【建模教程】-建模-数学建模夏令营

----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----2012年西安交通大学数学建模夏令营参 赛 承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料，必须按照规定的的表述方式在正文引用处和中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（A/B/C/D中选择一项填写：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话：所属学校（请填写完整的全名：(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----2012西安交通大学数学建模夏令营编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----基于微分方程模型的长江江豚种群数量变化预测摘要作为目前长江里唯一的淡水哺乳动物，江豚属于我国二级保护动物 ,目前由于长江流域水体污染加剧、人类肆意采挖江砂、非法使用渔具等原因，长江江豚的生存和繁育受到严重影响，其数量正在锐减。故准确预测长江江豚的数量变化对我们保护江豚具有深远意义。本文从长江江豚近二十年的实际生存情况和长江的生态环境出发，建立了基a+be针对题目所给的问题，根据问题一和问题二的要求，我们先对功能性灭绝的ct=1t13微分方程功能性灭绝彻底灭绝 生殖率 死亡率 保护措施----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----一．问题重述根据题给信息，江豚是目前长江里唯一的淡水哺乳动物，分布于长江根据题给信息，江豚是目前长江里唯一的淡水哺乳动物，分布于长江中下游干流以及洞庭湖和鄱阳湖等区域，近 20年来种群数量快速衰减。根据题述的资料显示，1991年长江江豚数量是 2700多头；2006年，国际联合科学考察组经一个多月调查发现，江豚数量已不足18002011们的数量可能仅为 1000余头，洞庭湖仅剩 85头江豚。资料显示，长江江豚的生存面临巨大威胁。截止 2012年，由于长江流域水体污染加剧、人类肆意采挖江砂、非法使用渔具等原因，长江江豚的生存和繁育受到严重影响。长江江豚的数量只剩下12006.4%10～15本题给出的数据和相关资料都比较少，故要求参赛者搜集大量相关资料，建立合理的数学模型研究长江江豚种群数量。本文主要研究以下几个问题：问题一：长江江豚出现功能性灭绝的时间和数量；问题二：长江江豚出现功能性灭绝至彻底灭绝的时间；问题三：今年3月份以来，洞庭湖连续发现江豚死亡,这说明什么？问题四：根据你的分析，给出保护这一珍稀物种的建议。二．符号说明x(t) t1991（单位：头；长江江豚的年生殖率（20%[1]a 外界环境因素（长江流域水体污染加剧、人类肆意采挖江砂、非法使用渔具等）导致的长江江豚年死亡率，即直接死亡率，这里初步设为正常量；b、c用于确定由长江江豚本身数量的减少导致的死亡率的参系数（存在长江流域水体污染加剧、人类肆意采挖江砂、非法使用渔具等外界干扰）；t1 长江江豚开始出现功能性灭绝的时间，即第 t1年开始出现功能性灭绝；m1 长江江豚开始出现功能性灭绝时其数量（单位：头）；----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----t 长江江豚彻底灭绝的时间，即第 t2 2

