材料力学3PPT课件

1、外力特点：外力是一平衡力偶系，作用在垂直于杆轴线的平面内。变形特点：所有横截面绕杆轴线作相对转动，任意两横截面之间产生相对角位移，称为扭转角，用j表示；纵向线也随之转过一角度g。TT第1页/共58页1. 扭矩用Mx表示，单位：Nm, kNm。2. 符号规定：按右手螺旋法则，以拇指代表横截面外法线方向，与其余4指转向相同的扭矩为正，反之为负。第2页/共58页3. 计算方法：截面法 扭矩图 以平行于杆轴线的坐标为x坐标，表示横截面的位置；以垂直于杆轴线的坐标为Mx坐标，表示各横截面扭矩Mx的大小，画出的图形称为扭矩图。第3页/共58页例 画出如图所示圆轴的扭矩图。T3TTT123321ABCD第4

2、页/共58页第5页/共58页3-2 圆杆扭转时的应力圆杆扭转时的应力一、横截面上的应力OMxr第6页/共58页TT周线纵线周线纵线1. 变形几何关系（1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，绕杆轴线相对转动。（2）所有的纵线都转过了同一角度g。abcddxabcddx第7页/共58页TT周线纵线abcddx（1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变， 绕杆轴线相对转动。（2）所有的纵线都转过了同一角度g。第8页/共58页平面假设：横截面变形后仍为平面，并如同刚片一样仅绕杆轴线做相对转动，其上任一半径始终保持为直线。第9页/共58页dxcrabOdOcddj jg gg g f ecd

3、dc周线纵线abcddxfeg第10页/共58页djdxgtang = =eedxg =djdx= djdxdxcrabOdOcddj jg gfeg g f eg第11页/共58页2. 物理关系切应变发生在垂直于半径的平面内，从而切应力也垂直于半径。根据实验得到，在弹性范围内=G剪切胡克定律gG为切变模量cddc第12页/共58页横截面上切应力的分布规律Mxo =G3. 静力学关系oMxdArdAMx= dAAMx= G2 dAAdjdxAdjdxG2dAdjdx=G第13页/共58页A2dAAdjdxG2dAMxdjdxGdjdxMxG =Mx =maxMxr=MxrG第14页/共58页二

4、、极惯性矩和抗扭截面系数的计算1. 实心圆截面 dA2dAd 432d 316dA=2dA2dA= 22d0d/2dor第15页/共58页2. 空心圆截面 DdodD 432D 432d 432D 316第16页/共58页3.薄壁圆环截面 30P2 rI =r0Ddd0o20P2 rW =第17页/共58页 例 直径为50mm的传动轴。电动机通过A轮输入功率，由B、C和D轮输出。已知A、B、C和D轮所受力偶矩分别为TA=3.18kNm，TB=1.43kNm，TC=0.80kNm，TD=0.95kNm。（1）作轴的扭矩图,(2）求轴的最大切应力。 Mx /kNmx+- -1.431.750.95

5、 解：1.作扭矩图2.最大切应力第18页/共58页 Mx /kNmx+- -1.431.750.952.最大切应力mkN75. 1max=xM1605. 014. 31633P=dWMPa4 .71105 .241075. 163Pmaxmax=WMx36m105 .24=第19页/共58页解： 各横截面上扭矩均为Mx=T=10kN m （1）实心圆截面dTTD/2TTD343933Pm1096. 116m10)100(14. 316=dW例 直径d =100mm的实心圆轴，两端受力偶矩T=10kNm作用，求横截面上的最大切应力。若改用内、外直径比值为0.5的空心圆轴，且横截面面积不变，问最大

6、切应力是多少？第20页/共58页MPa0 .51N/m100 .51m1096. 1mN101026343Pmaxmax=WMxdTT343933Pm1096. 116m10)100(14. 316=dW（1）实心圆截面第21页/共58页（2）空心圆截面D/2TTD)1 (441222=Ddmm115=D34439343Pm108 . 2)5 . 0(1 16m10)115(14. 3)1 (16=DWMPa7 .35N/m107 .35m108 . 2mN101026343Pmaxmax=WMxMPa0 .51N/m100 .51m1096. 1mN101026343Pmaxmax=WMx实

