大学数学A第一章极限与连续ppt课件

1、 大学数学 银杏酒店管理学院第一章 极限与连续 大学数学 银杏酒店管理学院第一节 映射与函数教学内容及要求 大学数学 银杏酒店管理学院1.1.集合集合: :具有某种特定性质的事物的总体具有某种特定性质的事物的总体. .组成这个集合的事物称为该集合的元素组成这个集合的事物称为该集合的元素. .,21naaaA 所所具具有有的的特特征征xxM 有限集有限集无限集无限集,Ma ,Ma .,的的子子集集是是就就说说则则必必若若BABxAx .BA 记记作作第一节第一节 映射与函数映射与函数 大学数学 银杏酒店管理学院数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实

2、数集数集间的关系数集间的关系:.,RQQZZN .,相相等等与与就就称称集集合合且且若若BAABBA )(BA ,2,1 A例如例如,0232 xxxC.CA 则则不含任何元素的集合称为空集不含任何元素的集合称为空集. .)(记记作作例如例如, ,01,2 xRxx规定规定 空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集. . 大学数学 银杏酒店管理学院2.2.区间区间: :是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数. .这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点. .,baRba 且且bxax 称为开区间称为开区间, ,),(ba记记作作bxax 称为闭区间称为闭区间,

3、 ,ba记记作作oxaboxab 大学数学 银杏酒店管理学院bxax bxax 称为半开区间称为半开区间, ,称为半开区间称为半开区间, ,),ba记记作作,(ba记记作作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义: :两端点间的距离两端点间的距离( (线段的长度线段的长度) )称为区间的长度称为区间的长度. . 大学数学 银杏酒店管理学院4.4.常量与变量常量与变量: : 在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量与变量是相对常量与变量是相对“过程而言的过程而言的.通常用字母通常用字母a, b, c等表示常量等

4、表示常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：用字母用字母x, y, t等表示变量等表示变量.常量常量,变量变量.注：注： 大学数学 银杏酒店管理学院 函数的记号是可以任意选取的, 除了用f 外, 还可用“g”、“F”、“”等, 此时函数就记作yg(x)、yF(x)、y(x)等. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号. 设数集DR, 则称映射f : D R为定义在D上的函数, 通常简记为 yf(x), xD, 其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作Df, 即DfD. 1、定义 二、函数 大学数学 银杏酒店管理学院说明： 记号

5、f和f(x)的区别: 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 为了叙述方便, 常用记号“f(x), xD或“yf(x), xD来表示定义在D上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f . 大学数学 银杏酒店管理学院()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素: : 定义域与对应法则定义域与对应法则.xyDW约定约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.21xy 例例如如，1 ,1: D211xy 例例如如，)1 ,1(: D 大学数学 银杏酒店管理学院

6、定义定义: :.)(),(),(的的图图形形函函数数称称为为点点集集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxyWD 如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫与多值函数则叫与多值函数例例如如，222ayx 大学数学 银杏酒店管理学院 (1) 符号函数符号函数010001sgnxxxxy当当当几个特殊的函数举例：几个特殊的函数举例：1-1xyoxxx sgn 大学数学 银杏酒店管理学院(2) 取整函数：取整函数： y=xx表示不超过表示不超过 的最大的最大整数整

7、数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x 大学数学 银杏酒店管理学院 是是无无理理数数时时当当是是有有理理数数时时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3) 狄利克雷函数狄利克雷函数 大学数学 银杏酒店管理学院 0, 10, 12)(,2xxxxxf例例如如12 xy12 xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为分段函数称为分段函数. 大学数学 银杏酒店管理学院例例1 1 已知函数图形如下图所示，写出函数表达式。已知函数

8、图形如下图所示，写出函数表达式。解：解：YXO0Y),2(00YX)0 ,(0X20 x,2, 00时当xx xxyy200;200 xxy,2(00时当xxx),(2000000 xxxxyy)(2000 xxxyy即 大学数学 银杏酒店管理学院,),(0时当 xx.0y其表达式为是一个分段函数 ,)(xyy ),(, 0,2(),(22, 0,2)(000000000 xxxxxxxxyxxxxyxy 大学数学 银杏酒店管理学院解解例例2 2知知 )(xf的定义域是的定义域是 2, 1，求，求 )11(xf的定义域；的定义域； 2111x 021x 大学数学 银杏酒店管理学院 设函数设函数

