[理学]《经济数学》-第3章ppt课件

1、3.1 3.1 中值定理中值定理3.2 3.2 洛必达法那么洛必达法那么3.3 3.3 函数的单调性与极值函数的单调性与极值3.4 3.4 函数图形的描画函数图形的描画3.6 3.6 导数在经济中的运用导数在经济中的运用终了 前页前页结束结束后页后页定理定理1 1 设函数设函数 满足以下条件满足以下条件)(xf)()(bfaf(3) (3) (1) (1) 在闭区间在闭区间 上延续；上延续；,ba(2) (2) 在开区间在开区间 内可导内可导; ;),(ba那么在内至少存在一点那么在内至少存在一点 ，3.1.1 3.1.1 罗尔定理罗尔定理 ab使得使得0)(f前页前页结束结束后页后页 几何解

2、释如图几何解释如图ABab在直角坐标系在直角坐标系OxyOxy中中曲线曲线 两端点的连线两端点的连线 平行平行于于 轴轴, ,其斜率为零其斜率为零x( )yf xAB故在曲线弧上定有一点故在曲线弧上定有一点 使曲线在该点的切线平使曲线在该点的切线平行于弦行于弦 ，即平行，即平行于于 轴。轴。AB( ,( )Mf x0( )f Oxy即即前页前页结束结束后页后页那么在区间那么在区间 内至少存内至少存在在),( ba(1) (1) 在闭区间在闭区间 上延续；上延续；,ba(2) (2) 在开区间在开区间 内可导；内可导；),(ba定理定理2 2 设函数设函数 满足以下条件满足以下条件)(xf)(x

3、fy MABbaT( )( )( )f bf afba 一点一点 ，使得使得3.1.2 3.1.2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理前页前页结束结束后页后页曲线曲线 处处有不垂直处处有不垂直于于 轴的切线轴的切线如图如图 在直角坐标系在直角坐标系OxyOxy( )yf xx端点连线端点连线ABAB的斜率为的斜率为( )()f bf aba所以定理实践是说存在所以定理实践是说存在点点 ，使曲线在该点的，使曲线在该点的切线切线T T平行于弦平行于弦ABAB。 ( )yf xMABba Toxy( )()()f bf afba 即即前页前页结束结束后页后页2.2.在开区间在开区间 内可导，内可导，)

4、,(ba1.1.在闭区间在闭区间 上延续；上延续；,ba定理定理3 Cauchy3 Cauchy中值定理中值定理那么在区间那么在区间 内定有点内定有点),(ba)()()()()()(agbgafbfgf 使得使得3.1.3 3.1.3 柯西中值定理柯西中值定理设函数设函数 与与 满足如下条件：满足如下条件：( )f x)(xg前页前页结束结束后页后页RolleRolle定理是定理是LagrangeLagrange定理的特例定理的特例: : 在在LagrangeLagrange中值定理中假设中值定理中假设 那么那么LagrangeLagrange中值定理变成中值定理变成RolleRolle定理

5、；定理；CauchyCauchy定量是定量是LagrangeLagrange定理的推行定理的推行 在在CauchyCauchy中值定理中假设中值定理中假设 ， 那么那么CauchyCauchy化为化为LagrangeLagrange中值定理。中值定理。)()(afbf xxg )(三个中值定理的关系前页前页结束结束后页后页 假设在某极限过程下假设在某极限过程下, ,函数函数f ( x)f ( x)与与g(x)g(x)同时趋于同时趋于零或者同时趋于无穷大，通常把零或者同时趋于无穷大，通常把 的极限称为未定式的极限称为未定式的极限，洛必达法那么就是处理这类极限的工具。的极限，洛必达法那么就是处理这

6、类极限的工具。普通分为三种类型讨论：普通分为三种类型讨论：)()(xgxf3.2 洛必达法那么001 型不定式2 2型不定式型不定式3 3其它型不定式其它型不定式前页前页结束结束后页后页定理定理1 1 设函数与在的某空心邻域内有定义，且设函数与在的某空心邻域内有定义，且满足如下条件：满足如下条件：000)(lim)(lim)1( xgxfaxax且且在该邻域内都存在在该邻域内都存在和和，xgxf)()()2( ;0)( xg.)()(lim)()(limxgxfxgxfaxax 则则） （ )()(lim)3(xgxfax存在存在或为或为1 1 型未定式型未定式前页前页结束结束后页后页 为恣意

7、实数为恣意实数 例例1 1 求求xxx1)1(lim0 1)1(lim1)1(lim120 xaxxxx解解例例2 2 求求20)1ln(limxxxxxxxxx211lim)1ln(lim020 解解 )1(21lim0 xxx前页前页结束结束后页后页例例3 求求 202limxeexxx 解解 12lim2lim2lim0020 xxxxxxxxxeexeexee此定理的结论对于此定理的结论对于 时时 型未定式同样适用。型未定式同样适用。 00 x 例例4 求求xxx1arctan2lim解解 22221arctan12limlimlim1111xxxxxxxxx 前页前页结束结束后页后页