年彻底灭绝；----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----△t长江江豚从开始功能性灭绝至彻底灭绝的时间（单位 :年）。三．模型假设1.假设雌性长江江豚都正常分娩，江豚的年生殖率变化不大，即为目前估20%2．理想情况下假设长江江豚雌雄性别比其例为 1:1，且雌性江豚每年10月份生产，每年一胎，每胎只产一仔； [2]3.假设长江江豚的死亡率不受年龄和性别影响，只考虑种群整体死亡率；4．根据目前长江江豚数量急剧下降的现象，不考虑江豚因为数量达到环境容量后，环境对其数量的增加产生的阻力；5．假设政府不出台保护政策，环境也没有进一步恶化。四：问题分析问题一的分析对于问题一，由于目前研究长江江豚种群数量变化的相关数据统计偏少，我们直接构造最原始的针对一般生物种群的数量变化的常微分方程模型，即：种群数量增长率（以年为微分元） =种群年生殖率-种群年死亡率。并且根据题中提供的数据，我们假定 1991年为第一年，即t=1,其余年份依次类推。显然根据事实长江江豚种群的增长率是负的，即其目前的数量变化呈锐减形式。首先，这里种群生殖率根据假设为 0.2，死亡率由内外因共同决定。而我们在构造内外、因导致的江豚的死亡率函数时考虑了以下两个事实：（1）当江豚的数量比较多时，由环境造成的江豚的死亡数也会多一些，当江豚的数量比较少时，由环境造成的江豚的死亡数也会少一些；（2）当江豚的数量越来越少，近亲交配的几率越来越大，由内因造成的死亡率会不断上升。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----结合模型假设5和事实（1）我们可以认为由环境造成的江豚的死亡率每年都是相同的，即外因引起的死亡率部分可根据假设设为 a，a是待求解的常参数。而对于内因引起的死亡率部分，由（ 2）这条规律，再联系到生物学当中的s型和j型曲线，我们用指数函数来模拟长江江豚种群内因引起的死亡率，设为 bect（这里b,c均为带求解的正常量）。这样就初步确立了长江江豚数量变化关于时间的微分方程。其次，问题一要求我们求解长江江豚出现功能性灭绝的时间和数量。经过查找相关资料我们知道，生物种群出现功能性灭绝是指该物种因其生存环境被破坏，数量非常稀少，以致在自然状态下基本丧失了维持繁殖的能力，甚至丧失了维持生存的能力。功能性灭绝是对生物生存状况的一个客观准确描述，主要包含两个层面的意思，一是指一个物种由于其种群数量非常稀少，在其生存的生态系统中不再扮演重要角色，即指其生态功能的丧失。第二个层面的意思是指残存种群中已经没有能够繁殖的个体，或者由于种群数量稀少，受人类活动干扰及遗传因素的影响，该物种在自然环.[3]x(t)曲线的走势来看，ct=1ct<1时江豚的死亡率整体上远远小于ct>1时江豚的死亡率，即ct>1以后江豚死亡率突然急剧增长。故我们定义江豚开始出现功能性灭绝的时间点即为1ct=1t1c年长江江豚开始出现功能性灭亡。结合题给数据，我们用matlab软件求解微分方程的解，从而确定长江江豚开始出现功能性灭绝的时间和与此时间点相应的江豚数量。问题二的分析问题二要求解长江江豚出现功能性灭绝至彻底灭绝的时间。 根据本题第一问的分析可以求出长江江豚出现功能性灭绝的时间为 t1。我们只需要解出问题一中微分方程解的零点对应的时间 t2（或者接近零点的点对应的时间）。此时，长江江豚从开始出现功能性灭绝至全部灭绝的时间△ t得到求解，即△t=t2-t1。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----问题三的分析问题三中指明：今年 3月份以来，洞庭湖连续发现江豚死亡，我们要结合我们的研究模型来解释这一现象说明什么在我们的模型中江豚数量增长率由内因和外因两方面决定，故我们直接从这两方面着手分析这一现象说明了什么，从而揭示这一现象发生的主要原因。问题四的分析五．模型的建立与求解常微分方程模型预测长江江豚出现功能性灭绝的时间和数量下：=0.2（20%；a（长导致的长江江豚年b、c用于确定由长江江豚本身数量的减少导致的死亡率的参系数（存在长江流域水体污染加剧、人类肆意采挖江砂、非法使用渔具等外界干扰），则得带参数的微分方程为：dx(t)=x(t)[-（a+bect）]dtx(1)=2700(1991年江豚数量)x(16)=1800（2006）x(22)=1200（2012）此外题中还给出 2006年的江豚数据可能不足 1000余头，微分方程模型中的三个初值参数数据也是估计值，这样解出的方程可能有较大误差，因此我们选用下面一种方法误差相对较小的方法来求解三个参数 abc，然后回代入上面模型中的微分方程，从而求解 x(t).----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----用原始的定义法和 MATLAB软件求解三个参数 a、b、c首先，按照符号约定，x(t+1)表示的是从1991年开始，过了 t年后江豚数量,则我们可以得到如下所示的一种连乘积形式的递推关系式：x(t+1)=2700(a-bec)(a-be2c)...(a-betc)，再由题给定的已知条件，我们知道x(16)=1800...(1)x(22)=1200...(2)联立方程(1)(2)MATLAB软件求解其次，因为该方程组中未知数大于方程数，所以 MATLAB给出了多组解，但是在这多组解当中有一个最优解，可以求得当a=0.1202,b=0.0828,c=0.0303 时，误差最小，方程（1）和方程（2）的最小误差数量级约为 10。再利用 a,b,c 的值我们可以算出x(11)=2242...(3) ，再联立方程（1）、（2）、（3）重新解得a=0.1237,b=0.0794,c=0.0312 ，并且此时方程（1）、方程（2）和方程（3）的误差数量级缩小至约为 1011。至此，在较小的误差情况下，我们求出了原模型中三个待求解的常数参数，分别为 a=0.1237,b=0.0794,c=0.0312 。参数回代求解微分方程模型由上一步求解得三个参数值 a=0.1237,b=0.0794,c=0.0312 此时微分方程模型成为不带参数的微分方程 ,且只需一个初值即可求解 x(t),这里取x(1)=2700,则得到:dx(t)=x(t)[0.2-（0.1237+0.0794e0.0312t）]dtx(1)=2700(1991年江豚数量)----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----求解该微分方程得ln(x(t))= 0.0763t-0.07940.0794

e0.0312t+10.4502,进一步----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----求解该方程可得到x(t)=e(0.0763t e0.0312t)+e10.4502可以看出长江江0.0312其结果的图示如下：----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----300025002000头数 1500豚江( 1000500

