第二章 逻辑代数基础 第二周 周一ppt课件

1、第二章 逻辑代数基础本章的内容本章的内容2.1 概述概述2.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式2.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法2.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简2.1 概述概述 在数字电路中，在数字电路中，1位二进制数码位二进制数码“0和和“1不仅不仅可以表示数量的大小，也可以表示事物的两种不同可以表示数量的大小，也可以表示事物的两种不同的逻辑状态，如电平的高低、开关的闭合和断开、

2、的逻辑状态，如电平的高低、开关的闭合和断开、电机的起动和停止、电灯的亮和灭等。这种只有两电机的起动和停止、电灯的亮和灭等。这种只有两种对立逻辑状态的逻辑关系，称为二值逻辑。种对立逻辑状态的逻辑关系，称为二值逻辑。 当二进制数码当二进制数码“0和和“1表示二值逻辑，并按表示二值逻辑，并按某种因果关系进行运算时，称为逻辑运算，最基本某种因果关系进行运算时，称为逻辑运算，最基本的三种逻辑运算为的三种逻辑运算为“与与”、“或或”、“非非”，它与算术运，它与算术运算的本质区别是算的本质区别是“0和和“1没有数量的意义。故在没有数量的意义。故在逻辑运算中逻辑运算中1+1=1(或运算）或运算）二值逻辑和逻辑

3、运算二值逻辑和逻辑运算2.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算 在二值逻辑函数中，最基本的逻辑运算有与在二值逻辑函数中，最基本的逻辑运算有与AND）、或）、或OR）、非）、非NOT三种逻辑运算。三种逻辑运算。2.2.1 与运算与运算 与运算也叫逻辑乘或逻辑与，即当所有的条件与运算也叫逻辑乘或逻辑与，即当所有的条件都满足时，事件才会发生，即都满足时，事件才会发生，即“缺一不可。缺一不可。ABY Y图2.2.1 与逻辑电路图2.2.1 与逻辑电路 如图如图2.2.1所示电路，所示电路，两个串联的开关控制一盏两个串联的开关控制一盏灯就是与逻辑事例，只有灯就是与逻辑事例，只有开关开关A

4、、B同时闭合时灯才同时闭合时灯才会亮。会亮。 设开关闭合用设开关闭合用“1表示，表示，断开用断开用“0表示表示 ；灯亮用；灯亮用“1表示，灯灭用表示，灯灭用“0表示表示逻辑赋值），则可得到表逻辑赋值），则可得到表2.2.1所示的输入输出的逻辑所示的输入输出的逻辑关系，称为真值表关系，称为真值表 表表2.2.1 与逻辑真值表与逻辑真值表A AB BY Y0 00 00 00 01 11 11 11 11 10 00 00 0输出输出输入输入 从表中可知，其逻辑规律服从表中可知，其逻辑规律服从从“有有0出出0，全，全1才出才出1” 这种与逻辑可以写成下面的表这种与逻辑可以写成下面的表达式：达式：

5、BAY称为与逻辑式，这种运算称为与称为与逻辑式，这种运算称为与运算运算ABY Y图2.2.1 与逻辑电路图2.2.1 与逻辑电路A AB BY Y图图2.2.2 与门逻辑符号与门逻辑符号A AB BY Y也可以用图也可以用图2.2.2表示与表示与逻辑，称为逻辑门或逻逻辑，称为逻辑门或逻辑符号，实现与逻辑运辑符号，实现与逻辑运算的门电路称为与门。算的门电路称为与门。 2.2.2 或运算或运算 或运算也叫逻辑加或逻辑或，即当其中一个条或运算也叫逻辑加或逻辑或，即当其中一个条件满足时，事件就会发生，即件满足时，事件就会发生，即“有一即可有一即可若有若有n个逻辑变量做与运算，其逻辑式可表示为个逻辑变量

