可降阶的高阶微分方程ppt课件

1、 本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共同特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶同特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶的方程来求解。的方程来求解。可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 前面介绍了五种标准类型的一阶方程及其前面介绍了五种标准类型的一阶方程及其求解方法，但是能用初等解法求解的方程为数腥求解方法，但是能用初等解法求解的方程为数腥当有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可当有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可用降阶法求解，一般都没有初等解法，用降阶法求解，一般都没有初等解法，以二阶方程以二阶方程 0),( yyyxF为例展开讨论为例展开讨

2、论重点讨论能将二阶导数解出的情况重点讨论能将二阶导数解出的情况),(yyxfy 如果我们设法作变量代换把它从二阶降如果我们设法作变量代换把它从二阶降至一阶，就有可能应用前节中所介绍的方法至一阶，就有可能应用前节中所介绍的方法来求解来求解一、一、 型型)(xfy 特点：特点：右端不含右端不含 yy ,仅是仅是 x 的函数的函数 解法：解法： 将将y 作为新的未知函数作为新的未知函数降阶降阶 令令yz zy 有有)(xfz 变量可分离的一阶方程变量可分离的一阶方程 积分积分 1)(cdxxfz即即 1)(cdxxfy再积分再积分 21)(cxcdxdxxfy对对 n 阶方程阶方程同理同理)()(x

3、fyn 令令) 1( nyz)(xfz 积分得积分得 1)1()(cdxxfyn如此连续积分如此连续积分n 次即得原方程的次即得原方程的含有含有n个任意常数的通解个任意常数的通解一般情况一般情况),()1()()( nknyyxfy特点：特点：.,)1( kyyy及及不显含未知函数不显含未知函数解法：解法：zyk )(令.,)()()1(knnkzyzy 则则).,()1()( knknzzxfzz 的的(n-k)阶方程阶方程, z求求得得,)(次次连连续续积积分分将将kzyk 可得通解可得通解.例例1 xysin)4( 解解1coscxy 21sincxcxy 322121coscxcxcx

4、y 4322312161sincxcxcxcxy 例例 2.0)4()5(的的通通解解求求方方程程 yxy解解),()4(xPy 设设)()5(xPy 代入原方程代入原方程, 0 PPx）（0 P解线性方程解线性方程, 得得xCP1 ,1)4(xCy 即即两端积分两端积分,得得,21221CxCy ,2612054233251CxCxCxCxCy 原方程通解为原方程通解为54233251dxdxdxdxdy 二、二、 型型),(yxfy 特点：特点： 右端不含右端不含 y 解法：解法：降阶降阶令令 py py 代入原方程得代入原方程得),(pxfdxdp 若已求得其通解为若已求得其通解为),(

5、1cxp 回代回代 py 得得),(1cxdxdy 变量可分离的一阶方程变量可分离的一阶方程积分得积分得 21),(cdxcxy 例例3 解方程解方程3, 1,2)1(002 xxyyyxyx解解令令py xppx2)1 (2 分离变量得分离变量得212xxpdp 12ln)1ln(lncxp 即即)1 (21xcp )1 (21xcy 由由得得30 xy31 c)1(32xy 233cxxy 由由1120 cyx故故133 xxy解方程解方程2)(1yy 解解pypy 令21pdxdp dxpdp 211arctancxp 即即)tan(1cxp dxcxy)tan(121)cos(lncc

6、x 例例4 三、三、 型型),(yyfy 特点：特点：右端不含右端不含 x降阶降阶解法：解法：令令pdxdyy dxdpy 由复合函数求导法则得由复合函数求导法则得dxdydydpdxdpy dydpp 代入原方程得代入原方程得 ),(pyfdydpp 这是一个关于这是一个关于 y ，p 的一阶方程的一阶方程若已求得它的通解为若已求得它的通解为),(1cypy 变量可分离的一阶方程变量可分离的一阶方程积分得积分得21),(1cxdycy 即得原方程的通解即得原方程的通解一般情况一般情况),()1()()( nknyyyfy特点：特点：.x右右端端不不显显含含自自变变量量解法：解法：)(ypy

