的两根，解得A=3B=-2或A=-2B=3,于是当A=3,B=-2时，an+2-3an+1=-2(an+1-3an),则数列an+1-3an是以首项为a2-3a1=2-3=-1,公比为-2的等比数列，an+1-3an=-(-2)n-1同理当A=-2,B=3时：an+2+2an+1=3(an+1+2an),于是亦可求得：an+1+2an=4x3n-1由两式相减得：5an=