6、做与运算，其逻辑式可表示为nAAAY21ABY Y图2.2.3 或逻辑电路图2.2.3 或逻辑电路 如图如图2.2.3所示电路，两个所示电路，两个并联的开关控制一盏灯就是或并联的开关控制一盏灯就是或逻辑事例，只要开关逻辑事例，只要开关A、B有有一个闭合时灯就会亮。一个闭合时灯就会亮。 用与前面相同的逻辑赋用与前面相同的逻辑赋值同样也可得到其真值表如值同样也可得到其真值表如表表2.2.2所示，其逻辑规律服所示，其逻辑规律服从从“有有1出出1，全，全0才出才出0” 其逻辑式为其逻辑式为BAY表表2.2.2 或或逻辑真值表逻辑真值表A AB BY Y0 00 00 00 01 11 11 11 11

7、 11 11 10 0输出输出输入输入上式说明：当逻辑变量上式说明：当逻辑变量A、B有有一个为一个为1时，逻辑函数输出时，逻辑函数输出Y就就为为1。只有。只有A、B全为全为0，Y才为才为0。 其逻辑门符号如图其逻辑门符号如图2.2.4所示，实现或逻辑所示，实现或逻辑运算的门电路称为或门。运算的门电路称为或门。A AB BY Y图图2.2.4 或门逻辑符号或门逻辑符号1A AB BY Y若有若有n个逻辑变量做或运算，其逻辑式可表示为个逻辑变量做或运算，其逻辑式可表示为nAAAY213. 非逻辑运算非逻辑运算 条件具备时，事件不发生；条件不具备时，事条件具备时，事件不发生；条件不具备时，事件发生，

8、这种因果关系叫做逻辑非，也称逻辑求反件发生，这种因果关系叫做逻辑非，也称逻辑求反如图如图2.2.5所示电路，一个开关所示电路，一个开关控制一盏灯就是非逻辑事例，控制一盏灯就是非逻辑事例，当开关当开关A闭合时灯就会不亮。闭合时灯就会不亮。 非逻辑运算也叫逻辑非或非逻辑运算也叫逻辑非或非运算、反相运算，即输出变非运算、反相运算，即输出变量是输入变量的相反状态。其量是输入变量的相反状态。其逻辑式为逻辑式为AY Y图2.2.5 非逻辑电路图2.2.5 非逻辑电路R 用与前面相同的逻辑赋用与前面相同的逻辑赋值同样也可得到其真值表如值同样也可得到其真值表如表表2.2.3所示所示表表2.2.3 非逻辑真值表

9、非逻辑真值表A AY Y0 01 11 10 0AY注：上式也可写成注：上式也可写成等或AYAY其逻辑门符号如图其逻辑门符号如图2.2.6所示，实现非逻辑运算所示，实现非逻辑运算的门电路称为非门的门电路称为非门A AY Y图图2.2.6 非门逻辑符号非门逻辑符号1A AY Y 以上为最基本的三种逻辑运算，除此之外，还以上为最基本的三种逻辑运算，除此之外，还有下面的由基本逻辑运算组合出来的逻辑运算有下面的由基本逻辑运算组合出来的逻辑运算4. 与非与非NAND逻辑运算逻辑运算与非运算是先与运算后非运算与非运算是先与运算后非运算的组合。以二变量为例，布尔的组合。以二变量为例，布尔代数表达式为：代数表

10、达式为： )( ABY其真值表如表其真值表如表2.2.4所示所示表表2.2.4 与非逻辑真值表与非逻辑真值表A AB BY Y0 00 00 00 01 11 11 11 10 01 11 11 1输出输出输入输入其逻辑规律服从其逻辑规律服从“有有0出出1，全，全1才出才出0” 实现与非运算用与非门电路来实现与非运算用与非门电路来实现，如图实现，如图2.2.7所示所示5. 或非或非NOR运算运算 或非运算是先或运或非运算是先或运算后非运算的组合。以算后非运算的组合。以二变量二变量A、B为例，布尔为例，布尔代数表达式为：代数表达式为： )(BAYA AB BY Y图图2.2.7 与非门逻辑符号与