江豚数量随时间变化的模拟曲线x(t)----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----（（年0 10 20 30 40t-时间/年

50 60 70 80----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----图1 微分方程预测江豚数量变化曲线----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----最后，问题一可求解得到t

1 1= = =32.0513t1 c 0.0312

=32，1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----即在以1991为第一年的假设前提下第32年长江江豚开始出现功能性灭绝，亦即在2022年长江江豚开始出现功能性灭绝。此时江豚的数量m=x(32)=397头。换句话说，若以现在的 2012年为第一年的话，再过10年1江豚开始出现功能性灭绝，和题述预测 10-15年基本一致。该模型相对较准----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----确的预测了江豚开始出现功能性灭绝的时间。即 t解答。图示为：

=32,m1

=397为问题一的1----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----300025002000头数 1500豚江( 1000

x(t)----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----500

X:32Y:397.5(32,397)功能灭绝点----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----0(1,0)1991年0 10 20 30 40t-时间/年

50 60 70 80----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----图2 求解江豚开始功能灭绝的时间和此时江豚数量．1借助问题一中的微分方程求解江豚彻底灭绝时间0.0794已由问题一求得ln(x(t))= 0.0763t-0.0312 e0.0312t+10.4502。各年份长江江豚数量的预测值（各个数据均是由软件求解值经取整处理后所得）由x(t)函数表达式我们可以预测每一年长江江豚的种群数量如下面表格所示：表1 年-2050年长江江豚种群数量预测值各年份长江江豚数量的预测值（各个数据均是由软件求解值经取整处理后所得）年份（年）1991199219931994199519961997199819992000预测值（头）2700268126562623258425382486242723612290年份（年）2001200220032004200520062007200820092010预测值（头）2214213320471958186517701672157414751375年份（年）2011201220132014201520162017201820192020预测值（头）127711801085993903818736659586518----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----年份（年）2021202220232024202520262027202820292030预测值（头）455397345297254215181152126103年份（年）2031203220332034203520362037203820392040预测值（头）8468544334262015129年份（年）2041204220432044204520462047204820492050预测值（头）2021202220232024202520262027202820292030----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----其次,求出lnx(t)= 0.0763t-0.07940.0312

e0.0312t+10.4502=0的根即为t2。有----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----MATLAB软件可求得t2

=56.3125，四舍五入取整后t2

=56，即在以1991为第一----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----年的假设前提下，再经过55年长江江豚只剩下1头，结合彻底灭绝原始定义和各年的江豚数量预测，估计 2047年江豚会彻底灭绝。换句话说，若以现在的2012年为第一年的话，再过34年江豚只剩下1头，再过25年江豚彻底灭绝。问题二的解即为：△t=t -t=56-32=24，故根据我们的模型预测所2 1得数据我们说长江江豚出现功能性灭绝至彻底灭绝的时间为 24年。5.2.2江豚从功能性灭绝至彻底灭绝的时间另解江豚的彻底灭绝时间也可通过 5.1.2中的连乘积形式的递推关系式来求解。我们直接利用数学软件求解下面的不等式：x(t+1)=2700(a-bec)(a-be2c)...(a-betc)<1,t>54,t=55,可知x(56)<1, 即在以1991为第一年的假设前提下，再经过 55年长江江豚彻底灭绝，这和5.2.1的结果一致。具体时间图示如下：----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----蓝色曲线代表的是根据我们的微分方程模型求解出来的 x(t)x(t)300025002000头数 1500豚江( 1000----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----5000(1,0)1991年0 10 20 30 40 50t-时间/年

X:56Y:1.127(56,1)彻底灭绝点60 70 80----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----图3求解长江江豚彻底灭绝的时间至此，我们已经全部解决了问题一和问题二，其整体结果如下图所示：图示中，蓝色曲线代表的是根据我们的微分方程模型求解出来的 x(t),即长江江豚种群数量随时间变化的函数曲线图；而红星点代表长江江豚的数量的实际值。结合整个图像我们可以看出，我们的微分方程模型在误差较小的范围内比较准确的预测出了各个年份长江江豚种群数量的变化。----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----FirstSecond为实际江豚数量FirstSecond为实际江豚数量25002000头数 1500豚江( 1000500 ----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----0年