7、心：空心：由面积相等，且内、外直径比 =0.5第22页/共58页 例 两空心圆轴，横截面面积相等，内、外直径比值分别为0.6和0.8，在相同扭矩作用下，问哪一个的最大切应力大？0.6D1TTD10.8D2TTD2第23页/共58页G1G2d2dG2 G1Mx第24页/共58页(b)dxdydz三、切应力互等定理xdx(a)oo( dydz)dx =( dxdz)dy = 第25页/共58页扭转圆轴纵截面上切应力？切应力互等定理：在任何受力杆件中，过一点相互垂直的两个截面上，垂直于两截面交线的切应力大小相等，并共同指向或背离这两面的交线。这是材料力学中普遍适用的一个定理dxdydzoo = 第2

8、6页/共58页3-3 圆杆扭转时的变形圆杆扭转时的变形扭转超静定问题扭转超静定问题djdxMxGdjdxj =djMxdxGMxGMxlGj =第27页/共58页 例 图示钢制实心圆截面传动轴。已知：T1 =0.82kNm， T2 =0.5kNm， T3 =0.32kNm，lAB=300mm， lAC=500mm。轴的直径d=50mm，钢的切变模量G=80GPa。试求截面C相对于B的扭转角。 解: AB、AC两轴段的扭矩分别Mx1=0.5kNm， Mx2 =0.32kNm。 T2T1T3dBAClAClAB第28页/共58页T2T1T3dBAClAClABT1T3dAClACACP2GIlMA

9、CxAC=jrad0033. 005. 03210805 . 032049=Mx1=0.5kNmMx2 =0.32kNmlAC=500mmG=80GPad=50mm第29页/共58页T2T1T3dBAClAClABT2T1T3dBAClAClABMx1=0.5kNmMx2 =0.32kNmlAB=300mmG=80GPad=50mmACABP1GIlMABxAB=jrad00310.=rad0002. 0=ABACBCjjj4905032108030500.=第30页/共58页二、扭转超静定问题 杆在扭转时，如支座反力仅用静力平衡方程不能求出，这类问题称为扭转超静定问题。其求解方法与拉压超静定

10、问题类似。ABCTabTATB第31页/共58页ABCTabTATB变形协调条件A、B两固定端, CA与CB的 数值相等。PP1GIaTGIaMAxCA=jPP2GIbTGIbMBxCB=j故BATabT =从而TTTBA=平衡方程TbabTA=TbaaTB=第32页/共58页思考题： 横截面面积相同的空心圆杆与实心圆杆，它们的强度、刚度哪一个大？但工程中为什么使用实心杆较多？第33页/共58页3-4 扭转时材料的力学性能扭转时材料的力学性能由低碳钢薄壁圆筒扭转试验可以测得T- j 曲线TMrrx=00)2(202 rT=jg0rl =jglr0=故可得 -曲线r0第34页/共58页=G剪切胡

11、克定律E、G、v的关系)1 (2=EGp剪切比例极限s剪切屈服极限第35页/共58页可得切应力强度极限b第36页/共58页3-5 扭转圆杆的强度计算和刚度计算一、强度计算等直圆杆扭转时的强度条件为式中Mxmax 是危险截面上的扭矩。PWMxmaxmax= 三方面的强度计算：校核强度、设计截面和容许力偶矩。maxMxmaxWP MxmaxWP Mxmax WP第37页/共58页=unu 极限切应力极限切应力对于脆性材料u=b对于塑性材料u=s=（0.5-0.6）塑性材料脆性材料=（0.8-1.0）容许切应力第38页/共58页 例 直径为50mm的实心传动轴。电动机通过A轮输入功率，由B、C和D轮