9、f(x)的定义域为的定义域为D, 数集数集XD. 如果存在数如果存在数K1, 使对任一使对任一xX, 有有f(x)K1, 则称函则称函数数f(x)在在X上有上界上有上界. (1) 有界性： 如果存在数K2, 使对任一xX, 有f(x)K2, 则称函数f(x)在X上有下界. 如果存在正数M, 使对任一xX, 有|f(x)|M, 则称函数f(x)在X上有界; 如果这样的M不存在, 则称函数f(x)在X上无界. 2、函数的几种特性 大学数学 银杏酒店管理学院（2函数的单调性函数的单调性:,)(DIDxf 区区间间的的定定义义域域为为设设函函数数,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于

10、于区区间间xxxxI ;)(上上是是单单调调增增加加的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf),()()1(21xfxf 恒恒有有)( xfy )(1xf)(2xfxyoI 大学数学 银杏酒店管理学院)( xfy )(1xf)(2xfxyoI;)(上上是是单单调调减减少少的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf,)(DIDxf 区区间间的的定定义义域域为为设设函函数数,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI ),()()2(21xfxf 恒恒有有 大学数学 银杏酒店管理学院（3函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD

11、 )()(xfxf yx)(xf )( xfy ox-x)( xf;)(为为偶偶函函数数称称xf 大学数学 银杏酒店管理学院有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD )()(xfxf ;)(为为奇奇函函数数称称xf奇函数奇函数)(xf yx)( xfox-x)( xfy 大学数学 银杏酒店管理学院（4函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.2l 2l23 l 23 l,)(Dxf的的定定义义域域为为设设函函数数如如果果存存在在一一个个不不为为零零的的)()(xflxf 且且为为周周则则称称)( xf.)( ,DlxDx

12、l 使使得得对对于于任任一一数数.)(,的的周周期期称称为为期期函函数数xfl.恒恒成成立立 大学数学 银杏酒店管理学院 设函数 f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射 f 1: f(D)D, 称此映射f 1为函数 f 的反函数. 按习惯, yf(x), xD的反函数记成yf 1(x), xf(D). 假设 f 是定义在D上的单调函数, 那么 f : Df(D)是单射, 于是 f 的反函数f 1必定存在, 而且容易证明f 1也是f(D)上的单调函数. 反函数3、反函数与复合函数 大学数学 银杏酒店管理学院)( xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)( xy 反反函函数数

13、直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 大学数学 银杏酒店管理学院 设函数yf(u)的定义域为D1, 函数ug(x)在D上有定义且g(D)D1, 那么 yfg(x), xD确定的函数称为由函数ug(x)和函数yf(u)构成的复合函数, 它的定义域为D, 变量u称为中间变量. 复合函数 函数 g与函数 f 构成的复合函数通常记为f o g, 即 (f o g)(x)fg(x). 说明: g与f 构成的复合函数f o g的条件是: 是函数g在D上的值域g(D)必须含在f 的定义域Df 内, 即g(D)Df . 否则, 不能构成复合函数. 大学数学 银杏酒店管理

14、学院 幂函数: yx (R是常数); 指数函数: ya x(a0且a1); 对数函数: yloga x (a0且a1), 特别当ae时, 记为yln x; 三角函数: ysin x, ycos x, ytan x, ycot x, ysec x, ycsc x; 5.初等函数 反三角函数: yarcsin x, yarccos x, yarctan x, yarccot x . 基本初等函数 大学数学 银杏酒店管理学院 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 都是初等函数. 例如, 函数21 xy xy2sin 2cotx

