含绝对值的不等式

1、含绝对值得不等式 学习要求 ?(1) 理解并掌握解含绝对值得不等式得基本思路就是化去绝对值符号, 转化为不含绝对值符号得不等式 ( 或不等式组)来解。? ( )弄懂去绝对值符号得理论依据 , 掌握去绝对值符号得主要方法 , 会解简单得含有绝对值得不等式 . 重点难点 。实数绝对值得定义 :|a =? 这就是去掉绝对值符号得依据 , 就是解含绝对值符号得不等式得基础。最简单得含绝对值符号得不等式得解。若0 时, 则|x a - x a；|x - 或 x a。注:这里利用实数绝对值得几何意义就是很容易理解上式得,即| |可瞧作就是数轴上得动点(x) 到原点得距 离 .3。常用得同解变形f ()|

2、(x) -g ( x)f(x) g(x);|f(x)| g(x) f( ) (x);| (x) ( x) f 2(x ) g (x )。4三角形不等式| a|-|b| b| |a +|b 。例题选讲：第一阶梯例 1: 实数绝对值得涵义就是什么 ? ? 探路 : 实数绝对值得定义就是分类给出 得。 ? 解：正数得绝对值就就是它本身 ; 负数得绝对值就是它得相反数；零得绝对值就 是零 .即：?评注 ：绝对值得概念就是分类定义得 , 因此 , 在解决这类问题时，必须要分类讨论。例 2：型如： | 0）不等式得解法。探路:利用不等式得乘方法则或绝对值意义均可 .? 解：当 a0时, |x ax2a2

3、或 x a; 其几何意义为 ?评注 ： ?解 : 型如|x , （ a0）与|x| ,（a0）得不等式 , 可以利用平方法化为关于得二?次不等式来解；也可以利用定义法来解， 均可求得它们得解集。 今后，要熟记 | |0）得解集为 a a, （a0）得解集为 或 x- 就是十分重要得 .例 3: 由定理“ |a b| |a b| | |b ”导出定理 : “ |a| |b| |a b| |a|+|b ” ? 探路 : 利用“代换法” ? 证明 : 由定理一可知， |a|- b| |a+(-b)| |a|+ b|, 即a| b|a b| a|+|b| ?评注 ：关于与、差、积、商得绝对值与绝对值得

4、与、差、积、商 ,有下面性质。1(?)|a b|= a |b|; ?( 2) ,(b 0)； ? (3)|a|-b| |a+ a+| | ； ?()|a|-|b| -b a| b|例 : 不等式 |1 得解集就是( )（A）x5x ; ?（B） x|6 1 ?( C)x|7 x20;?( D)x|8 x0时,有|f（ ） aaf（ ）a； | （） af（x ）或 f （x） 或 x23x 0或 23x+40解 2-3x 40，得 x4 。评注 ：依据 ,x R时, 有|x| -aa x或 x-a 可知,去掉绝对值符号得主要方法 ,为 |f （）|a-0）；|f（x）| f （x）a 或 f

5、（x） -a,（a 0）例 2、 解下列不等式2i）|2-9|x 3;探路 ：根据实数绝对值得意义，即 a|= 去掉绝对值符号 , 再行解之。解 : 原不等式 （I） 或 （I ）不等式组（ I）x=-3 或 x 4;不等式组 （II）2 2x ；探路 :f （ ） （） （x） g（ ）或 f（ ）-（x）（ 请同学们直接使用 ,证明略 ）解：原不等式 2x 或 - ;由 2, 得 x或 x；由 2, 得x;原不等式得解集为 x|x 或 x 评注:熟练应用“ |f （ ）| g（） f （ x）g （x）或 f（x ） g（ ） 解不等式就是介绍 此法得目得 , 只求会用 , 不必证明。例

6、3: 解下列各不等式（i ）探路 :利用，将原不等式化为关于 | | 得含绝对值二次不等式 , 先求出 x得取值范围 ,再求 x 得取值范围解: x= x|原不等式得解集为评注：对上面介绍得五种去掉绝对值符号得方法 ,不要盲目套用 , 要分析题目得结果特 征，选择解题得最佳途径就是我们要培养得基础功。（i ）探路：不等式两边均为非负数 , 可以利用“平方法”解: 不等式两边都就是非负数 , 不等式两边分别平方 , 得 ,整理得又此不等式两边都就是非负数 , 两边分别平方 ,得整理 , 得原不等式得解集为 ; ?评注: 在利用“平方法 ”去绝对值符号时，必须注意不等式两边都非负得条件。 ?探路

7、:可以利用零点、分段、讨论法（即零点区间法）解4:求零点:令x+30，得x 3；令 x-3= ,得x=3 ?.分段:两个零点将 R分为三段（i） 当3时, 原不等式化为 | +3 |3 ，此不等式恒成立；（ii） 当 x- 时 ,原不等式化为 3+ 3| 3, 此不等式恒成立 , 3 （iii ）当- x3 时,原不等式化为 | 3， 求（i） 、（i ）、 （iii） 得并集，得原不等式得解集为第三阶梯例 1: 设集合，若 , 求实数得取值范围 .探路 : 分别解绝对值不等式 ,分式不等式 , 化简集合 A,B，再将集合得包含关系转化为与之等价得不等式组，求 a 得取值范围。注意此时应包括端