11、非门逻辑符号A AB BY Y表表2.2.4 与非逻辑真值表与非逻辑真值表A AB BY Y0 00 00 00 01 11 11 11 10 01 11 11 1输出输出输入输入或非逻辑规律服从有或非逻辑规律服从有“1出出“0全全“0出出“1”或非运算用或非门电路来实现，或非运算用或非门电路来实现，如图如图2.2.8所示所示表表2.2.5 或或非逻辑真值表非逻辑真值表A AB BY Y0 00 00 00 01 11 11 11 10 00 00 01 1输出输出输入输入其真值表如表其真值表如表2.2.5所示所示A AB BY Y图图2.2.8 或门逻辑符号或门逻辑符号1A AB BY Y

12、与或非运算是与或非运算是“先与后或再非先与后或再非三种运算的组合。三种运算的组合。以四变量为例，逻辑表达式为：以四变量为例，逻辑表达式为： )(CDABY上式说明：当输入变量上式说明：当输入变量A、B同时为同时为1或或C、D同时为同时为1时，时，输出输出Y才等于才等于0。与或非运算。与或非运算是先或运算后非运算的组合。是先或运算后非运算的组合。在工程应用中，与或非运算在工程应用中，与或非运算由与或非门电路来实现，其由与或非门电路来实现，其真值表见书真值表见书P22表表2.2.6所示，所示，逻辑符号如图逻辑符号如图2.2.9所示所示6.与或非运算与或非运算图图2.2.9 与与或非门逻辑符号或非门

13、逻辑符号A AB BY YC CD DA AB BY Y1C CD DBABABAY其门电路的逻辑符号如图其门电路的逻辑符号如图2.2.10所示所示其布尔表达式逻辑函数式为其布尔表达式逻辑函数式为7. 异或运算异或运算表表2.2.6 异或异或逻辑真值表逻辑真值表A AB BY Y0 00 00 00 01 11 11 11 10 01 11 10 0输出输出输入输入图图2.2.10 异或异或门逻辑符号门逻辑符号A AB BY YA AB BY Y=1符号符号“ ”表示异或运算，即两个输入逻辑变量取表示异或运算，即两个输入逻辑变量取值不同时值不同时Y=1，即不同为，即不同为“1相同为相同为“0”

14、，异或，异或运算用异或门电路来实现运算用异或门电路来实现其真值表如表其真值表如表2.2.6所示所示异或运算的性质异或运算的性质AAAAAAAA01011. 交换律：交换律：ABBA2. 结合律：结合律：CBACBA)()(ACABCBA)(3.分配律：分配律：推论：当推论：当n个变量做异或运算时，若有偶数个变量取个变量做异或运算时，若有偶数个变量取“1时，则函数为时，则函数为“0”；若奇数个变量取；若奇数个变量取1时，则时，则函数为函数为1.4.BAABBABAY)(8. 同或运算：同或运算：其布尔表达式为其布尔表达式为表表2.2.7 同同或或逻辑真值表逻辑真值表A AB BY Y0 00 0

15、0 00 01 11 11 11 11 10 00 01 1输出输出输入输入A AB BY Y图图2.2.11 同同或或门逻辑符号门逻辑符号=A AB BY Y符号符号“ ”表示同或运算，即两个输入变量值相同表示同或运算，即两个输入变量值相同时时Y=1，即相同为，即相同为“1不同为不同为“0” 。同或运算用。同或运算用同或门电路来实现，它等价于异或门输出加非门，同或门电路来实现，它等价于异或门输出加非门，其真值表如表其真值表如表2.2.7所示所示其门电路的逻辑符号如图其门电路的逻辑符号如图2.2.11所示所示2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1 基本公式基

16、本公式表表2.3.1为逻辑代数的基本公式，也叫布尔恒等式为逻辑代数的基本公式，也叫布尔恒等式表表2.3.1 逻辑代数的基本公式逻辑代数的基本公式序号序号1 12 23 34 45 56 67 78 89 9公 式公 式00AAA 1AAA0AAABBACBACBA)()(CABACBA)(BABA)(AA)(序号序号101011111212131314141515161617171818公 式公 式AA 0AAA1 AAABBACBACBA)()()()(CABACBABABA )(100111 AA 0 = 0A + 0 = AA 1 = AA + 1 = 12. 交换律、结合律、分配律交换