15、y 初等函数 大学数学 银杏酒店管理学院应用上常遇到的双曲函数是: 双曲正弦:2sh xxeex双曲余弦:2ch xxeex双曲正切:xxxxeeeexxxchshth 双曲函数 大学数学 银杏酒店管理学院基本概念基本概念集合集合, , 区间区间, , 邻域邻域, , 常量与变量常量与变量, , 绝对值绝对值. .函数的概念函数的概念函数的特性函数的特性有界性有界性, ,单调性单调性, ,奇偶性奇偶性, ,周期性周期性. .反函数与复合函数反函数与复合函数初等函数初等函数 大学数学 银杏酒店管理学院 作业： P9: 1 、2、 3 高职工科等数学电子教案 宜宾职业技术学院教学要求： 理解数列极

16、限和函数的极限 利用左右极限判断极限的存在性教学内容： 数列极限和函数的极限 函数的左右极限 大学数学 银杏酒店管理学院“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽 大学数学 银杏酒店管理学院R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形形的面积的面积126 nnA,321nAAAAS 大学数学 银杏酒店管理学院2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 X第第一一天天截截下下的的杖

17、杖长长为为;212122 X为为第第二二天天截截下下的的杖杖长长总总和和;2121212nnXn 天天截截下下的的杖杖长长总总和和为为第第nnX211 1 大学数学 银杏酒店管理学院定定 义义 :按按自自然然数数,3,2,1编编号号依依次次排排列列的的一一列列数数 ,21nxxx (1)称称 为为 无无 穷穷 数数 列列 ,简简 称称 数数 列列 .其其 中中 的的 每每 个个 数数 称称 为为 数数列列的的项项,nx称称为为通通项项(一一般般项项 ).数数列列 (1)记记为为nx.例如例如;,2,8,4,2n;,21,81,41,21n2n21n 大学数学 银杏酒店管理学院注意：注意：1.数

18、列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn ;,)1( ,1 ,1,11 n)1(1 n;,)1(,34,21,21nnn )1(1nnn ,333,33,3 大学数学 银杏酒店管理学院.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn三、数列的极限三、数列的极限 大学数学 银杏酒店管理学院问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn.1)1(1,1

19、无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当nxnnn 问题问题: “无限接近意味着什么无限接近意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它. 1nxnnn11)1(1 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察: 大学数学 银杏酒店管理学院1、有界性、有界性 大学数学 银杏酒店管理学院2、唯一性、唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. . 大学数学 银杏酒店管理学院.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx 大学数学 银杏酒店管理学院3.单侧极限单侧极限:例如例如,.1)(lim0,10,1)(02 xfxxxxxfx证证明明

20、设设两两种种情情况况分分别别讨讨论论和和分分00 xx,0 xx从从左左侧侧无无限限趋趋近近;00 xx记记作作,0 xx从从右右侧侧无无限限趋趋近近;00 xx记记作作yox1xy 112 xy 大学数学 银杏酒店管理学院.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理.lim0不不存存在在验验证证xxx yx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx 例例5证证1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x 大学数学 银杏酒店管理学院1.有界性有界性2.唯一性唯一性 大学数学 银杏酒店管

21、理学院高职工科等数学电子教案 宜宾职业技术学院第三节第三节 无穷大与无穷小无穷大与无穷小教学要求： 理解无穷大和无穷小的概念 掌握无穷小的性质 了解无穷小与函数极限的关系教学内容： 无穷大与无穷小定义 无穷小的 应用 大学数学 银杏酒店管理学院1、定义、定义:极限为零的变量称为无穷小极限为零的变量称为无穷小. 大学数学 银杏酒店管理学院例如例如,0sinlim0 xx.0sin时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数xx,01lim xx.1时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数 xx,0)1(lim nnn.)1(时时的的无无穷穷小小是是当当数数列列 nnn注意注意（1无穷小是变量无穷小是变量,不

22、能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;（2零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数. 大学数学 银杏酒店管理学院2、无穷小与函数极限的关系、无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性,)(lim0Axfxx 设设,)()(Axfx 令令,0)(lim0 xxx则则有有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 设设,)(0时时的的无无穷穷小小是是当当其其中中xxx )(lim)(lim00 xAxfxxxx 则则)(lim0 xAxx .A 定定理理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其其 中中)( x 是是 当当0 xx 时时 的的 无无 穷穷 小小