8、点解： x a| 22x a2xa 2,A=x| - x a+2 ； 1 -1 0 0（ x+）（ x3） 02x3 =x| 2x ；AB, 于就是 0。评注 :本题考查得方向就是求满足条件实数a 得取值范围 ; 考查得知识点为 : 绝对值不等式 , 分式不等式得解法以及集合得知识；考查数形结合得数学思想，必须指出得就是集合得包含关系 可直观地解释为数轴上区间得覆盖关系, 从而将集合得包含关系转化为与之等价得不等式组, 求得 a 得取值范围。例 2： 求证：探路:用综合法不易得手时 ,可从结论分析入手 , 逐步寻找使前一个不等式成立得充分条件或 充要条件。成立, 原不等式成立。评注 :本题考查

9、用分析法证明不等式，就是对课本P7。例 4, 证明方法得挖潜 , 每一个不等式都就是前一个不等式成立得充分条件或充要条件 , 因而相邻两个不等式之间要用反向单箭头 “”（ 表示后一个不等式就是前一个不等式成立得充分条件）, 或用双向箭头“” （ 表示后一个不等式就是前一个不等式成立得充要条件 ）连结。 也可以用“需证 、“即证”等语句连结。 通过练 习, 落实数学思想与方法 .例 3: 已知 | a 1, b 1, 试比较 | a+b + a b | 与 2 得大小。探路 ：要比较大小得对象含有绝对值符号，可联想算术平方根 , 对其进行变形 , 再利用不等 式得性质进行放缩处理。评注 :对于含

10、有绝对值符号得比较大小问题 ,可视为绝对值不等式得证明 , 要结合绝对值不等式得性质 , 利用放缩等方法解决问题。探路 ：本题也可以按 a+与 b 得符号分类讨论，解答问题 .解:（i） 当 + 与同号时 , 有（i ）当 a b 与 a-b 异号时 , 有（ ） 当 a+b 与 a b 至少一者为零时 , 结论显然综上所述： |a+b +|a-b| 2仅供参考 , 不必深究例 4: 设 a 0，且 a1，解关于得不等式探路 : 利用“同底法”解：原不等式i) 当 01时不等式组( ) , 无解, 原不等式得解集为评注 :就是由 0a1与 a1来本题就是含字母系数得对数不等式, 参数得作用有两

11、个决定对数函数得单调性； 在对数不等式变换为代数不等式时 , 决定不等号得方向就是否改变; 二就是决定所得代数不等式得解集，还需指出得就是 , 对数函数得定义域为 得制约作用也不可忽 视.第四阶梯2例 1. 解不等式 | 2 14、 ? 解： -4x 2+4x14 ? -5x-3 或 122x x + -3 0 或 x 2x-3 0 ?-3 x 或 x 3 x 或 x3 。? 即原不等式得解集 （， 1） （3 ，+）。 ?例 .解不等式 1、解 : ? （） | x32x1|2 （2 +3） 2-（x 1）0 （2x+3 x+1）（ 2x+3+x- ）0（ +4）（ x+2）0， 4x- 。

12、 ? （3） x。 ?原不等式得解集为 4，- 例4. 解不等式 |x+ |+|x 2| 5、 分析 ：为了去掉绝对值符号 , 首先找到两式得零点与 2，它们把 （- ,+ ）分成了三个区间 ;（- ， 1），1,2,（2 ，+） 。从而可将不等式化为三个不等式组。求它们得解集得并集即可? 解: 将不等式化为三个不等式组 ? （ I） x 1； ? （ I） 1x；? （III） 2x3。 ? 原不等式得解集为（ - ， -1 ）- ,2 （2,3） ,即（-2,3） 。例 5。 解不等式 x+1 |x-2 1。解： |x+1|+|x-2| | （+1）（-2）|=3 ， 原不等式无解。说明：

13、本题没有采用例得解法，而就是利用三角形不等式直接判断出结果 . 它提示我们今后 解这一类问 题，应先判断。例 6. 已知 : a|1, |b 1. 求证： |1 、 证法 : 欲证，只需证 1，2 2 2只需证 |a+ | | +a , 只需证 （a+b ）2（ 1+b） 2， 只需证 （a+b） - （ 1+ab） 2， 只需证 （ +b - ） ， 只需证 -（a 1） （b 1） 0、 a|1, |.21, b2 1，即 10, b2-1 0。式成立 , 原不等式成立。证法 : 欲证 , 只需证 1，只需证（ +1 ） （ 1） 0， ? 只需证 0, ? 只需证 0，只需证 、 ? |

14、a 1， b 1, a1, b1,即 a-0, 。 ? 0，即 ,设 x1 a+b| ， x 2= |+|b ? |a+b |a |b , .参考练习 ： ? 。解不等式 -8|10。 ? . 解不等式 |x+7|- | 。解不等式 -3 1。4。解不等式 |l g3 +|lo （3- )| 1。?5. 求 y= 得值域。 6 ?设f （ ）= x+b 就是整系数二次三项式 ,求证 :|f( )| ，|f(2）| , |f （3） , 不可能同时成立。 7 ?。已知 |x| , |y| , |z, ( 0） 。求证 :x 3| 。参考答案 :1、-6, 21， 3；2、（- , ）;、 ， 2

