高等数学D正项级数及审敛法ppt课件

1、二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 第一节第一节一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法正项和变号级数正项和变号级数 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 第十二章 一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法假设,0nu1nnu定理定理 1. 正项级数正项级数1nnu收敛部分和序列nS),2, 1(n有界 .假设1nnu收敛 , ,收敛则nS,0nu部分和数列nSnS有界, 故nS1nnu从而又已知故有界.则称为正项级数 .单调递增, 收敛 , 也收敛.证证: “ ”“ ”机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ,Zn,nnvku 都有定

2、理定理2 (比较审敛法比较审敛法)设,1nnu1nnv且存在,ZN对一切,Nn 有(1) 若强级数1nnv则弱级数1nnu(2) 若弱级数1nnu则强级数1nnv证证:设对一切和令nSn则有收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有nnvku 是两个正项级数, (常数 k 0 ),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (1) 若强级数1nnv则有nn lim因此对一切,Zn有nS由定理 1 可知,1nnu则有(2) 若弱级数1nnu,limnnS因而,limnn这说明强级数1nnv也发散 .knSnk也收敛 .发散,收

3、敛,弱级数机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1. 讨论讨论 p 级数级数pppn131211(常数 p 0)的敛散性. 解解: 1) 假假设设, 1p因为对一切,Zn而调和级数11nn由比较审敛法可知 p 级数11npnn1发散 .发散 ,pn1机动 目录 上页 下页 返回 完毕 , 1p因为当nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp考虑强级数1121) 1(1ppnnn的部分和n111) 1(11ppnkkkn故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .时,1) 1(11pn11111) 1(113121211pppppnn12

4、) 假设机动 目录 上页 下页 返回 完毕 调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.若存在,ZN对一切,Nn,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收敛则nnu;1发散则nnu机动 目录 上页 下页 返回 完毕 证明级数1) 1(1nnn发散 .证证:2) 1(1) 1(1nnn,11n例例2.2.而111nn发散所以原级数发散。判定级数1)0(11nnaa的敛散性 .证证:是收敛的等比级数, 例例3.3.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 时，当1annau11nnva1nnav1111nna收敛；时，当1annnnau11limlim0根据级数收敛的必要条件知1.11nna发

5、散判定级数1)1ln1(nnnn的敛散性 .证证:又因为 例例4.4.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 由于)1, 0()1ln(xxxx根据比较判别法知nn 1ln)11ln(nn1nn 1ln1lnnn)111ln(n11nnnn1ln10即111nn) 1(1nn收敛。1)1ln1(nnnn21n收敛 定理定理3. (比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式),1nnu1nnv,limlvunnn则有两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当 l = 0 ,1收敛时且nnv;1也收敛nnu(3) 当 l = ,1发散时且nnv.1也发散nnu证证: 据极限定义据极限定义, 0对,ZN存在ln

6、nvu)(l设两正项级数满足(1) 当 0 l 时,时当Nn 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 llnnvunnnvluvl)()(, l取由定理 2 可知与1nnu1nnv同时收敛或同时发散 ;)(Nn ),()(Nnvlunn利用(3) 当l = 时,ZN存在,时当Nn ,1nnvu即,nnvu 由定理2可知, 假设1nnv发散 , ;1也收敛则nnu(1) 当0 l 时,(2) 当l = 0时,由定理2 知1nnv收敛 , 假设.1也发散则nnu机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ,nunv,limlvunnn是两个正项级数, (1) 当 时,l0两个级数同时收敛或发散 ;特别取,1p

7、nnv 可得如下结论 :对正项级数,nu,1pl0lunnlimpn,1pl0发散nu(2) 当 且 收敛时,0lnv(3) 当 且 发散时, lnv也收敛 ;nu也发散 .nu收敛nu机动 目录 上页 下页 返回 完毕 比阶判别法.的敛散性. nnn1lim例例5. 判别级数判别级数11sinnn的敛散性 .解解: nlim sin1nn11根据比较审敛法的极限形式知.1sin1发散nn例例6. 判别级数判别级数1211lnnn解解:nlim221limnnn1根据比较审敛法的极限形式知.11ln12收敛nnnn1sin)1ln(21n21n2n211lnn机动 目录 上页 下页 返回 完毕