23、. 大学数学 银杏酒店管理学院意义（1将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);).(,)()(20 xAxfxxf 误误差差为为式式附附近近的的近近似似表表达达在在）给给出出了了函函数数（ 3、无穷小的运算性质:定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 大学数学 银杏酒店管理学院注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是是无无穷穷小小，时时例例如如nn1, .11不不是是无无穷穷小小之之和和为为个个但但nn定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 大学数学 银杏酒店管理学院推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷

24、小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.xxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例例如如都是无穷小都是无穷小 大学数学 银杏酒店管理学院定定义义 2 2 设设函函数数)( xf在在0 x某某一一去去心心邻邻域域内内有有定定义义 （或或x大大于于某某一一正正数数时时有有定定义义） 如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数M( (不不论论它它多多么么大大) ), ,总总存存在在正正数数 ( (或或正正数数X) ), ,使使得得对对于于适适合合不不等等式式 00 xx( (或或 xX)

25、)的的一一切切x, ,对对应应的的函函 数数值值)( xf总总 满满 足足 不不 等等 式式 Mxf )(, , 则则 称称函函数数)( xf当当0 xx ( (或或 x) )时时 为为无无穷穷 大大, ,记记作作 ).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或 绝对值无限增大的变量称为无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大. 大学数学 银杏酒店管理学院特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意（1无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;（3无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界

26、变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.)(lim20认认为为极极限限存存在在）切切勿勿将将（ xfxx 大学数学 银杏酒店管理学院.,1sin1,0,但但不不是是无无穷穷大大是是一一个个无无界界变变量量时时当当例例如如xxyx ),3,2,1 ,0(221)1( kkxk取取,22)( kxyk.)(,Mxykk 充充分分大大时时当当),3,2,1 ,0(21)2( kkxk取取, kxk充充分分大大时时当当 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是无穷大不是无穷大无界，无界， 大学数学 银杏酒店管理学院.11lim1 xx证证明明例例证证.0 M,11Mx 要要使使,11M

27、x 只只要要,1M 取取,110时时当当Mx .11Mx 就就有有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的的图图形形的的铅铅直直渐渐近近线线是是函函数数则则直直线线如如果果定定义义xfyxxxfxx 大学数学 银杏酒店管理学院定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论, ,都可归结为关于无穷都可归结为关于无穷小的讨论小的讨论. . 大学数学 银杏酒店管理学院例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxx

28、x .1sin,sin,022都都是是无无穷穷小小时时当当xxxxxx 极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢程度不快慢程度不同同.;32要要快快得得多多比比xx;sin大大致致相相同同与与 xx不可比不可比.,0 ,1 xx1sinlim0 .不不存存在在观察各极观察各极限限型型）（00 大学数学 银杏酒店管理学院；记记作作高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比，就就说说如如果果)(,0lim)1( o定义定义: :.0, 且且穷穷小小是是同同一一过过程程中中的的两两个个无无设设;,0lim)3(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与就就说说如如果果 C;,1lim 记记作作是是等等

29、价价的的无无穷穷小小与与则则称称如如果果特特殊殊地地，低低阶阶的的无无穷穷小小是是比比，就就说说如如果果 lim)( 大学数学 银杏酒店管理学院.,0,0lim)4(无无穷穷小小阶阶的的的的是是就就说说如如果果kkCk ，03lim20 xxx，1sinlim0 xxx;302高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比时时，当当xxx ).0()3(2 xxox即即是是等等价价无无穷穷小小与与时时，当当xxxsin0).0(sinxxx即即例如，例如， 大学数学 银杏酒店管理学院例例1 1.sintan,0:的的三三阶阶无无穷穷小小为为时时当当证证明明xxxx 解解30sintanlimxxxx )co