17、律、结合律、分配律a. 交换律：交换律： AB= BA A + B=B + Ab. 结合律：结合律：ABC） =（ ABC A +（ B C）= （AB） + Cc. 分配律：分配律：A( B + C) = AB + AC A + BC = (A + B)(A + C)1.关于变量与常数关系的定理关于变量与常数关系的定理说明：由表中可以看出说明：由表中可以看出a. 互补律：互补律：10AAAAb. 重叠律：重叠律：A A = A A + A = Ac. 非非律：非非律：AA)(d. 吸收律：吸收律：A + A B = A A (A+B) = A BABAAe. 摩根定律：摩根定律：BAAB )

18、(BABA )(注：以上定律均可由真值表验证注：以上定律均可由真值表验证3.逻辑函数独有的基本定理逻辑函数独有的基本定理2.3.2 若干常用公式若干常用公式表表2.3.2为常用的一些公式为常用的一些公式序号序号212122222323242425252626公 式公 式ABABAABAA)(CABABCCABA ABAABABAA )()(ABAABABAACABABCDCABA 表表2.3.2 常用公式常用公式2.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理2.4.1 代入定理代入定理内容：任何一个含有变量内容：任何一个含有变量A 的等式，如果将所有出现的等式，如果将所有出现 A 的位置都用同一

19、个逻辑函数的位置都用同一个逻辑函数G来替换，则等式仍然来替换，则等式仍然成立。成立。利用代入定理可以证明一些公式，也可以将利用代入定理可以证明一些公式，也可以将前面的两变量常用公式推广成多变量的公式前面的两变量常用公式推广成多变量的公式证明：方程的左边有证明：方程的左边有A的地方代入的地方代入G得：得：B(A十十D)十十C B(A十十D)十十BCBA十十BD十十BC方程的右边有方程的右边有A的地方代入的地方代入G得：得：B(A十十D)十十BCBA十十BD十十BC故故 B(A十十D)十十C B(A十十D)十十BC例例2.4.1 若若B(A十十C)BA十十BC，现将所有出现，现将所有出现A的地的地

20、方都代入函数方都代入函数GA十十D，则证明等式仍成立，则证明等式仍成立 内容：若已知逻辑函数内容：若已知逻辑函数Y的逻辑式，则只要将的逻辑式，则只要将Y式中式中所有的所有的“.”换为换为“+”, “+”换为换为“.”,常量常量“0换成换成“1”，“1换成换成“0”，所有原变量不带非，所有原变量不带非号变成反变量，所有反变量换成原变量，得到的号变成反变量，所有反变量换成原变量，得到的新函数即为原函数新函数即为原函数Y的反函数补函数）的反函数补函数） Y 。利用。利用摩根定律，可以求一个逻辑函数摩根定律，可以求一个逻辑函数 的反函数。的反函数。2. 反演定理反演定理注意：注意：1. 变换中必须保持

21、先与后或变换中必须保持先与后或 的顺序；的顺序； 2. 对跨越两个或两个以上变量的对跨越两个或两个以上变量的“非号非号要要保留不变；保留不变；解：由摩根定理解：由摩根定理DCBDACADCBCCBDACADCCBAY)(或直接求反或直接求反DCBDACADCBCCBDACADCCBADCCBADCCBADCCBAY )()()()()( )()(例例2.4.3 已知已知YABC ）C D ，求，求Y 解：由反演定理解：由反演定理DCCBCADCCCCBCACDCBACDCBACDCBAY )()()()()(或直接求反得或直接求反得DCCBCADCCCCBCACDCBACDCBACDCBACD

