因式分解法解一元二次方程典型例题

1、典型例题一例 用因式分解法解下列方程：(1) y2+ 7y+ 6= 0;(2) t(2t 1) = 3(2t 1)； (2x 1)( x 1) = 1.解：(1)方程可变形为(y+ 1)( y+ 6) = 0y + 1= 0 或 y+ 6 = 0二 y1= 1, y2 = 6方程可变形为t(2t 1) 3(2t 1) = 0(2t 1)( t 3) = 0, 2t 1 = 0 或 t 3 = 0 1二 t 1= , t 2= 3.22(3) 方程可变形为2x 3x= 0x(2x 3) = 0, x = 0 或 2x 3= 0X1= 0, X2 =2说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一

2、般地要把方程整理为一般 式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就 是原方程的两个解了. 应用因式分解法解形如(x a)( x b) = c的方程，其左边是两个一次因 式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x e)(x f) = 0的形式，这时才有 X1= e，X2 = f，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x 1= 1 或 x 1 = 1 . X1= 1，X2 = 2.(3) 在方程中，为什么方程两边不能同除以(2t 1)，请同学们思考典型例题二例用因式分解法解下列方

3、程6x2 3 .3x =2、2x .6解：把方程左边因式分解为：(2x、3)(3x - 2) =0.2x . 3 = 0 或 3x- .2 =0恵-X1, X2 :23说明：对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式, 均可用因式分解法求出方程的解。典型例题三例用因式分解法解下列方程。22y 門 15解：移项得：2y2 y _15 =0把方程左边因式分解得：(2y 5)(y 3) =0/. 2y 5=0或 y _3 = 0二 * = -22 = 3说明：在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般 式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时

4、，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解 就是原方程的两个解了。典型例题四例用因式分解法解下列方程(1) 6x2 -13x 2 =0 ;(2) 3(2x 1)2 -9( .3x -2)2 =0 ；分析：一元二次方程化为一般形式后，在一般情况下，左边是一个二次三项 式，右边是零二次三项式，通常用因式分解的方法，可以分解成两个一次因式 的积，从而可求出方程的根.但有些问题，可直接用因式分解法求解，例如(2) 符合平方差公式的结构特征.解：(1)原方程可变形为(6x _1)(x _2) =0,6x-1 = 0或 x-2 = 0， , X? 2.6(2) 原方程可

5、化为(2 3x 3)2 _(3.3x _6)2 二0，即 (2 3x 、3 3、3x -6)(2、3x .3 - 3、3x 6) = 0， ®3x 、3 -6)(、36 -、3x) =0， 5 3x 3 -6=0 或.3 6 -，3x0，2,3 -1,x2=1+2再.说明：因式分解将二次方程化为一次方程求解， 起到了降次的作用这种化未 知为已知的解题思想，是数学中的“化归思想”.事实上，将多元方程组化为一元方程，也是此法典型例题五例 用因式分解法解方程：(1) x2 -5x-36 =0 ；(2) 2(2x-3)2 3(2x-3) =0 ；(3) x2 -(2 _2.、2)x -3 2

6、.2 =0 ；(4) y2 -(2、3 3 一2)x 6、6 =0.分析：用因式分解法解一元二次方程时，应将方程化为A= 0的形式，然后通过A =0或B =0，求出xi,x2.解：(1)(x-9)(x 4) =0，x -9 =0或 x 4 = 0.X1 = 9, x 2 = -4.(2) (2x_3)(4x_6_3) = 0 ,即(2x-3)(4x-9) = 0 . 2x -3 =0或 4x-9 =0，39X1,x?24(3) (x 讥-(3-2一2) =0 ,即 x 1 =0或 x-(3-2：2) =0. X1 = -1, X2 = 3 -'22 .(4) (y-2 3)(y-3.2

7、) =0，即 y-2 .3 =0或 y-3.2 =0， y1 =2 .3,y2 =3 2儿一次方程，只要熟悉无理数的分解方法,说明：有些系数或常数是无理数的 也可将之和因式分解法求解.典型例题六例 用适当方法解下列方程:2x2 -5 =0 ；(1)2 1(2) 5x2 2=2(1-x)-x(x_?)；(3)2(x-3)2 2(x2_1)=4x 1 ;(4) x2 -4、. 3x 10 =0(5)3x2 - 7x 4 = 0 (用配方法)解：(1)移项，得2x2方程两边都除以2,得解这个方程，得(2)展开，整理，得1 2-10，方程可变形为4x2 x = 0.x(4x 1)=0x=0 或 4x1

8、=0，c1x 0, x2 :4(3) 展开，整理，得方程可变形为4x2 -16x 15 =0，(2x-3)(2x-5)=02x -3 = 0或 2x -5 = 035% =，x2 =(4) va =1,b - 4.3,c =10,3)± J8x 二4.3 2 .22b2-4ac = (4. 3)2-4 1 10=80 ,二乂勺=2 . 32 ,X2=2、3-、2（5）移项，得3x2 -7x=4，方程各项都除以3,得2 74xx=33'配方，得27“ 7、24“ 7、2xx ()=()，3636“7、21(x)26-36解这个方程，得71x 一 1662 1即说明：当X2 二