8、2型不定式型不定式 的某空心邻域内有定义，且满足如下条件的某空心邻域内有定义，且满足如下条件(1)lim( )lim ( )xaxaf xg x (2)( )fx 与与( )g x 在该邻域内都存在，且在该邻域内都存在，且( )0g x ( )(3)lim()( )xafxAg x 有有限限或或那么那么 ( )( )limlim( )( )xaxaf xfxg xg x 定理定理2 2 设函数设函数( )f x( )g xxa 与在点在点前页前页结束结束后页后页例例5 求求xxx3tantanlim2 解解: xxxxxx3sec3seclim3tantanlim2222 xxx22cos3c

9、oslim312 )sin(cos2)sin3(3cos2lim312xxxxx 32sin6sinlim2 xxx 定理定理2 2的结论对于的结论对于 时的时的 型未定式型未定式的极限问题同样适用。的极限问题同样适用。 x 前页前页结束结束后页后页例例6 6求求nxxxlnlim 解解 01lim1limlnlim1 nxnxnxnxnxxxx那么可继续运用洛必达法那么。即有那么可继续运用洛必达法那么。即有能满足定理中能满足定理中)(xf)(xg与与应满足的条件，应满足的条件，)()(lim)()(lim)()(limxgxfxgxfxgxfaxaxax )(xf )(xg 与与还是还是 型

10、未定式，且型未定式，且)()(limxgxfax 00假设假设前页前页结束结束后页后页假设反复运用洛必达法那么也无法确定假设反复运用洛必达法那么也无法确定那么洛必达法那么失效那么洛必达法那么失效. . 此时需用别的方法判别未定式此时需用别的方法判别未定式)()(xgxf的极限。的极限。 )()(xgxf或能断定或能断定)()(xgxf 的极限，的极限，无极限，无极限，前页前页结束结束后页后页例例7 7 求求xxxxsin1sinlim20解解 这个问题是属于这个问题是属于00型未定式，型未定式，20011sinsinlimlim01sinsinxxxxxxxxx但分子分母分别但分子分母分别11

11、2 sincoscosxxxx求导后得求导后得此式振荡无极限，故洛必达法那么失效，不能运用此式振荡无极限，故洛必达法那么失效，不能运用。但原极限是存在的，可用下法求得但原极限是存在的，可用下法求得前页前页结束结束后页后页3 3其它型不定式其它型不定式未定式除未定式除00和和 型外，还有型外，还有 1000 0 型、型、 型、型、等五种类型。等五种类型。 型、型、 型、型、 型、型、前页前页结束结束后页后页型或者型或者 型型型：型： 0 100010 ( 型型) )变为变为xxxlnlim30 301lnlimxxx 4031limxxx xxx3lim40 3lim30 xx xxxlnlim

12、30 例例8 8 求求解解0 前页前页结束结束后页后页 型型:通分相减变为通分相减变为 型型00例例9 9 求求)ln11(lim1xxxx 型型解解 )ln11(lim1xxxx xxxxxxln)1(1lnlim1 (0)0型型xxxxxln111lnlim1 xxxxln11lnlim1 xxxx111lim21 21 (0)0型型前页前页结束结束后页后页 1000 型未定式型未定式: :由于它们是来源于幂指函数由于它们是来源于幂指函数 的极限的极限 )()(xgxf因此通常可用取对数的方法或利用因此通常可用取对数的方法或利用 )()(xgxf)(ln)(xfxge 00 即可化为即可化

13、为 型未定式，再化为型未定式，再化为 型或型或 型求解型求解。 0例例10 10 求求xxx 0lim0(0)型型xxxxxxxxeexlnlimln000limlim xxxlnlim0 xxx1lnlim0 2011limxxx 0)(lim0 xx1lim00 exxx 解解所以所以前页前页结束结束后页后页例例11 11 求求xxxsin0)(cotlim ,)(cotsin xxy xxycotlnsinln yxlnlim0 xxxsin1cotlnlim0 xxxxxcossin1sin1cot1lim220 0cossinlim20 xxx yx0lim解解 设设xxxcotln

14、sinlim0 所以所以 xxxsin0)(cotlim yxeln0lim10 e 型型0 前页前页结束结束后页后页例例12 12 求求xexxln11)(lnlim 型型1,)(lnln11xxy )ln(lnln11lnxxy xxxxxyexexex11ln1limln1lnlnlimlnlim 1)ln1(lim xex所以所以 1ln11)(lnlim exxex解解前页前页结束结束后页后页3.3 3.3 函数的单调性与极值函数的单调性与极值 定理定理1 1 设函数设函数f (x)f (x)在闭区间在闭区间a,ba,b上延续，在开上延续，在开区区间间(a,b)内可导，那么内可导，那

15、么：1.假设在假设在(a,b)内内 ,那么那么f (x)在区间在区间(a,b)内单调内单调添加添加( )0f x 2.假设在假设在(a,b)内内 ,那么那么f (x)在区间在区间(a,b)内单调减内单调减少。少。0)( xfabab3.3.1 函数的单调性及判别法函数的单调性及判别法前页前页结束结束后页后页例例2 确定函数确定函数 的单调区间的单调区间.xxxf3)(3 可导，可导， 且等号只在且等号只在 x=0 x=0 成立成立. . 0cos1 xy解解 由于所给函数在区间由于所给函数在区间 上延续，在上延续，在 内内, ),( 例例1 1 断定函数断定函数 在区间在区间 上的单调性上的单

