第3讲平面及其方程2ppt课件

1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学一元微积分学 大大 学学 数数 学一）学一）第八讲第八讲 平面及其方程平面及其方程第一章第一章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第三节第三节 平面及其方程平面及其方程本节教学要求： 理解平面的法向量的概念。 熟悉平面的点法式方程、三点式方程、截距式方程 和一般方程以及它们间的转化。 熟悉平面间的夹角、点到平面的距离的计算。 掌握平面间垂直、平行与它们的法向量间的关系。一一. 平面的法向量平面的法向量第三节第三节 平面及其方程平面及其方程二二. 平面的方程平面的方程三三. 与平面有关的几个问题与平面有关的几个问题一一. 平面的法向量平面的法向

2、量 垂直的任何非零与已知平面 向量。向量均称为该平面的法 ) , ,( 。法向量通常记为CBAn 1 的法向量称为单位法模等于 , ,0。记为称为单位法向量向量n ) 0( , 的法向量。均为为实数则的法向量为平面若nn ,/ / , 11的法向量。也是平面则平面的法向量为平面若nnn1nn二二. 平面的方程平面的方程 平面的点法式方程 平面的一般方程 平面的三点式方程 平面的截距式方程 小结(点法式)1. 平面的点法式方程xyzOn 0M ),( 0000zyxM通过点已知平面 , 3中在空间R ),( CBAn 的法向量及 ) ,( 。不同时为零CBA M : ),( 0MMzyxM构成向

3、量上任取一点在平面 , ),(0000zzyyxxMM 0 , 00即有。故则nMMnMM 0)()()(000。zzCyyBxxA2. 平面的一般方程 , 0)()()( 000得由平面的点法式方程zzCyyBxxA 0000。CzByAxCzByAx ),( 000则有令CzByAxD 0。DCzByAx , ),( ,0000则有满足上面的方程如果点反过来zyxM , 0000DCzByAx , 000从而故CzByAxD , 0)()()(000zzCyyBxxA ),( 0000上。在平面即点zyxM定理定理 1 , , , 3的一次方程任何一个关于空间中在zyxR 0DCzByAx

4、 的法向量为该方程所表示的平面都是平面方程。 ) , ,(。CBAn ) , , , (不全为零。其中CBA 的转化一般方程与点法式方程 0 DCzByAx一般方程 0)()()( 000zzCyyBxxA点法式方程 , 0 则假设A ), , ,(CBAn )0 0, ,( 0。过点ADM 000CzByAxD令 ) , ,( 0000zyxM过点 ), , ,(CBAn )( 1 截距式方程。czbyax 位置平面在坐标系中的特殊 , 0 则的一般方程为设平面DCzByAx , 0 ) 1 (则平面方程为若D , 0 CzByAx , 0 , 0 , 0 ,满足方程此时zyx , 0 过坐

5、标原点。平面时故DyxzO 位置平面在坐标系中的特殊 , 0 则的一般方程为设平面DCzByAxOyxz , 0 )2(则平面方程为若C , 0 DByAx ) 0 , ,( 。平面的法向量BAn , 01 0 0)0 ,(），（，BAkn 轴。znkn 0C / , 0轴。则平面zD , 0轴。则平面通过 zD 0C / , 0轴。则平面zD , 0轴。则平面通过 zD 位置平面在坐标系中的特殊 , 0 则的一般方程为设平面DCzByAx 0C / , 0轴。则平面zD , 0轴。则平面通过 zD 0B / , 0轴。则平面yD , 0轴。则平面通过 yD 0A / , 0轴。则平面xD ,