30、s1sincos1(lim20 xxxxxx ,21 .sintan的的三三阶阶无无穷穷小小为为 xxx 2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx 大学数学 银杏酒店管理学院的的主主要要部部分分是是称称为为必必要要条条件件是是等等价价无无穷穷小小的的的的充充分分与与定定理理 ).(1o证证必要性必要性，设设 1limlim ，0 ，即即)()( oo充分性充分性设设)( o )(limlimo）（ )(limo，1 大学数学 银杏酒店管理学院用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式例如例如,),(sinxoxx ).(21cos122xoxx

31、 ,0时时当当xxycos1 221yx 常用等价无穷小常用等价无穷小: :,0时时当当x)0(1)1(,21cos1,1)1ln(arctanarcsintansin2 aaxxxxexxxxxxxax.21cos1,sin2xxxx 意义：意义： 大学数学 银杏酒店管理学院例例解解)1ln(lim1lim00uuxeuxx .1lim0 xexx 求求,1uex 令令),1ln(ux 即即,0,0ux有有时时则则当当uuu10)1ln(1lim uuu10)1ln(lim1 eln1 .1 .1),1ln(0 xexxxx时时，即即，当当 大学数学 银杏酒店管理学院定理定理( (等价无穷小

32、代换定理等价无穷小代换定理) ).limlim,lim, 则则存存在在且且设设证证 lim)lim( limlimlim.lim 大学数学 银杏酒店管理学院例例.cos16tanlim20 xxx 求求解解.66tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)6(limxxx 原原式式.72 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限穷小代换，而不会改变原式的极限 大学数学 银杏酒店管理学院不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小

33、代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换对于代数和中各无穷小不能分别代换. .注意注意例例.arcsinsin)1(lim0 xxxx 求求解解.arcsin,sin,0 xxxxx时时当当xxxx)1(lim0 原原式式.1 )1(lim0 xx 大学数学 银杏酒店管理学院例例.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当30)2(limxxxx 原原式式.0 解解,0时时当当x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxx

34、x 原原式式.161 错错 大学数学 银杏酒店管理学院例例6 6.2sin1cos3tanlim220 xxxx 求求解解),(33tanxoxx ),(22sinxoxx ).(21cos122xoxx )()2()(21)()3(lim22220 xoxxoxxoxx 原原式式22204219limxxxx .819 大学数学 银杏酒店管理学院1、主要内容、主要内容: 两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小（无穷小（ 大是变量大是变量,不能与很小大的数混不能与很小大的数混

35、淆，零是唯一的无穷小的数；淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2无穷多个无穷小的代数和乘积未必是无穷小；无穷多个无穷小的代数和乘积未必是无穷小；（3） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大. 大学数学 银杏酒店管理学院无穷小的比较无穷小的比较反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.等价无穷小的代换等价无穷小的代换:求极限的又一种方法求极限的又一种方法, 注意适用条件注意适用条件.高高(低低)阶无穷小阶无穷小; 等价无穷小等价无穷小; 无穷小的阶无穷小的阶. 大学数学 银杏酒店管理学

36、院高职工科等数学电子教案 宜宾职业技术学院第四节第四节 极限的运算法则极限的运算法则教学要求： 掌握函数极限的四则运算法则 会用等价无穷小求函数的极限教学内容： 等价无穷小、函数极限的四则运算 应用无穷小的性质 大学数学 银杏酒店管理学院定理定理.0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其其中中则则设设证证.)(lim,)(limBxgAxf .)(,)(BxgAxf由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得.0, 0其中 大学数学 银杏酒店管理学院)()()(BAxgxf .0.)1(成成立立

37、)()()(BAxgxf ABBA )( )(BA.0.)2(成成立立 大学数学 银杏酒店管理学院BAxgxf )()(BABA )( BBAB.0 AB,0,0 B又又,0 ,00时时当当 xx,2B BBBB21 B21 大学数学 银杏酒店管理学院推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为为常常数数而而存存在在如如果果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是是正正整整数数而而存存在在如如果果推论推论2 2,21)(2BBB ,2)(12BBB 故故有界，有界，.)3(成成立立 大学数