16、调性. .xxysin , 所以所以函数函数 在区间在区间 上单调添加上单调添加. .xxysin , 解解 )1)(1(333)(2 xxxxf所以当所以当 x = -1, x = 1时时0)( xf x (-,-1) -1(-1,1) 1(1,+)f (x) + 0 - 0 +f(x)前页前页结束结束后页后页 解解 函数的定义域函数的定义域 且在定义域内延续且在定义域内延续),(例例3 3 确定函数确定函数的单调区间。的单调区间。32xy 332xy 其导数为其导数为当当 时时 不存在，且不存在使不存在，且不存在使 的点的点0 xy 0 y用用 把定义域分成两个区间，见下表：把定义域分成两

17、个区间，见下表：0 x x(-,0)(0,+) f (x) - + + f (x) 单增单增 单减单减前页前页结束结束后页后页 反之，假设对此邻域内任一点反之，假设对此邻域内任一点 ，恒有，恒有 那么称那么称 为函数为函数 的一个极小值的一个极小值， 称为极小值点。称为极小值点。)(xf)(0 xxx )(0 xf0 x)()(0 xfxf 3.3.2 3.3.2 函数的极值函数的极值定义定义 设函数设函数 在点在点 的某邻域内有的某邻域内有定义，假设对此邻域内每一点定义，假设对此邻域内每一点 ，恒有，恒有 ，那么称，那么称 是函数是函数 的一个极大值，的一个极大值， 称为函数称为函数 的一个

18、极大值点；的一个极大值点； )(xf0 x)(0 xxx )()(0 xfxf )(0 xf0 x)(xf)(xf 函数的极大值极小值统称为极值，极大值点极函数的极大值极小值统称为极值，极大值点极小值点统称为极值点。小值点统称为极值点。前页前页结束结束后页后页 ab1x3x5x2x4xABCDE极值是部分的，只是与临近点相比较而言。并非在整极值是部分的，只是与临近点相比较而言。并非在整个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不是独个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不是独一的。如以下图中一的。如以下图中A、B、C、D、E都是极值点。都是极值点。从图中可看出从图中可看出,极小值极小值不一定小

19、于极大值，如不一定小于极大值，如图中图中D点是极小值，点是极小值，A点是极大值。点是极大值。前页前页结束结束后页后页定理定理3极值第一判别法：极值第一判别法： 设函数设函数 在点在点 的某邻域内延续，且在此的某邻域内延续，且在此邻域内邻域内 可除外可导可除外可导)(xf0 x0 x1假设当假设当 时时 ，而当，而当 时，时， 那么那么 在在 获得极大值。获得极大值。0 x0)( xf0 xx 0 xx 0)( xf)( xf0)( xf0)( xf 0 x 0 x0 x如下图：如下图：在在 ，),(00 xx 0)( xf在在 ，),(00 xx0)( xf在在 获得极大值。获得极大值。)(x

20、f0 x前页前页结束结束后页后页 2假设当假设当 时时 ，而当，而当 时，时， 那么那么 在在 获得极小值。获得极小值。0 x0)( xf0 xx 0 xx 0)( xf)(xf0)( xf0)( xf 0 x 0 x0 x如下图：如下图：在在 ，),(00 xx 0)( xf在在 ，),(00 xx0)( xf在在 获得极小值。获得极小值。)(xf0 x3假设在假设在 两侧两侧 的符号不变，那么的符号不变，那么 不不是是 的极值点，如图示的极值点，如图示0 x)(xf 0 x)(xf0)( xf 0 x 0 x0 x0)( xf前页前页结束结束后页后页(4)利用定理利用定理3,判别判别(2)

21、中的点能否为极值点中的点能否为极值点,假设是假设是 求极值点的步骤：求极值点的步骤：(1)求函数的定义域求函数的定义域(有时是给定的区间有时是给定的区间);(3)用用(2)中的点将定义域中的点将定义域(或区间或区间)分成假设干个子区间分成假设干个子区间,进一步断定是极大值点还是极小值点进一步断定是极大值点还是极小值点.(2)求出求出 ,求出使求出使 的点及的点及 不存在的点不存在的点;)(xf 0)( xf)(xf 讨论在每个区间讨论在每个区间 的符号的符号;)(xf (5)求出各极值点处的函数值求出各极值点处的函数值,得函数的全部极值得函数的全部极值.前页前页结束结束后页后页 例例4 求函数

22、求函数 的单调区间和极值的单调区间和极值.32)1()1()( xxxf解解 函数的定义域为函数的定义域为),(223)1()1(3)1)(1(2)( xxxxxf)15()1)(1(2 xxx0)( xf, 11 x,512 x13 x令令,得驻点得驻点这三个点将定义域分成四个部分区间，列表如下这三个点将定义域分成四个部分区间，列表如下极大值极大值,3125345651 f极小值极小值0)1( f前页前页结束结束后页后页 )1)(1(333)(2 xxxxfxxf6)( 令令 得得11 x12 x0)( xf由于由于06)1( f06)1( f定理定理4(极值的第二判别法极值的第二判别法)

