2022-2023学年广东省深圳市高一（上）期末数学试卷-解析版

2022・2023学年广东省深圳市高一（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.（5分）己知集合4={3,5,7,8},B=[2,3,4,5,7）,贝ijAC8=（）

A.{8}B.{2,3,4,5,7,8}

C.{2,4,8}D.{3,5,7}

2.（5分）命题p：VxG[0,ii],sinxcosx^O,则-«p为（）

A.Vxg[0,IT],siiucosx<0B.VxG[0,n],sinxcosxWO

C.3^E[0,n],sinxcosx'OD.3xE[0,nJ,sinxcosx<0

3.（5分）已知tanCt=工，则2cosO-sina=（）

2cosa

A.1B.3C.RD.上

223

4.（5分）荡秋千是中华大地上很多民族共有的游艺竞技项目.据现有文献记载，它源自先

秦.位于广东清远的天子山悬崖秋千建在高198米的悬崖边上，该秋千的缆索长8米,

荡起来最大摆角为170°,则该秋千最大摆角所对的弧长为（）

A.68兀米B.弘•米C.13.6米D.198米

99

5.（5分）设f（x）=[f（f（x+5?，x<10,则f⑼的值为（）

2x-15,x>10

A.9B.11C.28D.14

6.（5分）已知函数/己）=lg（2cosx-1）,则函数的定义域为（）

A/兀B

A・（2kK,2k兀4）,k€z-[2k兀-冬，2k兀+k€Z

0

rz兀2k兀0）,k€Z

C（2k-r-*D*[2k兀2k,k€z

6666

aC（0，兀），cosa半

7（5分）已知,则

b

亨]+"（（1仔）=（

cos（a-兀）[2sin（a+兀）+sin（a）

A.1B.-LC.D.当

5555

8.（5分）设。=log20.4,b=logo.30.4,则（）

A.ab<0<a+bB.a+b〈ab<0C.ab<a+b<0D.Q<a+b<ab<\

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9.（5分）若4b>0,则下列不等式成立的有（）

A.a2>b2>0B.a3>b3>0C.D.b2a>a2b

2,2

ab

（多选）10.（5分）下列命题为真命题的有（）

A.若f（x）是定义在R上的奇函数，则/（0）=0

B.函数/（X）=/〃（?-6x+5）的单调递增区间为（-8,3）

C.“a=0+2hr,keZ”是“sina=sin|T的充分不必要条件

D.当x>0时，sinx<tanx

（多选）11.（5分）已知函数f（x）=c0s（2xf），下列选项正确的有（）

A.f（x）的最小正周期为IT

B.函数/（x）的单调递增区间为［卜兀4，k兀理［］,k€z

c./（X）在区间（0,旦L）上只有一个零点

6

D.函数在区间小，*］的值域为［蒋，1］

（多选）12.（5分）已知函数/（x）的定义域为R,且f（l+x）+2为奇函数，f（2-2x）

为偶函数，/（4）=0,则（）

A./（%）为奇函数

B.f（0）=0

C.f（2022）=-4

D./（1）+f（2）+f（3）+-•+/•（100）=-200

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）tarr^7--sin-?-=：-------------------•

46

14.（5分）己知x22a-1是x23的充分条件，则实数a的取值范围是.

15.（5分）函数/1）=，1+2］-10的零点所在区间为（"，〃+1）,让2,则〃的值为.

（e七2.71828）

16.（5分）已知x>0,y>0,且x+y=l,则四二的最小值为.

Yxy

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)己知f(x)=^2^

2X+1

(1)求证：/(%)为奇函数；

(2)求函数/(无)的值域.

18.(12分)已知函数/(X)=/-4|x|-5.

(1)在下面的平面直角坐标系中，作出函数/(x)的图象：

(2)方程=〃，有四个不相等的实数根，求实数〃?的取值范围.

L

九

6

1.5

1-4

1.3

1.2

1.1

k

19.(12分)已知函数f(x)=2sin(2x，一“),

(1)求函数/(x)的单调递减区间；

(2)求函数f(x)在区间［制［，［-］上的最值・

<

20.(12分)已知全集U=R,集合A=［x82*46｝，B=(x号-4<x^2a-81,

(1)若AC8=｛x由<x<6｝，求”的值；

(2)若BEA,求实数a的取值范围.

21.(12分)已知f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且f(x)+g(x)="L.

2X

(1)判断函数/(x)的单调性，并证明；

(2)若关于x的不等式2g在(0,+8)上恒成立，求实数a的取值

2X

范围.

22.(12分)如图，有一个小矩形公园ABCQ,其中AB=20m,AD=10m,现过点C修建一

条笔直的围墙(不计宽度)与A8和A£>的延长线分别交于点E,F,现将小矩形公园扩

建为三角形公园AEF.

