281锐角三角函数 (2)

1、意大利比萨尔塔在1350年落成时就已倾斜，其塔顶离中心偏离垂直中心线2.1m，1972年比萨地区发生地震，这座高54.5m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2m，而且还以每年增加1cm的速度继续倾斜，随时都有倒塌的危险。为此，意大利当局从1990年起对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，使塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8cm。 如果要你根据上述信息，用“塔身中心线与垂直中心线所成的角（如图）“来描述比萨斜塔的倾斜程度，你能完成吗？ 从数学角度看，上述问题就是：已知直角三角形的某些边长，求其锐角的度数，对于直角三角形，我们知道三边之间的关系和两个

2、锐角之间的关系，但我们不知道”边角之间的关系“，因此，这一问题的解答需要学习新的知识。塔身中心线垂直中心线 AB1 C1 CB想一想想一想(1)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三角和直角三角 形形ABC有什么关系有什么关系?(2) 和和 , 和和 , 和和 有什么关系有什么关系? (3)如果梯子的倾斜角不变，如果梯子的倾斜角不变，只改变只改变B在梯子上的位置呢在梯子上的位置呢?BCAB111B CABACAB11ACABBCAC111B CAC AB1 C1 CB想一想想一想(1)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三角和直角三角 形形ABC有什么关系有什么关系?(2) 和和 , 和和 ,

3、 和和 有什么关系有什么关系?(3)如果梯子的倾斜角不变，如果梯子的倾斜角不变，只改变只改变B在梯子上的位置呢在梯子上的位置呢?BCAB111B CABACAB11ACAB111B CACBCAC AB1 C1 CB想一想想一想(1)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三角和直角三角 形形ABC有什么关系有什么关系?(2) 和和 , 和和 , 和和 有什么关系有什么关系?(3)如果梯子的倾斜角不变，如果梯子的倾斜角不变，只改变只改变B在梯子上的位置呢在梯子上的位置呢?BCAB111B CABACAB11ACAB111B CACBCAC AB1 C1 CB想一想想一想(1)直角三角形直角三角形A

4、B1C1和直角三角和直角三角 形形ABC有什么关系有什么关系?(2) 和和 , 和和 , 和和 有什么关系有什么关系?(3)如果梯子的倾斜角不变，如果梯子的倾斜角不变，只改变只改变B在梯子上的位置呢在梯子上的位置呢?BCAB111B CABACAB11ACAB111B CACBCAC AB1 C1 CB想一想想一想(1)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三角和直角三角 形形ABC有什么关系有什么关系?(2) 和和 , 和和 , 和和 有什么关系有什么关系?(3)如果梯子的倾斜角不变，如果梯子的倾斜角不变，只改变只改变B在梯子上的位置呢在梯子上的位置呢?BCAB111B CABACAB11AC

5、AB111B CACBCAC 结论：由相似三角形的性质得，只要结论：由相似三角形的性质得，只要A不变，那不变，那么都有：么都有：BCAB111B CABACAB11ACABBCAC111B CAC=ABB1CC1 即在直角三角形中，当锐角即在直角三角形中，当锐角A取一定度数时，不管三角形的大取一定度数时，不管三角形的大小如何，小如何，A的对边与斜边的比是的对边与斜边的比是一个固定值，叫做一个固定值，叫做A的正弦，记的正弦，记作作sinA；邻边与斜边的比是一个；邻边与斜边的比是一个固定值，叫做固定值，叫做A的余弦，记作的余弦，记作cosA；对边与邻边的比是一个固；对边与邻边的比是一个固定值，叫做

6、定值，叫做A的正切，记作的正切，记作tanA。 AB CAA的的对边对边AA的的邻边邻边AA的的对边对边AA的的邻边邻边tanAcosAAA的邻边的邻边AA的对边的对边斜边斜边sinA斜边斜边斜边斜边1。锐角锐角A A的正弦、余弦、和正切叫做的正弦、余弦、和正切叫做A A的的锐角锐角三角函数三角函数2。锐角的锐角的三角函数三角函数的值都是正实数，并且的值都是正实数，并且 0sin 1 1，0cos1 ，定定义义注意：注意：三角三角函数的函数的定义，定义，必须在必须在直角三角形直角三角形中中. . AB C例例1 如图如图,在在RtABC中中,C=90C=90AB=5,BC=3, 求求A, B的

7、正弦的正弦,余弦和正切余弦和正切. 观察以上计算结果观察以上计算结果,你发现了什么你发现了什么?若若AC=5,BC=3呢呢?解：在解：在RtABC中中,4352222BCABAC因此因此43tan54cos53sinAAA34tan53cos54sinBBB1tantansincoscossinBABABA例例2 2 如图如图: :在在RtRtABCABC中中,B=90,B=900 0,AC=200,sinA=0.6.,AC=200,sinA=0.6.求求:BC:BC的长的长. .200ACB解：解：12060200sinsinAACBCACBCA1.1.如图如图: :在在等腰等腰ABCABC

8、中中,AB=AC=5,BC=6.,AB=AC=5,BC=6.求求: sinB,cosB,tanB: sinB,cosB,tanB. .解：过点解：过点A作作AD垂直于垂直于BC于于D.556ABCDAB=AC=5 BD=1/2BC=3在在RtABD中中4352222BDABAD34tan,53cos,54sinBBB.54sinA2.2.在在RtRtABCABC中中,C=90,C=900 0,BC=20,BC=20,求求:ABC的周长的周长.ABC解：解：152025255420sinsin2222BCABACABCABABBCA因此，因此，ABC的周长的周长=25+20+15=60w3.如图

9、,在RtABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（ ）wA.扩大100倍 B.缩小100倍 wC.不变 D.不能确定w4.已知A,B为锐角w(1)若A=B,则sinA sinB;w(2)若sinA=sinB,则A B.ABCC=5.5.如图, C=90C=90CDABCDAB. .6.在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA的值.ACBD.sinB( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )w7.7.如图,分别根据图(1)和图(2)求A的三个三角函数值. .w8.在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90, , (1)AC=(1)AC=3 3,AB=,AB=6 6,

10、 ,求求sinAsinA和和cosBcosB(2)BC=3,sinA= ,(2)BC=3,sinA= ,求求ACAC和和ABAB.w老师提示:w求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.ACB34ACB34(1)(2)135谈谈今天的收获谈谈今天的收获 AB CAA的的对边对边AA的的邻边邻边AA的的对边对边AA的的邻边邻边tanAcosAAA的邻边的邻边AA的对边的对边斜边斜边sinA斜边斜边斜边斜边定定义义回味无穷 定义定义中应该注意的几个问题中应该注意的几个问题: :w 1.sinA,cosA,tanA, 1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的是在直角三角形中定义的, , AA是锐角是锐角( (注意数形结合注意数形结合, ,构造直角三角形构造直角三角形).).w 2.sinA,cosA,tanA, 2.sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号是一个完整的符号, ,表示表示AAw 的正切的正切, ,习惯省去习惯省去“”号；号；w 3.sinA,cosA,tanA, 3.sinA,cosA,tanA, 是一个比值是一个比值. .注意比的顺序注意比的顺序, ,w 且且sinA,cosA,tanAsinA,cosA,tanA, , 均均0,0,无单位无单位. .