23、设函数设函数 在点在点 处具有处具有)(xf0 x 二阶导数，且二阶导数，且 ， ；0)(0 xf0)(0 xf1假设假设 ，那么，那么 是函数是函数 的极小值点的极小值点；0)(0 xf0 x)(xf2假设假设 ，那么，那么 是函数是函数 的极大值的极大值点；点；0)(0 xf0 x)(xf例例5 求函数求函数 的极值的极值. xxxf3)(3 解解 函数的定义域为函数的定义域为),( 所以所以 为极大值为极大值, 为极小值为极小值.2)1( f2)1( f前页前页结束结束后页后页 3.3.3 3.3.3 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值是函数在所调查的区间上全部函数值中最大者和最小

24、者是函数在所调查的区间上全部函数值中最大者和最小者 最小的就是函数在区间最小的就是函数在区间上的最小值。上的最小值。,ba延续函数在区间延续函数在区间上的最大值与最小值可经过比较上的最大值与最小值可经过比较端点处的函数值端点处的函数值 和和 ; ;1.1.区间区间,ba( )( )f af b2.2.区间区间内使的点处的函数值；内使的点处的函数值；),(ba0)( xf内使内使 不存在的点处的函数值。不存在的点处的函数值。3.3.区间区间),(ba)(xf 这些值中最大的就是函数在这些值中最大的就是函数在上的最大值上的最大值,ba,ba上的最大值与最小值是全局性的概念上的最大值与最小值是全局性

25、的概念, ,函数在区间函数在区间,ba如下几类点的函数值得到：如下几类点的函数值得到：前页前页结束结束后页后页 上的最大值和最小值。上的最大值和最小值。在驻点处函数值分别为在驻点处函数值分别为在端点的函数值为在端点的函数值为最大值为最大值为最小值为最小值为解解)1)(1(444)(3 xxxxxxf令令0)( xf，得驻点，得驻点11 x0,2 x1,3 x13)2()2( ff4)1()1( ff例例6 6 求函数求函数 在区间在区间52)(24 xxxf 2,2 )(xf4)1(,5)0(,4)1( fff3)2()2( ff比较上述比较上述5 5个点的函数值，即可得个点的函数值，即可得

26、在区间在区间上的上的)(xf 2,2 前页前页结束结束后页后页M1xyo1 2 M2M1xyo1 2 M23.4.1 3.4.1 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定义定义1 1：假设在某区间内，曲线弧总是位于其切线的上：假设在某区间内，曲线弧总是位于其切线的上方，那么称曲线在这个区间上是凹的。方，那么称曲线在这个区间上是凹的。如下图如下图3.4 3.4 函数图形的描画函数图形的描画前页前页结束结束后页后页 假设曲线弧总是位于其切线的下方，那么称曲线在这个区间上是凸的。如以下图： 当曲线为凹时，曲线 的切线斜率 随着 的添加而添加，即 是增函数；反之，当曲线为凸时，曲线 的切线斜率 随着 的添加

27、而减少，即 是减函数。 )(xfy xxftan)( x)(xfy )(xf ( )tanfxx x)(xf M1x1 2 M2yoM1xyoM2前页前页结束结束后页后页定理定理1 1 设函数设函数 在区间在区间 内具有二阶导数内具有二阶导数 1 1假设假设 时，恒有时，恒有 ，那么曲线，那么曲线 在在 内为凹的；内为凹的； 2 2假设假设 时，恒有时，恒有 ，那么曲线，那么曲线 在在 内为凸的。内为凸的。定义定义2 2 曲线上凹与凸的部分的分界点称为曲线的拐点。曲线上凹与凸的部分的分界点称为曲线的拐点。 拐点既然是凹与凸的分界点，所以在拐点的某邻域拐点既然是凹与凸的分界点，所以在拐点的某邻域

28、内内 必然异号，因此在拐点处必然异号，因此在拐点处 或或 不存在。不存在。 )(xfx)(xfx)(xf)(xf )(xf 0)( xf),(ba),(ba0)( xf),(ba),(ba),(ba0)( xf前页前页结束结束后页后页例例1 1 求曲线求曲线 的凹凸区间与拐点。的凹凸区间与拐点。解解 令令 ，得，得 ， 1234 xxy2364xxy 2,121212 (1)yxxx x 列表如下列表如下 0 0 0 y1 , 021 xx)1 , 0(), 1( )0 ,(10)1 , 0()0 , 1( )fx ( )f x有拐点有拐点有拐点有拐点x前页前页结束结束后页后页 可见可见,曲线

29、在区间曲线在区间 内为凹的，在区间内为凹的，在区间 内为凸的，内为凸的，曲线的拐点是曲线的拐点是 和和 . ), 1( , )0 ,( )1 , 0()1 , 0()0 , 1( 假设函数假设函数 在在 的某邻域内延续，当在点的某邻域内延续，当在点 的二阶导的二阶导数不存在时，假设在点数不存在时，假设在点 某空心邻域内二阶导数存在且在某空心邻域内二阶导数存在且在 的两侧符号相反，那么点的两侧符号相反，那么点 是拐点；假设两侧二阶导是拐点；假设两侧二阶导数符号一样，那么点数符号一样，那么点 不是拐点不是拐点.)(xf0 x0 x0 x)(,(00 xfx)(,(00 xfx0 x综上所述，断定曲