(1)当AE多长时，才能使扩建后的公园△AEF的面积最小？并求出的最小面积.

(2)当扩建后的公园△AEF的面积最小时，要对其进行规划，要求中间为三角形绿地(图

中阴影部分)，周围是等宽的公园健步道，如图所示.若要保证绿地面积不小于总面积的

3,求健步道宽度的最大值.(小数点后保留三位小数)

4

参考数据：73^1.732,遥=2.236,715^3.873.

参考公式：tan2”组吟-•・

1-tan，9

2022-2023学年广东省深圳市高一(上)期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共4()分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.【答案】D

【分析】根据交集的概念进行计算.

【解答】解：因为A={3,5,7,8},B={2,3,4,5,7),

ACB={3,5,7).

故选：D.

2.【答案】D

【分析】根据全称量词命题的否定是特称量词命题可得答案.

【解答】解：因为命题p：Vxe[0,nJ,sinxcosx>O,

所以-y,为八40,TT],sinjvcosx<0.

故选：D.

3.【答案】B

【分析】利用同角三角函数的关系化简代入即可求值.

【解答】解：由题意可知,2cosa-sina=2-tana，

cosa

因为tana

所以普蓍晅=2-=2蒋春

故选：B.

4.【答案】A

【分析】根据弧长公式计算即可.

【解答】解：由题意得：最大摆角为篁竺」22三，半径R=8,

18018

由弧长公式可得：1=8,R=gLx8=^旺(米)•

189

故选：A.

5.【答案】B

【分析】代入分段函数，结合分段函数自变量范围，逐步求出函数值.

【解答】解：f(9)=f(f(14))=/(2X14-15)=/(13)=2X13-15=11.

故选：B.

6.【答案】A

【分析】根据对数函数真数大于。得到cosx>1,得到答案.

【解答】解：由题意得：2cosx-1>0,即cosx,则

x€(2k兀-2k九+k€Z・

OO

故选：A.

7.【答案】B

【分析】根据同角公式求出sina,根据诱导公式化简所求式子后，代入sina和cosa可

求出结果.

【解答】解：因为aE(0,兀)，cosa=YL

5

所以sina=V1-cos2Cl=J1蒋,

所以cos(a-兀)[2sin(a+71)+sin(a]+cos2(a+'2)=cos(n-a)

(-2sina+cosa)+sin2a=-cosa(-2sina+cosa)+sin2a=2sinacosa-cos2a+sin2a=

2X岖x近」占工

55555

故选：B.

8.【答案】C

【分析】先判断出a<0,b>0,得HVO,再根据对数知识判断出a+%<0,a+b>ab,

从而可得答案.

【解答】解：,.•a=log20.4<log21=0,/>=logo.30.4>logo.31=0,

.•.时<0,-^=1+1=log0.42+log0.40.3=log0140.6-

Vlogo.40.6>logo.41=0,

又ab<0,：.a+b<0,

ab

Vlogo.40.6<logo,40.4=1,

.・.空也<又ab<0,

ab

.".a+b>ab,

综上所述：ab<a+b<0.

故选：C.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.【答案】AB

【分析】举出反例得到CQ错误，根据不等式基本性质得到A正确，再A的基础上，利

用不等式的基本性质得到B正确.

【解答】解：不妨令a=3,b=2,则22X3<32X2,CO错误；

因为“>b>0,不等式两边同乘以a得：£>时>0,

不等式两边同乘以〃得：ab>b2>0,故次>户>0,4正确；

33

因为”2>/>2>O,a>h>0,相乘得：a>h>0,8正确.

故选：AB.

10.【答案】AC

【分析】根据奇函数的定义可判断A正确；求出对数型函数的定义域可判断8不正确；

根据三角函数知识以及充分不必要条件的概念可判断C正确;利用特值可判断。不正确.

【解答】解：对于A,若/(x)是定义在R上的奇函数，则/(-x)=-/(%)恒成立,

令1=0,得/(0)=0,故A正确；

对于8,由/(%)有意义可得/-6元+5>0,得x<l或x>5,

因为f=7-6x+5在（-8,1）上为减函数，在（5,+8）上为增函数，且为增

函数，

所以函数f（x）=ln（？-6x+5）的单调递增区间为（5,+8）,故8不正确；

对于于由a=0+2内I,&-Z可得sina=sin（0+2内i）=sinp,kWZ,

Etlsina=sin0可得a=0+2Zrn,在2或。=（2k+1）IT-p,k£Z,

所以“a=0+2Mi,kEZff是“sina=sin0”的充分不必要条件，故C正确；

对于当时,sinx=sin-^7—=-1'故。不正确・

4424

故选：AC.