38、学 银杏酒店管理学院例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 ,03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 大学数学 银杏酒店管理学院小结小结: :则则有有设设,)(.1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则则有有且且设设,0)(,)()()(.20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(li

39、m000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf .,0)(0则则商商的的法法则则不不能能应应用用若若 xQ 大学数学 银杏酒店管理学院解解)32(lim21 xxx,0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又,03 1432lim21 xxxx.030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx 大学数学 银杏酒店管理学院解解.,1分分母母的的极极限限都都是是零零分分子子时时x,1.x 先 进 行 分 子 有 理 化约 去 不 为 零的 无 穷 小 因 子后 再 求 极

40、 限)00(型型(消去零因子法消去零因子法)1213lim21xxx例例3:3:1213lim21xxx)213)(1)(1()213)(213(lim1xxxxxx=)213)(1(3lim1xxx=83 大学数学 银杏酒店管理学院例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分分母母的的极极限限都都是是无无穷穷大大分分子子时时 x)(型型 .,3再再求求极极限限分分出出无无穷穷小小去去除除分分子子分分母母先先用用 x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (无穷小因子分出法无穷小因子分出法) 大学数学 银杏酒店管理学院小结小结: :为为

41、非非负负整整数数时时有有和和当当nmba,0,000 ,0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子, ,分母分母, ,以分出无穷小以分出无穷小, ,然后再求极限然后再求极限. . 大学数学 银杏酒店管理学院解解)211()211)(211)(211)(211(lim2842nn例例5 5原式原式 )211/()211 ()211)(211)(211(lim22nn=)211()211)(211(lim2222nn=)211)(211(lim222nnn)211

42、(lim212nn=2 大学数学 银杏酒店管理学院解解,1,为为无无穷穷小小时时当当xx .sin是是有有界界函函数数而而x.0sinlim xxxxxxsinlim 例例6 6 求求 大学数学 银杏酒店管理学院例例7 7).(lim,0,10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设yox1xy 112 xy解解两两个个单单侧侧极极限限为为是是函函数数的的分分段段点点,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx ,1 )1(lim)(lim200 xxfxx,1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,.1)(lim0 xfx故故 大学数学 银杏酒店管理学院.)(lim)(lim)()(lim

43、)()(lim)(00000AufxfxxxfAufaxxaxaxxxuauxxauxx 时时的的极极限限也也存存在在，且且当当则则复复合合函函数数，又又的的某某去去心心邻邻域域内内但但在在点点，即即时时的的极极限限存存在在且且等等于于当当运运算算法法则则）设设函函数数定定理理（复复合合函函数数的的极极限限)(lim0 xfxx )(limufau)( xu 令令)(lim0 xaxx 意义：意义： 大学数学 银杏酒店管理学院162)1()1()2(lim)1()1()12(lim4821827817841482784 xxxxxxxxxxx例例8 8解解: :原式原式 大学数学 银杏酒店管理

44、学院1 1、极限的四则运算法则及其推论、极限的四则运算法则及其推论; ;2 2、极限求法、极限求法; ;a.a.多项式与分式函数代入法求极多项式与分式函数代入法求极限限; ;b.b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限; ;c.c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限; ;d.d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限; ;e.e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限. .3 3、复合函数的极限运算法则、复合函数的极限运算法则 大学数学 银杏酒店管理学院 大学数学 银杏酒店管理学院第五节第五节 两个重要极限两个重要极限教学要求： 掌握 两个重要极限 利用重要极

45、限解决问题教学内容： 两个重要极限的性质 两个重要极限及其应用 大学数学 银杏酒店管理学院AC(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO圆圆心心角角设设单单位位圆圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有xoBD.ACO ，得得作作单单位位圆圆的的切切线线,xOAB 的的圆圆心心角角为为扇扇形形,BDOAB 的的高高为为 大学数学 银杏酒店管理学院,tansinxxx ,1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式对对于于 x,20时时当当 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x ,02lim20 xx,0)cos1(lim0 xx,1