30、线的凹凸与拐点的步骤可归纳如下：综上所述，断定曲线的凹凸与拐点的步骤可归纳如下：1 1求一阶及二阶导数求一阶及二阶导数 ， ；2 2求出求出 及及 不存在的点；不存在的点；)(xf )(xf )(xf )(xf 前页前页结束结束后页后页3 3以以2 2中找出的全部点，把函数的定义域分成中找出的全部点，把函数的定义域分成假设干部分区间，列表调查假设干部分区间，列表调查 在各区间的符号，从在各区间的符号，从而可断定曲线在各部分区间的凹凸与拐点。而可断定曲线在各部分区间的凹凸与拐点。 )(xf 例例2 2 求曲线求曲线 的凹凸区间与拐点。的凹凸区间与拐点。 2xey 解解 函数的定义域为函数的定义域

31、为 当当 时，时， ，故以，故以 将定将定义域分成三个区间，列表如下：义域分成三个区间，列表如下： 0 y21 x22xxey 22,2(21)xyex 21 x21 x),(前页前页结束结束后页后页x1(,)2 1211(,)22121(,)2)(xf )(xf +0 0 +有有 拐拐 点点有有拐拐点点 在在 处，曲线上对应的点处，曲线上对应的点 与与 为拐点。为拐点。 21 x)1,21(e )1,21(e前页前页结束结束后页后页3.4.2 3.4.2 曲线的渐近线曲线的渐近线 有些函数的定义域或值域是无穷区间，此时函数的图有些函数的定义域或值域是无穷区间，此时函数的图形向无限远处延伸，如

32、双曲线、抛物线等。有些向无穷远形向无限远处延伸，如双曲线、抛物线等。有些向无穷远延伸的曲线，越来越接近某不断线的趋势，这种直线就是延伸的曲线，越来越接近某不断线的趋势，这种直线就是曲线的渐近线。曲线的渐近线。 定义定义3 3 假设曲线上一点沿着曲线趋于无穷远时，该假设曲线上一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某直线的间隔趋于零，那么称此直线为曲线的渐近线。点与某直线的间隔趋于零，那么称此直线为曲线的渐近线。1 1程度渐近线程度渐近线假设曲线假设曲线 的定义域是无穷区间，且有的定义域是无穷区间，且有 或或 , ,那么直线那么直线 为曲线为曲线 的渐近线，的渐近线，称称)(xfy bxfx )(lim

33、by bxfx )(lim)(xfy 为程度渐近线为程度渐近线. .如以下图如以下图 前页前页结束结束后页后页xyoxyo例例3 3 求曲线求曲线 的程度渐近线。的程度渐近线。11 xy解解 由于由于所以所以 是曲线的一是曲线的一条程度渐近线，如图示条程度渐近线，如图示011limxx0 yyxo1前页前页结束结束后页后页2、铅直渐近线、铅直渐近线假设曲线假设曲线 满足满足 或或 )(xfy )(limxfcx )(limxfcx )(limxfcx那么称直线那么称直线 为曲线为曲线 的的铅铅直渐近线或垂直渐近线，如图直渐近线或垂直渐近线，如图cx )(xfy 例求曲线例求曲线 的铅直渐近线。

34、的铅直渐近线。11 xy解解 由于由于所以所以 是曲线的一条铅直渐近线。是曲线的一条铅直渐近线。 11lim1xx1 x如前页图所示如前页图所示前页前页结束结束后页后页3.4.3 3.4.3 函数图形的作法函数图形的作法 函数的图形有助于直观了解函数的性质，所以研讨函函数的图形有助于直观了解函数的性质，所以研讨函数图形的描画方法很有必要，如今综合上面对函数性态的数图形的描画方法很有必要，如今综合上面对函数性态的研讨，可以得出描画函数图形的普通步骤如下：研讨，可以得出描画函数图形的普通步骤如下： 1 1确定函数的定义域；确定函数的定义域； 2 2确定函数的奇偶性曲线的对称性和周期性；确定函数的奇

35、偶性曲线的对称性和周期性； 3 3确定函数的单调区间和极值确定函数的单调区间和极值; ; 4 4确定曲线的凹凸区间和拐点；确定曲线的凹凸区间和拐点；5 5调查曲线的渐近线；调查曲线的渐近线；6 6算出一些点，特别是曲线与坐标轴的交点坐标。算出一些点，特别是曲线与坐标轴的交点坐标。7 7用平滑的曲线衔接各点。用平滑的曲线衔接各点。前页前页结束结束后页后页例例5 5 作函数作函数 的图形。的图形。 2) 1(42xxy解解 1 1定义域为定义域为: :(,0) (0,)2 2求函数的增减区间、极值、凹凸区间及拐点；求函数的增减区间、极值、凹凸区间及拐点；由于由于 ，3)2(4xxy 4)3(8xx