9、1 .元二次方程本身特征不明显时，需先将方程化为一般形式ax2 bx <=0心=0），若b=0，a、c异号时，可用直接开平方法求解，如（I） 题若a=0，b = 0,c=0时，可用因式分解法求解，如（2）题若a、b、c 均不为零，有的可用因式分解法求解，如（3）题；有的可用公式法求解，如（4） 题配方法做为一种重要的数学方法也应掌握，如（5）题.而有些一元二次方程有较明显特征时，不一定都要化成一般形式，如方程（x F）2 -4=0可用直接开平方法或因式分解法求解.又如方程 （x-2）（4x 1） （x-1）（x-2）也不必展开整理成一般形式，因为方程两边都有，移项后提取公因式，得（x-2

10、）（4x，1）-（x-1） =0 ,用因式分解法求解，得2为=2,X2二-，对于这样的方程，一定注意不能把方程两边都除以（x-2），这3会丢掉一个根x=2 也就是方程两边不能除以含有未知数的整式.典型例题七例 解关于 x 的方程 20m2x2 11mnx-3n2 = 0 ( mO )解法一：原方程可变形为(5mx - n)(4mx 3n) = 05mx-n = 0或 4mx 3n = 0I m = 0,n3nxi,x25m4m解 法 二： T a=20m2, b = 11 mn, c =-3 n2,2 2 2 2b -4ac =(11mn) -4 20m (-3n )2 2= 361m n _

11、0 ,又 m = 0 ,-11 mn36 m2n2-11m n士 19m nx 2 2 -2 70m40mn3nx1,x2.5m4m说明 解字母系数方程时，除了要分清已知数和未知数，还要注意题目中给 出的条件，要根据条件说明方程两边除以的代数式的值不等于零.对于字母系数的一元二次方程同样可以有几种不同的解法，也要根据题目的特点选用较简单的解法，本题的解法一显然比解法二要简单.典型例题八例 已知m-2 =1，试解关于x的方程mx(x-2)+2 = (x+ 1)(x-1).分析 由m-2 =1，容易得到m=3或m=1 整理关干x的方程，得(m -1)x2 -2mx 3 =0 .题目中没有指明这个方

12、程是一元二次方程，因此对二次项系数要进行讨论，当m-1=0时，方程是一元一次方程；当m-1 = 0时，方程是 一元二次方程。解：由m-2 =1，得m-2h 1,m 3, m2 = 1.整理 mx(x2)2 =(x 1)(x1)，得2(m _1)x -2mx 3 = 0.当m =3时，原方程为2x2 6x= 0 ,解得3,3x1 二厂，x2当m =1时，原方程为-2x 3 = 0, 解得Xi3.33-33当 m=1 时，x=-2填空题1 方程(x-2)2=(x-2)的根是2. 方程(x 3)(x 1) =6x 4的解是23. 方程(2y 1)3(2y 1) 0 的解是答案：1. x2, x2 =

13、3 2.=1 、2, x2=1- .23.-1,-|.解答题1. 用因式分解法解下列方程：(1)(x 2)2 =2x4；(2) 4(x-3)2-x(x-3) =0;(3)10x2-11x-6=0；(4) 9(x-2)2=4(x 1)2。2 2(5) x x =0 ； (6) x -2x -35 =0 ;2 2(7) x - 7x10=0 ； (8) x 9x18=0 ;(9) 10x211x6=0 ； (10) 6x2 11x7=0.2. 用因式分解法解下列方程：(1) (x_3)(x 1)=5 ; (2) 14(x-4)(4) 人=8, X2 (1)论=0 , x2 = k2 -1 (2)论

14、=m n , x2 = mn (3) x = 6m , x -9m (4)29baX1, X2(5) X1, X2.3m5mab779 (1)X1,X2(2)为=0,X2(3)花=2,X2T(4)x26 ,224 9(x-4)一65=0 ；(3)3(- x)2 5(xl) 一2 = 0。2 23. 用因式分解法解下列关于x的一兀二次方程：(1) x2 x _k2x = 0 ; (2) x2 _2mx m2 - n2 = 0 ;(3) x2 3mx-54m2=0 ; (4) 15m2x2-17mx-18 = 0 (m = 0);2 2 2(5) abx -(a b )x ab = 0 (ab = 0)4. 用适当的方法解下列方程：(1) 4x2 -49 =0 ； (2) 4x2 -9x =0 ;(3) x2 -x =2 ； (4) x2 -2x=624 ;(5) x2 _x1 二 0 ; ( 6) x2 _2 . 5x 2=0.5.已知三角形的两边分别是1和2,第三边的数值是方程2x2 - 5x 3 = 0的根,求这个三角形的周长答案：1 . (1)花=一2, X2 =0 ;(2) x1 = 3, X2 =