)

底灭绝点----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----0 20 40 60 80t-时间/年图示4问题一和问题二求解结果的综合结果根据模型解释洞庭湖连续发现江豚死亡现象的启示----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----310号开始的，经过禁鱼季之前长时再次，人类肆意采挖江砂导致江豚生活环境的变化也可能是此次死亡的原因最后，造纸厂等工厂排放的废水导致水体污染使江豚中毒也可能是原因之一。保护江豚这一珍稀物种的建议从上面的分析可以看出，环境的恶化直接导致江豚死亡，江豚的死亡又产生具体保护措施可有以下几方面：就地保护或者迁地保护；加强对湖污水进行严格监测监管；依法严厉打击非法捕捞行为；继续依法严厉整治河道非法采砂行为；成立江豚救治小组；建立和完善江豚保护的管理机制体制；各个保护区抓紧启动江豚馆建设的前期工作；加强对群众保护江豚的宣传教育工作等；（10）----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----六：模型优缺点评价对于问题一、二、三、四我们使用了同一个微分方程，微分方程的优点在于最后综合考虑模型的优缺点如下：本模型用常量来表示环境导致的死亡率，七．模型的改进对于问题一、二、三、四的微分方程模型，由于我们考虑的影响因素有限导----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----八．张先锋，武汉。江豚的年龄鉴定、生长和生殖的研究。水生生物学报。第十六卷第四期，199212月/view/68146.htm/view/1290297.htm/view/445269.htm----宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享--------宋停云与您分享----统计建模与R软件第七章习题答案(方差分析)Ex7.1(1)>lamp<-data.frame(X=c(115,116,98,83,103,107,118,116,73,89,85,97),A=factor(rep(1:3,c(4,4,4))))>lamp.aov<-aov(X~A,data=lamp);summary(lamp.aov)DfSumSqMeanSqFvaluePr(>F)A 2 1304 652.0 4.9230.0359*Residuals 9 1192 P0.05，有显著差异。(2)对甲的区间估计：>a<-c(115,116,98,83)>t.test(a)OneSamplet-testdata: at=13.1341,df=3,p-value=0.0009534alternativehypothesis:truemeanisnotequalto095percentconfidenceinterval:78.04264127.95736sampleestimates:meanofx103或者用这个命令更简单：>attach(lamp)>t.test(X[A==1])乙的均值估计为111，95%置信区间为99.59932,122.40068。丙的均值估计为86，95%置信区间为70.08777,101.91223。(3)多重检验：>attach(lamp)P值不做调整：>pairwise.t.test(X,A,p.adjust.method="none")PairwisecomparisonsusingttestswithpooledSDdata: XandA1 220.351-30.0660.013----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----PHolm调整：Pvalueadjustmentmethod:none>pairwise.t.test(X,A,p.adjust.method="holm",data)PairwisecomparisonsusingttestswithpooledSDdata: XandA1 220.35-30.130.04Pvalueadjustmentmethod:holm不论采取哪种方法，都可看出乙和丙有显著差异。Ex7.2(1)>lamp<-data.frame(X=c(20,18,18,17,15,16,13,18,22,17,26,19,26,28,23,25,24,25,18,22,27,24,12,14),A=factor(rep(1:4,c(10,6,6,2))))>lamp.aov<-aov(X~A,data=lamp);summary(lamp.aov)DfSumSqMeanSqFvalue Pr(>F)A 3 351.7 117.24 15.112.28e-05***Residuals 20 155.2 7.76P值小于0.05，可认为四个厂生产的产品的变化率有显著差异。(2)>attach(lamp)P值不做调整：>pairwise.t.test(X,A,p.adjust.method="none")PairwisecomparisonsusingttestswithpooledSDdata: XandA1 2 328.0e-05- -30.000530.47666-40.054906.1e-050.00020Pvalueadjustmentmethod:nonePHolm调整：>pairwise.t.test(X,A,p.adjust.method="holm")PairwisecomparisonsusingttestswithpooledSD----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----data: XandA1 2 320.00040- -30.001580.47666-40.109790.000360.00079Pvalueadjustmentmethod:holm由此可得，除了A1和A4，A2和A3这两组的差异不显著外，其他组合的差异都很显著。