36、y 令令 得得 ；令令 得得 列表如下列表如下: :0 y2 x0 y3 xx(,3 ) (3 ,2 )(2 , 0 )320 0 + 0 + + + ),0(y y y前页前页结束结束后页后页3 3渐近线：由于渐近线：由于 所以所以 为程度渐近线；为程度渐近线； 22)1(4lim2 xxx2x 又由于又由于 ， 所以所以 为铅直渐近线。为铅直渐近线。 2)1(4lim20 xxx0 x4 4 描出几个点：描出几个点：12(,),A 1 6( ,),B2 1( , ),C239( ,).Dxyo如下图如下图作出函数图形作出函数图形前页前页结束结束后页后页 例例6 在经济学中，会经常遇到函数在

37、经济学中，会经常遇到函数试作出函数的图形。试作出函数的图形。 2221)(xex 解解 1 1定义域：定义域：，+； 2奇偶性：由于奇偶性：由于 ，故，故 为偶函数，其图形为偶函数，其图形关于关于 轴对称；轴对称； )()(xx )(x 3增减、极值、凹凸及拐点：增减、极值、凹凸及拐点： y由于由于222)(xexx 222)1)(1()(xexxx 令令 ，得，得 ；令令 ，得，得 ， ，0)( x0 x0)( x11 x12 x前页前页结束结束后页后页4 4渐近线渐近线 021lim)(lim22 xxxex 所以所以 是程度渐近线。是程度渐近线。0y 先作出函数在先作出函数在 内的图形，

38、然后利用对称性作出内的图形，然后利用对称性作出区间区间 内内的图形，如图的图形，如图 (0,)(,0)o前页前页结束结束后页后页 21yxy y 0(0，1)11，+ 0 0+极极大大值值)21(1,e 拐拐点点列表讨论如下列表讨论如下其中其中 ， ； 4 . 021 24. 021 e 前页前页结束结束后页后页 3.5 3.5 导数在经济中的运用导数在经济中的运用 3.5.1 函数的变化率函数的变化率边沿函数边沿函数定义定义1 1 设函数设函数在点在点处可导，处可导，)(xfy x边沿函数值。其含义为边沿函数值。其含义为: :当当 时时,x,x改动一个单位，相改动一个单位，相0 xx )(x

39、f在点在点0 x处的导数处的导数)(0 xf 称为称为)(xf在点在点0 x处的处的相应地相应地 y 约改动约改动 个单位个单位)(0 xf 为为的边沿函数。的边沿函数。)(xf )(xf称导函数称导函数当当 时时,)(0 xfy 1 x实践上，实践上，xxfdyy )(0 解解 , ,所以所以, ,xy4 205 xy22xy 在在5 x时的边沿函数值。时的边沿函数值。,试求试求例例1 1 设函数设函数前页前页结束结束后页后页 边沿本钱是总本钱的变化率。边沿本钱是总本钱的变化率。设设C C为总本钱，为总本钱，下面引见几个常见的边沿函数下面引见几个常见的边沿函数:1 1边沿本钱边沿本钱 1C为

40、固定本钱，为固定本钱，那么有那么有为可变本钱，为可变本钱，2C为平均本钱，为平均本钱，C为边沿本钱，为边沿本钱，C 为产量，为产量，Q总本钱函数总本钱函数 12()()CC QCC Q 平均本钱函数平均本钱函数 12( )( )CC QCC QQQ边沿本钱函数边沿本钱函数 ( )CC Q 2()1004QCC Q 例例2 2 知某商品的本钱函数为知某商品的本钱函数为, ,求当求当时的总本钱，平均本钱及边沿本钱。时的总本钱，平均本钱及边沿本钱。10Q 解解 由由21004QC 1004QCQ2QC 前页前页结束结束后页后页令令 得得边沿本钱边沿本钱于是当于是当 时时10Q 总本钱总本钱 125)

41、10( C平均本钱平均本钱 5 .12)10( C5)10( C 2100Q Q 为多少时，平均本钱最小为多少时，平均本钱最小?例例3 3 在例在例1 1中，当产量中，当产量解解 C41 3200CQ 0 C2400Q 20Q 0)20( C所以所以,当当Q = 20时平均本钱最小。时平均本钱最小。前页前页结束结束后页后页2 2收益收益 平均收益是消费者平均每售出一个单位产品所得到平均收益是消费者平均每售出一个单位产品所得到的收入，即单位商品的售价。边沿收益为总收益的变化的收入，即单位商品的售价。边沿收益为总收益的变化率。总收益、平均收益、边沿收益均为产量的函数。率。总收益、平均收益、边沿收益

42、均为产量的函数。 设设P P为商品价钱，为商品价钱，Q Q 为商品量，为商品量，R R 为总收益，为总收益， 为平为平均收益，均收益， 为边沿收益，那么有为边沿收益，那么有 R需求函数需求函数 总收益函数总收益函数 平均收益函数平均收益函数 边沿收益函数边沿收益函数 ( )RR Q ( )QPP ( )RR Q ( )RR Q R 前页前页结束结束后页后页需求与收益有如下关系需求与收益有如下关系: :总收益总收益 平均收益平均收益 边沿收益边沿收益( )( )RR QQP Q ( )( )( )( )R QQP QRR QP QQQ ( )RR Q ( )( )R QRR QQ总收益与平均收益