22、CBAY )()()()(3.对偶规则对偶规则对偶式：设对偶式：设Y是一个逻辑函数，如果将是一个逻辑函数，如果将Y中所有的中所有的“+”换成与换成与“”， “.”换成与换成与“+” ，“1” 换换成与成与“0”， “0” 换成与换成与“1”，而变量保持不变，而变量保持不变，则所得的新的逻辑式则所得的新的逻辑式 YD 称为称为Y的对偶式。的对偶式。如：如：CBAYCBAYD)()0() 1)( CABAYCABAYD)()( CBAYCBAYD对偶规则：如果两个函数对偶规则：如果两个函数Y和和G相等，则其对偶式相等，则其对偶式YD和和GD也必然相等。利用对偶式可以证明一些常用公也必然相等。利用对

23、偶式可以证明一些常用公式式ACABGACABCBAYDD)(例例1.1.5 试利用对偶规则证明分配律试利用对偶规则证明分配律 ABC=(A+B)(A+C)式子成立式子成立证明：设证明：设Y ABC，G (A+B)(A+C)，则它们的，则它们的对偶式为对偶式为GY由于由于故故YG，即，即ABC=(A+B)(A+C)证明：设证明：设BAGBAAY则它们的对偶式为则它们的对偶式为ABGABABAABAAYDD)(由于由于DDGY故故YG，即，即BABAA例例1.1.6 试利用对偶规则证明吸收律试利用对偶规则证明吸收律AABAB 式子成立式子成立2.5 逻辑函数的定义：逻辑函数的定义：),(21nAA

24、AFY其中：其中：A1, A2 An称为称为n个输入逻辑变量，取值只个输入逻辑变量，取值只能是能是“0” 或是或是“1”，Y为输出逻辑变量，取值只为输出逻辑变量，取值只能是能是“0或或 是是“1”则则F称为称为n变量的逻辑函数变量的逻辑函数 在数字电路中，输入为二值逻辑变量，输出也在数字电路中，输入为二值逻辑变量，输出也是二值变量，则表示输入输出的逻辑函数关系，即是二值变量，则表示输入输出的逻辑函数关系，即如如 YAB C，表示输出等于变量，表示输出等于变量B取反和变量取反和变量C的与，再和变量的与，再和变量A相或。相或。2.5.1 逻辑函数逻辑函数一一 、逻辑真值表、逻辑真值表2.5.2逻辑

25、函数的几种表示方法逻辑函数的几种表示方法 逻辑函数的表示方法很多，比较常用的如下：逻辑函数的表示方法很多，比较常用的如下： 逻辑真值表就是采用逻辑真值表就是采用一种表格来表示逻辑函数的一种表格来表示逻辑函数的运算关系，其中输入部分列运算关系，其中输入部分列出输入逻辑变量的所有可能出输入逻辑变量的所有可能取值得组合，输出部分根据取值得组合，输出部分根据逻辑函数得到相应的输出逻逻辑函数得到相应的输出逻辑变量值。辑变量值。 如表如表2.5.1表示的异或逻表示的异或逻辑关系的函数，即辑关系的函数，即YBA011101110000输出输出输入输入表表2.5.1YA B AB 二二 、逻辑函数式、逻辑函数

26、式 按一定逻辑规律写成的函数形式，也是逻辑代按一定逻辑规律写成的函数形式，也是逻辑代数式。与普通函数数不同的是，逻辑函数式中的输入数式。与普通函数数不同的是，逻辑函数式中的输入输出变量都是二值的逻辑变量。输出变量都是二值的逻辑变量。如异或关系的逻辑函数可写成如异或关系的逻辑函数可写成YA B AB 三、三、 逻辑图法逻辑图法 采用规定的图形符号，采用规定的图形符号，来构成逻辑函数运算关系的来构成逻辑函数运算关系的网络图形网络图形图图2.5.1表示的是异或关系表示的是异或关系的逻辑图的逻辑图A AB BY Y=1图2.5.1图2.5.1四四 波形图法波形图法: 一种表示输入输出变量动态变化的图形