7、设设,dydPpdxdydydpy 则则,)(2222dydPPdyPdPy ,阶方程，阶方程，的的代入原方程得到新函数代入原方程得到新函数)1()( nyP求得其解为求得其解为),()(11 nCCyyPdxdy原方程通解为原方程通解为,),(11nnCxCCydy 例例5 解方程解方程3)(yyy 解解令令py dydppy )1 (2ppdydpp 假假设设0 p21pdydp 1arctancyp 即即)tan(1cyp dxcydy )tan(1积分得积分得21)sin(lncxcy 即即xeccy21)sin( 或或12)arcsin(cecyx 假假设设0 p那那么么cy 包含在

8、通解中包含在通解中如一方程既属于不含如一方程既属于不含 x 型型 又属于不含又属于不含 y 型型则一般而言则一般而言若两边可消去若两边可消去 p 作为不含作为不含 x 型类型三型类型三来解较简单来解较简单 若两边不可消去若两边不可消去 p 作为不含作为不含 y 型类型二型类型二来解较简单来解较简单注注 例例6 解方程解方程 2 yy解解 令令 yz 2 dxdzz42 dxdz)( 412cxz 12cxy 2231)(34ccxy 32251)(158cxccxy 12cxz 例例 7.02的的通通解解求求方方程程 yyy解一解一),(ypy 设设,dydPpy 则则代入原方程得代入原方程得

9、 , 02 PdydPPy, 0)( PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可可得得,1yCdxdy 原方程通解为原方程通解为.12xceCy 解二解二,12y两端同乘不为零因子两端同乘不为零因子, 0)(22 yydxdyyyy,1yCy 故故从而通解为从而通解为.12xCeCy 解三解三原方程变为原方程变为,yyyy 两边积分两边积分,得得，1lnlnlnCyy ，即即yCy1 原方程通解为原方程通解为.12xCeCy 四、恰当导数方程四、恰当导数方程特点特点. 0),(,),()1()1( nnyyyxdxdxyyyx即即的的导导数数对对左左端端恰恰为为某某一一函函数数解法

10、：解法： 类似于全微分方程可降低一阶类似于全微分方程可降低一阶,),()1(Cyyyxn 再设法求解这个方程再设法求解这个方程.例例 8.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解将方程写成将方程写成, 0)( yydxd,1Cyy 故有故有,1dxCydy 即即积分后得通解积分后得通解.212CxCy 注意注意: :这一段技巧性较高这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程关键是配导数的方程.五、齐次方程五、齐次方程特点：特点：),(),()()(nknyyyxFttyy ttyxF 次次齐齐次次函函数数k解法：解法： zdxey可可通通过过变变换换).(,xz得新未知函数得新未知函数将其降阶将其

11、降阶, zdxzey,)(2 zdxezzy,),()1()( zdxnnezzzy, zdxke代代入入原原方方程程并并消消去去阶阶方方程程的的得得新新函函数数)1()( nxz. 0),()1( nzzzxf例例 9.)(22的通解的通解求方程求方程yxyyyx 解解, zdxey设设代入原方程代入原方程,得得,122xzxz ,121xCxz 解其通解为解其通解为原方程通解为原方程通解为.1212)1(xCdxxCxxeCey 补充题补充题:解解, zdxey设设代入原方程代入原方程,得得，zxz ,xCz 解其通解为解其通解为原方程通解为原方程通解为.212xCCxdxeCey .2的

12、通解的通解求方程求方程yyyxyxy 例例10 六、小结六、小结解法解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解通过代换将其化成较低阶的方程来求解.思考题思考题 已已知知31 y，223xy ，xexy 233都都是是微微分分方方程程 16222222 xyxyxyxx的的解解，求求此此方方程程所所对对应应齐齐次次方方程程的的通通解解.思考题解答思考题解答321,yyy都是微分方程的解都是微分方程的解,23xeyy ,212xyy 是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,21223xeyyyyx 常数常数所求通解为所求通解为 122231yyCyyCy .221xCeCx 练练 习习 题题一、求下列各微分方程的通解一、求下列各微分方程的通解: :1 1、xxey ； 2 2、21yy ；3 3、yyy 3)(； 4 4、0122 yyy. .二、二、 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: :1 1、0,1,01113 xxyyyy；2 2、1,0,0002 xxyyyay；3 3、2,1,300 xxyyyy. .三、三、 试求试求xy 的经过点的经过点)1,0