46、coslim0 xx,11lim0 x又又.1sinlim0 xxx 大学数学 银杏酒店管理学院例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原原式式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 大学数学 银杏酒店管理学院(2)exxx )11(limexxx10)1 (lim 大学数学 银杏酒店管理学院例例4 4.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原原式式.1e 例例5 5.)23(lim2 xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e 大学

47、数学 银杏酒店管理学院两个重要极限两个重要极限;1sinlim10 某某过过程程.)1(lim210e 某某过过程程,为为某某过过程程中中的的无无穷穷小小设设 大学数学 银杏酒店管理学院高职工科等数学电子教案 宜宾职业技术学院第六节第六节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点教学要求： 理解函数连续的定义 掌握分段函数连续的判定方法 利用连续的性质求极限教学内容： 函数连续的定义及判断方法 连续函数的性质及应用 大学数学 银杏酒店管理学院1.函数的增量函数的增量.,),(,)()(0000的的增增量量称称为为自自变变量量在在点点内内有有定定义义在在设设函函数数xxxxxUxxUxf .)(

48、),()(0的的增增量量相相应应于于称称为为函函数数xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)( xfy x 0 xxx 0 x y y )( xfy 大学数学 银杏酒店管理学院2.连续的定义连续的定义定定义义 1 1 设设函函数数)( xf在在)(0 xU 内内有有定定义义, ,如如果果当当自自变变量量的的增增量量x 趋趋向向于于零零时时, ,对对应应的的函函数数的的增增量量y 也也趋趋向向于于零零, ,即即0lim0 yx 或或0)()(lim000 xfxxfx, ,那那末末就就称称函函数数)( xf在在点点0 x连连续续, ,0 x称称为为)( xf的的连连续续点点. .,0 x

49、xx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就就是是).()(00 xfxfy 就就是是 大学数学 银杏酒店管理学院 大学数学 银杏酒店管理学院 ,32,12,21,11,122xxxxxx )( xf研究函数研究函数例例1 1在点在点x=1,x=2x=1,x=2处的连续处的连续性性; ;解解:)1 (1lim)(lim211fxxfxx)1(1)12(lim)(lim11fxxfxx 大学数学 银杏酒店管理学院1 x)2(5)12(lim)(lim22fxxfxx )2(4lim)(lim222fxxfxx 2 x 是连续点是连续点 是跳跃间断点是跳跃间断点 大学数学 银杏酒店管理学

50、院3.单侧连续单侧连续;)(),()0(,()(0000处处左左连连续续在在点点则则称称且且内内有有定定义义在在若若函函数数xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00处处既既左左连连续续又又右右连连续续在在是是函函数数处处连连续续在在函函数数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处处右右连连续续在在点点则则称称且且内内有有定定义义在在若若函函数数xxfxfxfbxxf 大学数学 银杏酒店管理学院例例2 2.0,0,2,0,2)(连连续续性性处处的的在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2

51、 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处处不不连连续续在在点点故故函函数数 xxf 大学数学 银杏酒店管理学院4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上上连连续续在在闭闭区区间间函函数数则则称称处处左左连连续续在在右右端端点点处处右右连连续续并并且且在在左左端端点点内内连连续续如如果果函函数数在在开开区区间间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,.),(内内是是连连续续的的有有理理函函数数在在区区间间 大学数学 银杏酒店管理学院例例3 3.),(sin内内连连续续在在区

52、区间间函函数数证证明明 xy证证),( x任任取取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx ,1)2cos( xx.2sin2xy 则则,0,时时当当对对任任意意的的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故.0,0 yx时时当当.),(sin都都是是连连续续的的对对任任意意函函数数即即 xxy 大学数学 银杏酒店管理学院:)(0条件处连续必须满足的三个在点函数xxf;)()1(0处处有有定定义义在在点点 xxf;)(lim)2(0存存在在xfxx ).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或或间间断断点点的的不不连连续续点点为为并并称称点点或或间间断断处处不不连连续续在在点点函函数数则则称称要要有有一一个个不不满满足足如如果果上上述述三三个个条条件件中中只只xfxxxf 大学数