43、及边沿收益的关系为总收益与平均收益及边沿收益的关系为前页前页结束结束后页后页求销售量为求销售量为3030时的总收益，平均收益与边沿收益。时的总收益，平均收益与边沿收益。 105QP 2( )( )101205QR QQP QQ( )( )10,5QR QP Q例例4 4 设某产品的价钱和销售量的关系为设某产品的价钱和销售量的关系为解解 总收益总收益 平均收益平均收益 4)30( R边沿收益边沿收益 2( )10,5R QQ 2)30( R前页前页结束结束后页后页 Q3 3利润利润 在经济学中，总收益、总本钱都可以表示为产量在经济学中，总收益、总本钱都可以表示为产量的函数，分别记为的函数，分别记

44、为和和，那么总利润，那么总利润可表可表 ( )R Q( )C Q( )L Q示为示为( )( )( )LL QR QC Q ( )( )( )L QR QC Q最大利润原那么最大利润原那么:获得最大值的必要条件为获得最大值的必要条件为 ( )L Q( )0L Q ( )( )R QC Q 即即所以获得最大利润的必要条件是所以获得最大利润的必要条件是: :边沿收益等于边沿本钱边沿收益等于边沿本钱 前页前页结束结束后页后页 105QP 例例5 5 知某产品的需求函数为知某产品的需求函数为 本钱函数为本钱函数为 502CQ问产量为多少时总利润问产量为多少时总利润 L L 最大最大? ?解解 知知 ,

45、105QP 502CQ于是有于是有2( )105QR QQ2( )( )( )8505QL QR QC QQ2( )8,5L QQ 2( )5L Q 令令 得得( )0L Q 20Q 0)20( L所以当所以当Q=20Q=20时总利润最大时总利润最大前页前页结束结束后页后页例例6 6某工厂消费某种产品，固定本钱某工厂消费某种产品，固定本钱2000020000元，每消费元，每消费一单位产品，本钱添加一单位产品，本钱添加100100元。知收益元。知收益 QL()2000100QQ C C = = C C解解 根据题意，总本钱函数为根据题意，总本钱函数为是年产量是年产量的函数的函数21400( )2

46、80000QQRR Q 0400Q 400Q 问每年消费多少产品时总利润最大问每年消费多少产品时总利润最大?此时总利润是多少此时总利润是多少?从而可得总利润函数为从而可得总利润函数为()()()LL QR QC Q 21300200000400260000100400QQQQQ R R前页前页结束结束后页后页 ( )( )( )L QR QC Q3000400100400QQQ 令令 得得0() L300Q 由于由于 ,故故 时利润最大时利润最大01)300( L300Q 此时此时2500020000900002190000)300( L 即当消费量为即当消费量为300个单位时个单位时, 总利

47、润最大总利润最大,其最大其最大利润为利润为25000元元.前页前页结束结束后页后页 设某企业某种产品的消费量为设某企业某种产品的消费量为 个单位个单位, , 代表总本代表总本钱钱, , 代表边沿本钱代表边沿本钱, ,每单位产品的平均本钱为每单位产品的平均本钱为 在消费实际中在消费实际中, ,经常遇到这样的问题经常遇到这样的问题, ,即在既定的消费规即在既定的消费规模条件下模条件下, ,如何合理安排消费能使本钱最低如何合理安排消费能使本钱最低, ,利润最大利润最大? ? Q4 4本钱最低的消费量问题本钱最低的消费量问题( )C Q( )C Q ( )C QCQ 于是于是( )( )( )C QC

48、 QQC Q由极值存在的必要条件知，使平均本钱为极小的消费量由极值存在的必要条件知，使平均本钱为极小的消费量应满足应满足 , ,于是得到一个经济学中的重要结论于是得到一个经济学中的重要结论: : 0Q0()0C Q 使平均本钱为最小的消费程度消费量使平均本钱为最小的消费程度消费量 ，正是使，正是使边沿本钱等于平均本钱的消费程度消费量。边沿本钱等于平均本钱的消费程度消费量。0Q前页前页结束结束后页后页 2( )54186C QQQ 例例7 设某产品的本钱函数为设某产品的本钱函数为 试求使平均本钱最小的产量程度。试求使平均本钱最小的产量程度。 解解 平均本钱平均本钱 ( )54( )186C QC

49、 QQQQ( )6 ,254C QQ 3108( )CQQ 令令 解得解得( )0C Q 3Q ,由于由于27108)3( C所以所以 是平均本钱是平均本钱 的最小值点也就是的最小值点也就是平均本钱最小的产量程度平均本钱最小的产量程度 3Q ( )C Q此时此时 )3(54)3(CC 即即 时时,边沿本钱等于平均本钱也使平均本钱到达最小边沿本钱等于平均本钱也使平均本钱到达最小. 3Q 前页前页结束结束后页后页 5 5库存管理问题库存管理问题 在总需求一定的条件下，企业所需原资料的订购费用与在总需求一定的条件下，企业所需原资料的订购费用与保管费用是成反比的。保管费用是成反比的。 订购批量大订购批