11.【答案】AC

【分析】根据余弦函数的周期公式求出周期可判断A正确；

根据f（二）〉f（哈）可判断B不正确；

求出函数/（x）在区间（0,且!_）上的零点可判断C正确；

6

求出函数/（X）在区间耳，等]的值域可判断。不正确.

【解答】解：由f（x）=cos（2x号）可得/（X）的最小正周期为T丹=兀，故A正

确;

因为其工）工」，f（旦L）”.=」，故B不正确；

工'3'32'632

由f（x）=cos=02x-^?-=k7rkWL,得+反1,

由旦Lkez,得至＜卜＜立，kez,所以k=0,此时欠上^,

UK

212666x12

即/（x）在区间（0,空一）上只有一个零点x=^L，故C正确；

612

由得得一l《cos（2x^^-）《I’即函数/（冗）

obo66oZ

在区间吁，平.]的值域为[-1,1],故。不正确.

故选：AC.

12.【答案】BCD

【分析】根据题意，求出函数的周期、对称轴，对称中心和奇偶性，进而根据选项逐项

求解即可.

【解答】解：对于A,由于/（1+x）+2为奇函数，则/（1+x）+2+[/'（1-x）+2]=0,

则/(1+x)4/(1-x)=-4,则函数/(x)关于点(1,-2)成中心对称；

又函数/(2-2x)为偶函数，

所以/(2-2x)=/(2+2x),

所以函数f(x)关于直线x=2对称，则/(2-x)=/(2+x),

因为函数/(x)关于点(1,-2)成中心对称，

所以/(2-x)+f(x)=-4,f(2+x)4/(-x)=-4,则/(x)=f(-x),

所以函数/(x)为偶函数，故选项A错误；

对于B,由『(2-2%)=/(2+2%),令x=l,得/(0)=/(4)=0,故选项8正确；

对于C,因为函数/(x)关于直线x=2对称，且函数/(x)为偶函数，

所以/(x+4)=/(-x)=f(x),

则函数f(x)的周期为4,

由/(1+x)+f-x')=-4,令x—1可得：f(2)+f(0)=-4,

所以/(2)=-4,则/(2022)=/(505X4+2)=/(2)=-4,故选项C正确；

对于。，由f(l+x)4/(1-x)=-4,令x=0可得：/(1)=-2,/(3)=/(3-4)

=/(-])=f⑴--2,

又，(4)=0,

所以/(1)V<2)V(3)V(4)=-2+(-4)+(-2)+0=-8,

因为函数/(X)的周期为4,

所以/(1)+f(2)+f(3)+-+/,(100)=25*[/(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=-200,

故选项D正确，

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.【答案】一3.

2

【分析】根据诱导公式和特殊角的函数值计算可得结果.

【解生】ft?.兀.兀，兀、兀

[附口/用牛.t+ai.lJ：-sin~7"-tan(1r31=tan-3:—1_11_3

404N4NNN

故答案为：一3.

2

14.【答案】{他》2}.

【分析】根据充分条件的定义得到x>2a-l=x>3,从而得到不等式，求出实数。的取

值范围.

【解答】解：由题意得：x22a-l=x，3,故2a-123,解得：心2,

故实数a的取值范围是{3。22}.

故答案为：{a|a22}.

15.【答案】1.

【分析】利用零点存在性定理以及函数的单调性求得正确答案.

【解答】解：/(x)在R上递增，/(1)=e2-8<0,f(2)=e3-6>0,

所以/'(x)的零点在区间(1,2),

所以〃的值为1.

故答案为：I.

16.【答案】6.

【分析】由题干条件得到将y用1-x代替，得至后工」=一3+且±，换

2

丫xy-x+x

元后得到取」。=-3--------利用基本不等式求出工史生》1,进而求出至二

Yxyt4599t^9yxy

99t9

的最小值.

【解答】解：因为尤>0,y>0,x+y=1,

3x+13x+1_3X2+]_3x2-3X+3X+1__3+3x+l

所以0<x<l,

-

yxylxx(l-x)-x2+x-x^+x-x2+x

令3x+l=re(1,4),

3x16tt

则一■1一=-3+-----------5----------3

ti_5_"-t45

yxy/t-l/t-1—+--------

99t9

工区用,当且仅当

其中三史生》2t4,即f=26(1,4)时,等号成立,

9与，n199t9

故丝」=-3-]；-3-彳1「=6,止匕时x=-^->y^—)

t~45三巨x3y3

yxy一+--

99t999

故答案为：6.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【答案】(1)证明见解析;

(2)(-I,1).

【分析】(1)根据奇函数的定义可证结论正确；

(2)分离常数后，利用指数函数y=2*的值域可推出/(x)的值域.

【解答】解：(1)函数f(x)£3的定义域为(-8,+8),关于原点对称，

2X+1

因为f(-X)=2：l=l^=-f(X)，

2X+11+2X

所以函数f(x)为奇函数.