15、）（, + ）;、 提示: 首先求定义域 （ ， 3）。其次求出二零点 1,2 。分三个区间（ 0,1,（ ,2,（2,3） 解即可。解集 （0, ） ，3 .提示：可用反解法解出snx= ,则解不等式 | | 1得 -4 ， 。6。提示 : 用反证法 ? 略证 ：假设 |1 a+ ， |4 2a | , 及 |9 +b| 0 得解集就是 （ ）A、 B、 x或 x- C、 x D 、 x 12。不等式 |x 2 +| +25 B、x2 、 5 x 2 B 、 x= 2 或C、D、 x -25. 解不等式 : () ?A、 、 ? C、答案与解析答案 :1、 2、C 、 A 、B 5、A解析：

16、1 、分析:首先观察不等式 ,不难发现 (+x|)就是非负得 ,所以(|2x+1| 4)必须大于 0。解 (2x+1-4) 0就可以了。 ? 2、分析:首先寻找零点 ,就就是 |x- =0与|x+ |=0 ，得到 =2 与 x=2。然后分 x- 与 2x2 与 2三个区间分别去掉绝对值符号求解。注: 也可取特殊值代入验证 :0 满足不等式，所以解集中应该有 0, 排除 A、D;再代入 -5 验证。 ?3、分析 : 原不等式等价于x 2 2ax+a 2 1 。 ? 即 (x-a) 1，- xa。 ? 原不等式得解集为 - x a+1.、 分析 : 原不等式5、分析: 原不等式绝对值不等式内容归纳

17、1、含有绝对值得不等式得性质? （1） a|-|b| |a b| a证明: |a| a| |， -|b b |b|, （ | | ） +b（ a +| | ）， a+b| |a +b| 、 ? 又 a=a+ , | | |b =|a b- | |+b+|，即|a-b|a+b| 、?|a+ | |+|b| ? 由以上定理很容易推得以下得结论： ? （2） | |+|b ? （3） |a 1+a2+a3|a 1|+|a |+ a3|? 由得 | 由得 a|-| | |-| | |a |2 几个基本不等式得解集(1 ) |x|0) ) x| axa 或0)3) m a(a 0)-a x- a m a

18、 x m+a4) x | a ( )x-ma 或 -mm+ 或 x m a. 绝对值得定义|a由定义可知 :|ab|=|a |b 4。绝对值不等式得解法（ ） 解含有绝对值不等式得基本思路， 绝对值符号得存在就是解不等式得一大障碍。因此如何去掉绝对值符号使其转化为等价得不含绝对值符号得不等式就是解决这类问题得关键，常采取划分区间逐段讨论 , 从而去掉绝对值符号转化为一般不等式 , 或利用绝对值表达得几何意义转化22 为图像或曲线为解决。 ?（2）几种主要得类型 ? f（） |g（x）| 2（x） g2（x ）? f（x ）| g（）（ x）g（x ） 或 f （x） g（x） f（ ）g（x）

19、-g（ ）f（x）g（x ） 含有两个或两个以上绝对值符号得不等式可用“按零点分区间讨论得方法来脱去绝对值符号去求解 . ? 含有两个或两个以上绝对值符号得不等式可以用图像法来解决5. 关于“绝对值 得四则运算规律1） ab|=a|b| （2）（3） a|bab|a|+|b （4） |a|-|b| -b| +|b 在一般情况下 , 两个数得与或差得绝对值与这两个数得绝对值得与差就是不相等得 ,但在某些情况下 , 可以取等号。? 不等式取等号得条件 ? （） |a+|取等号 a,b 异号且 a|b （ ） +b| |a +|b| 取等号 a,b 同号 ? （ 3） |a|-|b| b取等号 a,

20、b 同号且|a|b| ?（） ab| a|+| 取等号 a，b异号。拓展 ? (1) 定理在形式上包含两部分 :| +|a|+|b 与 a b|a b| ，但 | |b| |a+ |a+b (b)| + + ( b) ，这说明前者与后者在本质上就是一致得， 故可先证明前者 , 再由前者推出后者 .(2) 定理可改写为 |a| |b| a+b| | |+|b ,当a,b 同号或至少有一个为 0 时右侧等号 成立,当 a, 异号或至少有一为 0时左侧等号成立。 等号成立得条件常可用于求最值问题。 ?(3) 推论 1：|a 1a2+| |a | a|+|a 3| , 可推广到多个数得情况 :| 1+a2 +an | 1|+ a2|+ +|a | ，当且仅当 a1,a 2 an非异号时等号成立 .它就是不等式得证明中 “放缩” 得依据， 同时也使求函数得最值有了更简洁得途径 . ? (4) 定理可与向量模得不等式 : 联系起来，因此 也可称为三角形不等式。检测题、选择题 1(?)若 |x a| h， |y a| , 则下面得不等式一定成立得就是(?