6、 0轴。则平面通过 xD 位置平面在坐标系中的特殊 , 0 则的一般方程为设平面DCzByAx , 0 , 0 )3(则平面方程为若BA , 0 DzC 0 , 0BA ) ( / , 0。轴垂直于平面则平面zxyD , 0平面重合。与则平面xyD / / ), , 0 , 0(。且knCnOyxz 位置平面在坐标系中的特殊 , 0 则的一般方程为设平面DCzByAx 0 , 0BA ) ( / , 0。轴垂直于平面则平面zxyD , 0平面重合。与则平面xyD 0 , 0CA ) ( / , 0。轴垂直于平面则平面yxzD , 0平面重合。与则平面xzD 0 , 0CB ) ( / , 0。

7、轴垂直于平面则平面xyzD , 0平面重合。与则平面yzD3. 平面的三点式方程 3的三点空间中不在同一直线上已知R ),( ),( ),(333322221111zyxMzyxMzyxM 面的方程。求由此三点所确定的平不在同一直线上的三点确定一个平面。1M2M3M3121MMMMn 点法式方程),(zyxM 向量共面定理定理 11M2M3M),(zyxM 的充要条件是 3的三点空间中不在同一直线上设 R ),( ),( ),(333322221111zyxMzyxMzyxM上位于平面则空间中点确定一个平面 ),( , zyxM 0)(13121。MMMMMM 3的三点空间中不在同一直线上R

8、),( ),( ),(333322221111zyxMzyxMzyxM 所确定的平面的方程为 0 131313121212111。zzyyxxzzyyxxzzyyxx, 0)(13121MMMMMM ,),( 3即其中RzyxM )( 0 131313121212111三点式方程。zzyyxxzzyyxxzzyyxx4. 平面的截距式方程 3标轴上的三点空间中分别位于三个坐R ) , 0 , 0( ),0 , , 0( ),0 , 0 ,(cRbQaP 所确定的平面的方程为 , 0 00 0000000000 cabazyaxcabazyax 0 。即abcabzacybcx 1 。czbya

9、x轴上的截距。平面在分别为 , , , ,zyxcba , 0 故该平面方程为由于abcOyxz)0 , 0 ,(aP)0 , 0(bQ), 0 , 0(cR 3空间中的三点R 所确定的平面的方程为 1 。czbyax ) 1 , 1 , 1 ( ,。此时cban , , 称为方程中的cba 截距。平面在相应坐标轴上的 ) , 0 , 0( ),0 , , 0( ),0 , 0 ,(cRbQaP )( 1 截距式方程。czbyax , 3的方程有平面空间中R(点法式) 0)()()(000zzCyyBxxA )( 0 131313121212111三点式方程zzyyxxzzyyxxzzyyxx

10、 )( 1 截距式方程czbyax 0DCzByAx ) (一般方程例 )3 , 2 , 0( ),2 , 3 , 1( ),4 , 1 , 2( 321的求过点MMM 平面的方程。解解 , 得所求平面方程为由平面的三点式方程 , 0 55113232 322301342102320 zyxzyx 021 139 20 。即zyx )13 , 9 ,20(n例解解 :平面方程求由下列条件所确定的 ; ) 1 , 3 , 4( )1 (轴和通过点xM ; )7 , 11 , 5( )2 , 0 , 4( )2(21轴且平行于和通过点xMM ) 1 , 3 , 0( ) 1 , 2 , 0( )

11、1 , 1 , 1( )3(。且平行于和通过点aBA , ) 1 (上。及坐标原点均在平面故轴通过平面ix , )3, 1, 0( 134001 kjiOMin平面的法向量 ) )0 , 0 , 0( ( ,O点得所求平面方程为由点法式方程 0 3。zy例解解 : 的方程平面求由下列条件所确定的 ; ) 1 , 3 , 4( )1 (轴和通过点xM ; )7 , 11 , 5( )2 , 0 , 4( )2(21轴且平行于和通过点xMM ) 1 , 3 , 0( ) 1 , 2 , 0( ) 1 , 1 , 1( )3(。且平行于和通过点aBA ,/ / , / / )2(。故即平面轴平面in