”、、2X-12x+l-2,2

⑵f(x)=——=---=1---'

2+12+12+1

因为2*>0,所以

所以0<二^<1，

2X+1

所以一2<二一<0，

2X+1

所以-1</(x)<1,

即函数f(x)的值域为(-1,1).

18.【答案】(1)图象见详解；

(2)(-9,-5).

【分析】(1)先把函数/(x)写成分段函数，再画其图象；

(2)由图象观察可知y=/(x)与有四个交点时，得出实数机的取值范围.

【解答】解：⑴f(x)=x?-4x-5,x>0,

X2+4X-5,X<C0

函数/(x)的图像:

(2)当x=2或-2时，函数f(x)取最小值，最小值为-9,且/(O)=-5.

由图象可知，方程/(无)="有四个不相等的实数根，即y=/(x)与)，=用有四个交点

时，所以-9V/MV-5.

故，"的取值范围为（-9,-5）.

19.【答案】（1）[3H+kn,W+k兀]（kEZ）；

oo

（2）f（x）最大值为2,最小值为f叵.

【分析】（1）利用整体代入法求函数的单调递减区间；

（2）由x所在区间，求出2x工的范围，由正弦函数单调性，求函数f（x）的最值.

4

【解答】解：（I）由卷+2kii42xT《等+2k兀（k€Z），解得

3兀//7兀//、

—7—+kn<x<—7—+k（kEZ>

oo

所以函数fco的单调递减区间为[4+k兀，I2L+kK]（kEz）；

88

r「兀兀]r「兀_兀兀二「兀兀]

（9）xt17F"2|j||lxoE[17f，­i]-n2x—€[5―»­3]'

当2x』=且即乂=冉匚时，/（X）有最大值，fG）=f（卫匕）=2，

乙X428'X/max'*■、8，乙

当2x《=耳，即乂=4时，/（X）有最小值，f（x）1111n=f（T）=f巧；

20.【答案】（1）a=7；

（2）或9/W36}.

【分析】（I）先利用对数函数的单调性求出集合4,然后根据交集的定义列出方程，解

之即可求解；

（2）结合（1）中结论和集合的包含关系，分8=0和BW0两种情况讨论，列出不等式

组，解之即可求解.

【解答】解：（1）由对数函数的单调性可知：

集合A={x|-14log2X46}={x|'|"Cx464}，

乂因为APlB={X[.<X<6}，

A4<1

所以1242.解得：a=7,

2a-8=6

所以实数a=7.

⑵由⑴可知：集合A={x|《<x<64}，

因为BUA,

①当B=0时，包-4》2a-8,解得〃<&■，

23

②当8W0时，--4<2a-8>且<5一4》^,解得：9,W36,

2|2a-8<64

所以实数”的取值范围为{a|y>|或9&W36}.

21.【答案】(1)函数/(x)在R上单调递减，证明见解析.；

(2)(-8,3].

【分析】(1)由f(x)+g(x)J，根据函数奇偶性列方程组求函数解析式，用定义法

2X

判断并证明函数/(x)的单调性；

2xx

(2)原不等式在(0,+8)上恒成立，等价于a《二2-在(0,+8)上恒成立，

2X-1

2xx

利用基本不等式求1+2一2二的最小值,即可得实数a的取值范围.

2X-1

【解答】解：⑴由f(x)+g(x)可得f(-x)+g(-x)h~^"=2K，

22

因为/(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，

所以/(-X)=-/("¥),g(-X)=g(X),

所以-/(x)+g(x)=2",

-f(x)+g(x)=2X

解得f(x)U-2，Mg(x)+

22X22X

函数f(x)定义域为R，是R上的减函数，证明如下：

22X

任取X1<X2,有zXiV2%，工->」^-，

2X12%

则

/、/1Z1X1z1IsZXXI、r、

f(X1)-f62)s=万(F--2)-7(---27s)=^-r[-----)+(27-2)]>0

1xxx

422.oz2.oio2

即/(XI)>f(X2),

函数/(x)在R上单调递减.

⑵因为g(x)](-^+2X)，

由不等式2g(x)+~^~T-a>0可得_^~+2x-^----l-a^:0,

222

x

W-A-+2-l>a—Tr=a(1-^-)-

222

当x>0时，2X>\,i」>o，

2X

不等式2g底)3-1-@〉0在(°，+8)上恒成立，

2X

pX1p2xnX

等价于a《工——:—=—~~仁■在(0,+8)上恒成立，

1，2X-1

2X

又

9

笆工-1+-1)考一1)+"2+31——1).4

2X-12X-12X-1V2X-1

2xx

当且仅当2*-14一即尸1时等号成立，得a/。=）=引

2X-12X-1mi