Ex7.3>lamp1<-data.frame(X=c(30,27,35,35,29,33,32,36,26,41,33,31,43,45,53,44,51,53,54,37,47,57,48,42,82,66,66,86,56,52 ep(1:3,c(12,12,12))))>attach(lamp1)正态性检验：>shapiro.test(X[A==1])Shapiro-Wilknormalitytestdata: X[A==1]W=0.9731,p-value=0.9407>shapiro.test(X[A==2])Shapiro-Wilknormalitytestdata: X[A==2]W=0.9708,p-value=0.9193>shapiro.test(X[A==3])Shapiro-Wilknormalitytestdata: X[A==3]W=0.9371,p-value=0.4613数据在三种水平下均是正态的。方差齐性检验：>bartlett.test(X~A,data=lamp1)Bartletttestofhomogeneityofvariancesdata: XbyABartlett'sK-squared=12.139,df=2,p-value=0.002312----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----P值小于0.05，认为各组方差不等。Ex7.4>lamp<-data.frame(X=c(2.79,2.69,3.11,3.47,1.77,2.44,2.83,2.52,3.83,3.15,4.70,3.97,2.03,2.87,3.65,5.09,5.41,3.47,4.92,4.07,2.18,3.13,3.77,4.26),g=factor(rep(1:3,c(8,8,8))))先进行正态性和方差齐性检验以选择使用方差分析aov()还是KW检验kruskal.test()。正态性检验：>attach(lamp)>shapiro.test(X[g==1])Shapiro-Wilknormalitytestdata: X[g==1]W=0.9659,p-value=0.8638>shapiro.test(X[g==2])Shapiro-Wilknormalitytestdata: X[g==2]W=0.983,p-value=0.9763>shapiro.test(X[g==3])Shapiro-Wilknormalitytestdata: X[g==3]W=0.99,p-value=0.9951三组数据都服从正态分布。方差齐性检验：>bartlett.test(X~g,data=lamp)Bartletttestofhomogeneityofvariancesdata: XbygBartlett'sK-squared=3.4559,df=2,p-value=0.1776p值大于5)或者W检验均可。>kruskal.test(X~g,data=lamp)Kruskal-Wallisranksumtestdata: Xbyg----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----Kruskal-Wallischi-squared=7.9322,df=2,p-value=0.01895>lamp.aov<-aov(X~g,data=lamp);summary(lamp.aov)DfSumSqMeanSqFvaluePr(>F)g 2 6.437 3.218 4.2840.0275*Residuals 2115.776 0.751两种方法得到的p值均小于0.05，可认为3种不同处理的诱导作用不同。Ex7.5根据题意，适用配伍组设计的Friedman秩和检验。>lamp<-data.frame(X=c(23.1,57.6,10.5,23.6,11.9,54.6,21.0,20.3,22.7,53.2,9.7,19.6,13.8,47.1,13.6,23.6,22.5,53.7,10.8,21.1,13.7,39.2,13.7,16.3,22.6,53.1,8.3,21.6,13.3,37.0,14.8,14.8),g=gl(4,8),b=gl(8,1,32))#其中g表示group，b表示block。>friedman.test(X~g|b,data=lamp)Friedmanranksumtestdata: XandgandbFriedmanchi-squared=6.45,df=3,p-value=0.09166P值大于0.05，尚不能拒绝原假设。Ex7.6(1)>qua<-data.frame(x=c(4.6,4.3,6.1,6.5,6.8,6.4,6.3,6.7,3.4,3.8,4.0,3.8,4.7,4.3,3.9,3.5,6.5,7.0),a=gl(3,6,18),b=gl(3,2,18))>qua.aov<-aov(x~a+b+a:b,data=qua);summary(qua.aov)DfSumSqMeanSqFvalue Pr(>F)a2 3.9741.987 26.690.000164***b2 4.4412.221 29.830.000107***a:b421.1595.290 71.068.34e-07***Residuals9 0.074两种因素以及其交互作用对产品质量的影响都很显著。(2)最优条件为A3和B3组合。>t.test(c(6.5,7.0))OneSamplet-testdata: c(6.5,7)t=27,df=1,p-value=0.02357alternativehypothesis:truemeanisnotequalto095percentconfidenceinterval:3.5734499.926551sampleestimates:meanofx6.75----宋停云与您分享--------宋停云与您分享----点估计为6.75，区间估计为3.573449，9.926551(3)双因素方差分析的多重比较？不会...Ex7.7正交试验的方差分析。L9(3^4)正交表。>pro<-data.frame(Y=c(62.925,57.075,51.6,55.05,58.05,56.55,63.225,50.7,54.45),A=gl(3,3),