8、 判定级数1)0()14tan(lnnppn的敛散性 .证证:例例7.7.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 原级数与 p 级数有相同的敛散性。)14tan(lnpnnuppnn1tan11tan1ln)1tan1ln()1tan1ln(ppnn)1tan(1tanppnnxxxxx)1ln(tan0pn1tan2)()1(nnOptantan1tantan)tan(判定级数2)1111(nnnn的敛散性 .证证:例例8.8.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 11nn1应用泰勒中值定理n111) 11()(1112xxoxxxxnn)(1()(11122nonnn1)1()(111 2non

9、n)1(1112323nonnnnnn1111)1(1112323nonnnnn11),1(12323non由比阶审敛法知原级数收敛。通项nnnuu1lim由定理定理4 . 比值审敛法比值审敛法 ( Dalembert 判别法判别法)设 nu为正项级数, 且,lim1nnnuu那么(1) 当1(2) 当1证证: (1),1时当11nnuunnuu)(112)(nu1)(NNnu, 1使取收敛 ,.收敛nu时, 级数收敛 ;或时, 级数发散 .,ZN知存在,时当Nn k)(由比较审敛法可知机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ,1时或, 0,NuZN必存在, 11nnuu,0limNnnuu因而所

10、以级数发散.Nn 当时(2) 当nnuu11nuNu1lim1nnnuu说明说明: : 当当时,级数可能收敛也可能发散.例如例如, p , p 级数级数:11npnnnnuu1limppnnn1) 1(1lim1但, 1p级数收敛 ;, 1p级数发散 .从而机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例9. 讨论级数讨论级数)0()( !1xnxnnn的敛散性 .解解: 利用达兰贝尔比值判别法级数收敛 ;机动 目录 上页 下页 返回 完毕 nnnuu1limnnnnxnnxn)( !)1( ! ) 1(lim1nnnx)11 (limex时，当ex 0级数发散 ;时，当ex 通项不趋于零，级数发散。

11、时，当ex nnuu11)11 (nnennuu1则1nueu 1断定132)1 ()1)(1)(1 (nnnaaaaa的敛散性 .解一解一:例例10.10.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 由比值法nnnuu1limnlim)1 ()1)(1)(1 (1321nnaaaaa)1 ()1)(1)(1 (32nnaaaaa11limnnaa级数收敛 ;时，当10 a01na),(n1a级数收敛 ;时，当1a1na)(n10级数收敛 ;时，当1a121)0( a级数皆收敛！，对任意0a断定132)1 ()1)(1)(1 (nnnaaaaa的敛散性 .解二解二:例例10.10.机动 目录 上页 下

12、页 返回 完毕 由比较法所以级数收敛 ;时，当10 ana收敛，na级数收敛 ;时，当1a即公比小于1的等比级数，所以级数收敛 ;时，当1a，原级数为n21)0( a)1 ()1)(1)(1 (32nnaaaaa)1 ()1)(1 (2nnaaaannnaaa11)1(na收敛，1)1(na)1)(1 (1nnnaaa级数皆收敛！，对任意0a对任意给定的正数 ,limnnnu定理定理5. 根值审敛法根值审敛法 ( Cauchy判别法判别法)设 1nnu为正项级,limnnnu那么;,1) 1(级数收敛时当 .,1)2(级数发散时当 证明提示证明提示: ,ZN存在nnu有时当,Nn 即nnnu)

13、()(分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确., )1(1111数, 且机动 目录 上页 下页 返回 完毕 时 , 级数可能收敛也可能发散 .1例如 , p 级数 :11pnnpnnnnu1)(1n说明说明 :,1pnnu 但, 1p级数收敛 ;, 1p级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例11. 11nnn审敛：解解: : nnnnnu1n1)(0n由定理5可知该级数收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2ln)(lnnnnnnnnunnnnnnlnlimlimln由定理5可知该级数收敛 .nennnlnlim2ln01lim2lnnnne nnnn4cos22

14、2由定理5可知该级数收敛 .nn2nnn4cos22221nnnnn而).(21n定理定理6. 积分审敛法：积分审敛法： 设 在区间证明提示证明提示: 单调减，机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )(xf, 1 上非负且), 2 , 1()(nnfan则级数na收敛的充要条件是1d)(xxf收敛。, 1kkx当有)2()(1kaxfakk)2(d)(11kaxxfakkkk故对k求和，得有界nSnknaS1)(那么111d)(nnnSxxfaS.d)(1收敛xxf有界nxxf1d)(广义积分例例12. 判定级数判定级数1)2(ln1nqqnn的敛散性。解解: : 机动 目录 上页 下页 返回