12、输出。已知A、B、C和D轮所受力偶矩分别为TA=3.18kNm，TB=1.43kNm，TC=0.80kNm，TD=0.95kNm,=75MPa。（1）作轴的扭矩图,(2）校核轴的切应力强度。d解： （1）轴的扭矩图Mx1.43(kNm)0.951.75-+-第39页/共58页d（2）校核轴的切应力强度AC段截面扭矩绝对值最大Mx1.43(kNm)0.951.75-+-轴的最大切应力MPa3 .71N/m103 .71m1605. 0mN1075. 126333Pmaxmax=WMxkNm=75MPa故该轴满足切应力强度要求。第40页/共58页MxmaxGIp max等直圆杆扭转的刚度条件为精密

13、机器： 一般传动轴：钻杆： =(0.150.3)o /m =(0.32.0)o /m =(2.04.0)o /m第41页/共58页 例 一传动轴如图3-14a所示。设材料的容许切应力=40MPa，切变弹性模量G=810MPa，杆的容许单位长度扭转角=0.20/m。试求轴所需的直径。解：（1）轴的扭矩图Mx(kNm)3.57+第42页/共58页Mx(kNm)3.57+3663pmm101750Pa1040mN107=.maxxMWmaxmax=pWMxmm96mm10175016163363=.PWdmaxmax=pGIMx47451643pmm10512m10512m1802010108mN1

14、07=.maxPaGMIx第43页/共58页mm126105123232474P=.Wd47451643pmm10512m10512m1802010108mN107=.maxPaGMIxMx(kNm)3.57+结合考虑，应取d=126mm第44页/共58页 例 直径D=100mm的轴，由两段联接而成；联接处加凸缘，并在D0=200mm的圆周上布置8个螺拴紧固，如图3-15所示。已知轴在扭转时的最大切应力为70MPa；螺栓的容许切应力=60MPa，试求螺拴所需直径d。解：第45页/共58页=81iiirFT0Q4DTF/=163PDWTmaxmax=kN11716403Q.max=DDFF则=2

15、QQQ4dFAFmm1191060101174463Q.=Fd第46页/共58页3-6 非圆截面杆的扭转变形特征翘曲第47页/共58页 非圆截面杆扭转后，横截面不再保持为平面，而要发生翘曲（warping）。自由扭转：两端自由的非圆截面直杆，受一对外力偶矩扭转时，各横截面翘曲程度相同，这时杆的横截面上只有切应力。约束扭转：若杆端存在约束或杆的各横截面扭矩不同，扭转后各横截面上翘曲程度不同，横截面上除有切应力外，还有附加正应力。 由约束扭转产生的附加正应力，在实体截面杆中很小，可忽略不计；但在薄壁截面杆中不能忽略。第48页/共58页角点切应力等于零; 边缘各点切应力沿切线方向; 最大切应力发生最

16、大切应力发生在长边中点。在长边中点。1maxbh一、矩形截面杆第49页/共58页（2）切应力和单位长度扭转角的计算最大切应力短边中点的切应力单位长度杆的扭转角、为与h/b有关的系数。h和b分别为矩形截面的长边和短边；TWMx=maxmaxg=1TGIMx=3TbW=4TbI=1maxbh第50页/共58页对于狭长矩形截面)(10=hm最大切应力单位长度杆的扭转角2T3hMWMxx=max3T3GhMGIMxx=第51页/共58页二、开口薄壁截面杆第52页/共58页=niiixihGM133iniiixihM=1331maxmax发生在max的狭长矩形的长边中点处。 刚周边假设：横截面的周边形状在其变形前平面上的投影保持不变。 故单位长度杆横截面的单位长度扭转角和各狭长矩形的单位长度扭转角相等，即n=21TGIMx=ixiiGIMT=由于得maxmax=niiixhM1331第53页/共58页 例 两个薄壁钢管截面，试问在相同的扭矩作用下，哪种截面形式较好？(a)D0Mx(b)D0Mx第54页/共58页解：（1）最大切应力 202DMWMxP