27、，反映了一种表示输入输出变量动态变化的图形，反映了函数值随时间变化的规律，也称时序图。函数值随时间变化的规律，也称时序图。如图如图2.5.2表示异或逻辑关系的波形。表示异或逻辑关系的波形。 除上面介绍的四除上面介绍的四种逻辑函数表示方法种逻辑函数表示方法外，还有卡诺图法、外，还有卡诺图法、点阵图法及硬件描述点阵图法及硬件描述语言等。在后面的课语言等。在后面的课程中将重点介绍卡诺程中将重点介绍卡诺图法。图法。五、各种表示方法间的相互转换五、各种表示方法间的相互转换 在设计数字电路时，有时需要进行各种表示逻辑在设计数字电路时，有时需要进行各种表示逻辑函数方法的转换。函数方法的转换。1. 真值表与逻

28、辑函数式的相互转换真值表与逻辑函数式的相互转换 通过下面的例子得出通过下面的例子得出由真值表写出逻辑函数的由真值表写出逻辑函数的方法方法例例2.5.1 某逻辑函数的真值某逻辑函数的真值表如表表如表2.5.2所示，写出逻所示，写出逻辑函数式辑函数式输入输入输出输出ABCY100001111001100110101010101101001表表2.5.2输出输出Y200010111（1由真值表写逻辑函由真值表写逻辑函数式数式解：逻辑式为解：逻辑式为CBACBACBACBABACABBAABCCBACBACBAY )()()()()(1ABCBAABCBABAABCCABCBABCAY)()(2输入输

29、入输出输出ABCY100001111001100110101010101101001表表2.5.2输出输出Y200010111（2由逻辑函数式写出真值表由逻辑函数式写出真值表 将输入变量所有取值组合，代入逻辑函数式，得将输入变量所有取值组合，代入逻辑函数式，得出输出的值，并以表的形式表示出来。出输出的值，并以表的形式表示出来。例例2.5.3 写出逻辑函数写出逻辑函数YAB C 的真值表的真值表解：其真值表如表解：其真值表如表2.5.4所示所示输入输入输出输出ABCY00001111001100110101010110111110表表2.5.42.逻辑函数式与逻辑图的相互转换逻辑函数式与逻辑图的

30、相互转换（1由逻辑函数式画出逻辑图由逻辑函数式画出逻辑图 用逻辑符号代替逻辑函数中的逻辑关系，即可得用逻辑符号代替逻辑函数中的逻辑关系，即可得到所求的逻辑图到所求的逻辑图例例2.5.4 画出逻辑函数画出逻辑函数Y（AB+C ） （ AC ） B 的逻辑电路的逻辑电路解：其实现电路解：其实现电路如图如图2.5.3所示所示1A AB BC C11Y Y图2.5.3 例2.5.4的电路图2.5.3 例2.5.4的电路11 1A AB BC CY Y图2.5.4 例2.5.5的逻辑电路图2.5.4 例2.5.5的逻辑电路CA（2由逻辑图写出逻辑函数式由逻辑图写出逻辑函数式 已知逻辑图，根据逻辑门的输入

31、输出关系，写已知逻辑图，根据逻辑门的输入输出关系，写出整个逻辑图的输入输出关系，得出输出的逻辑函出整个逻辑图的输入输出关系，得出输出的逻辑函数式数式例例2.5.5 已知逻辑电路已知逻辑电路如图如图2.5.4，试写出输，试写出输出端的逻辑函数式，出端的逻辑函数式，并写出真值表并写出真值表ABABC解：输出的逻辑式为解：输出的逻辑式为BCCAABY由逻辑式写出真值表，如表由逻辑式写出真值表，如表2.5.5所示所示输入输入输出输出ABCY00001111001100110101010101010011表表2.5.5BCCAABY例例2.5.6 设计一个逻辑电路，当三个输入设计一个逻辑电路，当三个输入A、B、C至至少有两个为低电平时，该电路输出为高，试写出该要少有两个为低电平时，该电路输出为高，试写出该要求的真值表和逻辑表达式，画出实现的逻辑图求的真值表和逻辑表达式，画出实现的逻辑图解：由逻辑要求写出真值表，解：由逻辑要求写出真值