12、ix , )11, 9, 0( 001)2(701145 21kjiiMMn平面的法向量 ) )11 , 9 , 0( , ( ,1nM点得所求平面方程为由点法式方程 022119。zy例解解 : 的方程平面求由下列条件所确定的 ; ) 1 , 3 , 4( )1 (轴和通过点xM ; )7 , 11 , 5( )2 , 0 , 4( )2(21轴且平行于和通过点xMM ) 1 , 3 , 0( ) 1 , 2 , 0( ) 1 , 1 , 1( )3(。且平行于和通过点aBA ,/ / )3(。故平面ana , )3, 1, 5( 1301112) 1(0 kjiaABn平面的法向量 ) )

13、3 , 1 , 5( , ( ,nB点得所求平面方程为由点法式方程 0135。zyx) 3 , 1 , 5( 或n例解解 )3 , 1 , 2( ) 1 , 0 , 1 ( 且过点和求平行于向量ba )4 , 1 , 3(的方程。的平面P , , ,/ / ,/ / 故取的法向量故平面因为bnanba ),1, 5, 1( 312101 kjiban ) ) 1 , 5 , 1( , ( ,nP点的方程为得平面由平面的点法式方程 , 0)4)(1()1()(5()3)(1(zyx 025 。即zyx) 1 , 5 , 1 ( n或三三. 有关平面的几个问题有关平面的几个问题 . 1两个平面间的

14、夹角 . 2点到平面的距离1. 两个平面间的夹角定定 义义 ,。角称为这两个平面间的夹夹角两个平面的法向量间的) ( 0 1. :为两平面间的夹角。规定 0 ,/ / . 221。或则若 设两平面的方程为 ), , ,( , 0 :111 11111 1CBAnDzCyBxA ) , ,( , 0 :222222222。CBAnDzCyBxA , , , 2 1 21则记nn , | |cos222222212121 212121 2121CBACBACCBBAAnnnn 0 。其中 夹角的计算公式例解解 , 094 : , 01354 : 21zyxzyx已知平面 21。间的夹角与求 , )

15、,1 , 4 , 1 ( ),3 , 5 , 4( 21所以因为nn ) 1()4(1 3)5(4) 1(3)4()5(14cos222222 , 7 . 0 30 21 4345 o。故 则 行关系平面间的相互垂直和平 设两平面的方程为 ), , ,( , 0 :111 11111 1CBAnDzCyBxA ) , ,( , 0 :222222222。CBAnDzCyBxA 0 0 212121212121。CCBBAAnnnn 0 / / / /212121212121。CCBBAAnnnn 21212121 21。重合与DDCCBBAA例解解 : )2 , 7 , 4( ) 1 , 3

16、, 8( 121且与平面和通过点平面MM , 021753的方程。平面垂直zyx11M2M1nn , ) 1 ,10 , 4( :21引入向量MM )7 , 5 , 3( : 11。的法向量平面n , , ,211故取由题意MMnnn ),2, 1, 3(25)50,25,75( 1104753 211kjiMMnn ) ( : ,1M点的方程得平面由点法式方程 02323。zyx例解解 , , )2, 3, 4( 21垂直和使它与平面的平面求过点P 05432 : ; 02 : ,21。其中zyxzyx , , , , 2121。的法向量为依次记平面nnn , , , , , 2121故取所以因为nnnn ),7, 6, 5( 432121 21kjinnn ) ( P点的方程为由点法式方程得平面 052765。zyx2. 点到平面间的距离外的一点及平面已知平面 0 : DCzByAx d ), , ,(11111。的距离到平面求点MzyxM1MP |d1PMM1 的投影的投影1MP |d1PM0Mn ),( 0000zyxM上任取一点在平面 0 000。则DCzByAx , 100则和引入向量MMPM ),( 。的法向量为平面CBAn , | | |101MMprjPMn ),( ,01010110。其中zzyyxxMM | )()()(| | d2