15、完毕 ，是单调递减非负的函数xxxfqln1)(, 0ln, 1maxxxexqq时，当, 1q若2dln1xxxq21ln)1 (1xqq ;1 收敛q, 1q若2dln1xxx2lnlnx.发散.1 发散q1)2(ln1nqqnn原级数 ;1 收敛q.1 发散q二二 、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数nnuuuu1321) 1(称为交错级数 .定理定理6 . ( Leibnitz 判别法判别法 ) 若交错级数满足条件:则级数; ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收敛 , 且其和 ,1uS 其余项满足.1nnur,2, 1

16、,0nun设机动 目录 上页 下页 返回 完毕 证证: )()()(21243212nnnuuuuuuS)()()(1222543212nnnuuuuuuuS1u是单调递增有界数列,2nS12limuSSnn又)(limlim12212nnnnnuSSnnS2lim故级数收敛于S, 且,1uS :的余项nSnu2nnSSr)(21nnuu21nnnuur1nu故S机动 目录 上页 下页 返回 完毕 收敛收敛nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nn用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:nnn10) 1(104103102101)31432收敛上述级

17、数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn发散收敛收敛 ! ) 1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1nnnn10 nn1101 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 判定级数1)ln1sin(nnn的敛散性 .解解:例例14.14.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 单调递增，在2, 0sinx因而据莱布尼茨判别法知：为交错级数，)ln1sin(nn由于nnln1sin) 1(单调递减，而nln1的增加而单调递减，随着nnln1sin0ln1sinlimnn收敛；1)ln1sin(nnn注意：注意：, 1ln1ln1sinlimnnn,ln

18、1发散而nnln1sin发散发散.设),11ln() 1(nunn则级数（ ）。例例15.15.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 （A）都收敛；与121nnnnuu提示：提示：nunn1lim2而（B）都发散；与121nnnnuu（C）发散；而收敛，121nnnnuu（D）收敛；而发散，121nnnnuu原级数收敛；nnn1)11 (lnlim2. 1C据莱布尼茨判别法，三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 定义定义: 对任意项级数对任意项级数,1nnu假设若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级111) 1(nnn,! ) 1(1) 1(11nnn1110) 1(nnn

19、n1nnu收敛 ,1nnu数1nnu为条件收敛 ;均为绝对收敛.例如例如 ：绝对收敛 ；则称原级数条件收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 本身收敛乎？定理定理7. 绝对收敛的级数一定收敛绝对收敛的级数一定收敛 .证证: 设设1nnunv),2,1(n根据比较审敛法显然,0nv1nnv收敛,收敛12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收敛，证毕。)(21nnuu 且nv,nu收敛 , 令机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例16. 证明下列级数绝对收敛证明下列级数绝对收敛 :.) 1()2(;sin) 1 (1214nnnnennn证证: (1),1sin44nnn而141nn收

20、敛 ,14sinnnn收敛因而14sinnnn绝对收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (2) 令,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因而12) 1(nnnen12) 1(nnnen收敛,绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .) 1()2(12nnnen1其和分别为 绝对收敛比条件收敛具有更好的性质:*定理定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. 说明说明: 证明见参考书证明见参考书, 这里从略这里从略.*定理定理9. ( 绝对收敛级数的乘绝对收敛级数的乘法法 ).S则对

21、所有乘积 jivu1nnw按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数1nnv1nnu与都绝对收敛,S其和为但需注意条件收敛级数不具有这两条性质. 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例17 级数级数nnnnn111) 1(31211) 1(重排次序后变为发散的级数 .解解: 将级数重排次序为机动 目录 上页 下页 返回 完毕 下面我们将证明是发散的，21311nnn21141341将相邻三项加括弧，6111191417151机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )21311 ()21141341(nnn的通项：nnn21141341nnn214141nn2142n1)211 ( 正项、发散21311nnn21141341发散发散)417151()6111191(内容小结内容小结1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 利用正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发 散满足比值审敛法 limn1nunu根值审敛法nnnulim1收 敛发 散1不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限1机动 目录 上页 下页 返回 完毕 3. 任意项级数审敛法为收敛级数1nnu设Leibniz判别法:01