50、量大,次数少次数少,费用就小费用就小,保管费用就相应添加；保管费用就相应添加； 订购批量小订购批量小,次数多次数多,费用就大费用就大,保管费用就相对较少。保管费用就相对较少。 因此就有一个如何确定订购批量使总费用最少的问题。因此就有一个如何确定订购批量使总费用最少的问题。下面我们只研讨等批量等间隔进货的情况，它是指某种下面我们只研讨等批量等间隔进货的情况，它是指某种物资的库存量下降到零时，随即到货，库存量由零恢复物资的库存量下降到零时，随即到货，库存量由零恢复到最高库存，每天保证等量供应消费需求，使之不发生到最高库存，每天保证等量供应消费需求，使之不发生缺货。缺货。前页前页结束结束后页后页 Q

51、RQ1C RQ假设某企业某种物资的年需用量为假设某企业某种物资的年需用量为R,单价为单价为P,平均一次平均一次因此订货费用为因此订货费用为2 2保管费用保管费用 在进货周期内都是初始最大，最终为零，在进货周期内都是初始最大，最终为零，订货费用为订货费用为C1 ，年保管费用率即保管费用与库存商品价，年保管费用率即保管费用与库存商品价值之比为，订货批量为值之比为，订货批量为 ，进货周期两次进，进货周期两次进货间隔货间隔)，进货周期，那么年总费用由两部分组成：，进货周期，那么年总费用由两部分组成：)订货费用每次订货费用为订货费用每次订货费用为1，年订货次数为，年订货次数为所以全年每天平均库存量为，故

52、保管费用为所以全年每天平均库存量为，故保管费用为 2Q212QPC于是总费用于是总费用1212C RCQPCQ故可用求最值法求得最优订购批量故可用求最值法求得最优订购批量 ， 最优订购次数最优订购次数*RQ以及最优进货周期以及最优进货周期 ，此时总费用最小。，此时总费用最小。*Q前页前页结束结束后页后页解解 设最优订购批量为那么订购次数为设最优订购批量为那么订购次数为 Q例例8 8 某种物资一年需用量为某种物资一年需用量为2400024000件，每件价钱为件，每件价钱为4040元，元，年保管费率年保管费率12%,12%,为，每次订购费用为为，每次订购费用为6464元，试求最优订购元，试求最优订

53、购批量最优订购次数，最优进货周期和最小总费用假设产批量最优订购次数，最优进货周期和最小总费用假设产品的销售是均匀的品的销售是均匀的24000Q于是订货费用为于是订货费用为2400064Q ，保管费用为，保管费用为 140 0.122Q从而总费用从而总费用 240001( )6440 0.122CC QQQ26424000()20 0.12C QQ 32 6424000( )CQQ 前页前页结束结束后页后页 0)800( C又由于又由于于是当于是当件时总费用最低，从而件时总费用最低，从而800Q 最优订货批量最优订货批量 ( (件件/ /批批) ) *800Q 最优订货批次最优订货批次 ( (批

54、批/ /年年) ) 3080024000 最优进货周期最优进货周期 ( (天天)()(全年按全年按360360天计天计) ) 1230360 最小进货总费用最小进货总费用 ( (元元) ) 3840)800(min CC令令 得得 (件件/批批) ( )0C Q 642400080020 0.12Q 前页前页结束结束后页后页3.5.2 3.5.2 函数的相对变化率函数的相对变化率函数的弹性函数的弹性1 1、弹性、弹性定义定义2 2 设函数设函数)(xfy 在点在点0 x)()()(0000 xfxfxxfyy 与自变量的相对改动量与自变量的相对改动量0 xx 之比之比00 xxyy 称为函数从

55、称为函数从0 xx 到到xxx 0当当时，时，的极限称为的极限称为)(xf在在导数，也就是相对变化率，或称弹性。导数，也就是相对变化率，或称弹性。两点间的相对变化率，两点间的相对变化率，0 x00 xxyy 0 xx 或称两点间的弹性或称两点间的弹性处的相对处的相对记作记作 00)(;0ExxEfExEyxx 处可导处可导,函数的相对改动量函数的相对改动量前页前页结束结束后页后页是是 的函数的函数,假设假设 可可导导 即即000lim0 xxyyExEyxxx 000limyxxyx )()(000 xfxxf 0 x0 xxExEy 为定值。为定值。对普通的对普通的x)(xfxxyyExEyx 0limyxxyx 0limyxy x)(xf的弹性函数。的弹性函数。函数函数 在点在点 的弹性的弹性 反映了随着反映了随着 的变化的变化)(xf)(xfExEx 变化幅度的大小变化幅度的大小,也就是也就是 随随 变化反映的剧烈变化反映的剧烈列程度或灵敏度列程度或灵敏度.)(0 xfExE表示在表示在 ,当当 产生产生1%的变化时的变化时, 近似的近似的称为称为当当为定值时为定值时那么有那么有改动改动%)(0 xfExE0 xx xx)(xfx)(xf)(xf前