高数中需要掌握证明过程的定理

1、高数中的重要定理与公式及其证明（一）考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。应深受大家敬佩的静水深流力邀，也为了方便各位师弟师妹复习，不才凭借自己对考研数学的一点了解，总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，从长远来看都是应当熟练掌握的。由于

2、水平有限，总结不是很全面，但大家在复习之初，先掌握这些公式定理证明过程是必要的。1）泰勒公式（皮亚诺余项）设函数f(x)在点x0处存在n阶导数，则在x0的某一邻域内成立f(x)=f(x0)+(xx0)f'(x0(xx0)+2!2f''(x0(xx0)+.+n!nnf(n)(x0)+o(xx0)【点评】：泰勒公式在计算极限、高阶导数及证明题中有很重要的应用。对于它们，我们首要的任务是记住常见函数（sinx,cosx,ln(1+x),ex,(1+x)a）在x=0处的泰勒公式，并能利用它们计算其它一些简单函数的泰勒公式，然后在解题过程中加以应用。在复习的前期，如果基础不是很好

3、的话，两种不同形式的泰勒公式的证明可以先不看。但由于证明过程中所用到的方法还是很常用的。因此把它写在这里。证明：2nxxxx()()00'''(n)令R(x)=f(x)f(x0)+(xx0)f(x0)+f(x0)+.+f(x0)2!n!n则我们要证明R(x)=o(xx0)。由高阶无穷小量的定义可知，需要证明limR(x)xx0(xx0)n=0。这个极限式的分子分母都趋于零，并且都是可导的，因此用洛必达法则得n1'xx0)(''(n)f(x)f(x0)+(xx0)f(x0)+.+f(x0)n1!=limn1xx0n(xx0)'xx0limR

4、(x)(xx0)n再次注意到该极限式的分子分母仍趋于零，并且也都是可导的，因此可以再次运用洛必达法则。不难验证该过程可以一直进行下去，运用过n1次洛必达法则后我们可以得到xx0limR(x)(xx0)nf(n1)(x)f(n1)(x0)(xx0)f(n)(x0)=limxx0n!xx0f(n1)(x)f(n1)(x0)f(n)(x0)=limxx0n!xx0n!f(n1)(x)f(n1)(x0)由于f(x)在点x0处存在n阶导数，由导数的定义可知lim=f(n)(x0)xx0xx0代入可得limR(x)xx0(xx0)n=0。证毕注：这个定理很容易得到如下错误的证明：直接用n次洛必达法则后得到

5、xx0limR(x)(xx0)n=limf(n)(x)f(n)(x0)=0xx0错误的原因在于定理条件中仅告知了f(x)在点x0处存在n阶导数，并没有说明在其它点处的n阶导数是否存在。就算其它点处的n阶导数也存在，f(n)(x)也不一定连续，xx0limf(n)(x)f(n)(x0)=0也不一定成立。希望大家注意。2）泰勒公式（拉格朗日余项）设函数f(x)含有点x0的某个开区间(a,b)内有直到n+1阶导数，则对(a,b)内任意一点x，都成立f(x)=f(x0)+(xx0)f(x0'(xx0)+2!2f(x0''(xx0)+.+n!nf(n)(x0)+Rn(x)xx0)

6、(其中R(x)=nn+1(n+1)!f(n+1)()，其中介于x和x0之间。【点评】：同上。证明：2nxxxx()()00'''(n)令R(x)=f(x)f(x0)+(xx0)f(x0)+f(x0)+.+f(x0)2!n!Pn+1(x)=(xx0)n+1R(x)f(n+1)()则我们需要证明。=Pn+1(x)(n+1)!由于R(x0)=Pn+1(x0)=0，因此R(x)R(x0)R(x)=Pn+1(x)Pn+1(x)Pn+1(x0)易知，R(x),Pn+1(x)满足柯西中值的条件。因此，由柯西中值定理可知，在x和x0之间存R(x)R(x0)R'(1)R'

7、(1)在一点1使得='=Pn+1(x)Pn+1(x0)Pn+1(1)n+1Pn(1)n1xx()0'''''(n)而R(x)=f(x)f(x0)+(xx0)f(x0)+.+f(x0)(n1)!因此，此时仍然有R'(x0)=Pn(x0)=0。R'(1)1R'(1)R'(x0)则=。n+1Pn(1)(n+1)Pn(1)Pn(x0)易知，R'(x),Pn(x)仍满足柯西中值的条件。因此，由柯西中值定理可知，在1和x0之间存1R'(1)R'(x0)1R''(2)R''

8、(2)在一点2使得=。n+1Pn(1)Pn(x0)(n+1)Pn'(2)n+1nPn1(2)由于1在x和x0之间，因此2也在x和x0之间。容易检验，上述过程可以一直进行下去，使用过n+1次柯西公式后即可得到R(x)f(n+1)()。=Pn+1(x)(n+1)!证毕注：在计算极限或确定无穷小量的阶时，一般用到皮亚诺余项的泰勒公式；在做证明题时用拉格朗日余项比较多。两种泰勒公式的条件是不同的，其中拉格朗日余项的条件更强，结论也更强。这两个定理的证明，如果基础不太好一时接受不了的话可以先跳过，到下一阶段再看。3）定积分中值定理设函数f(x)在区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一点

9、使得下式成立：baf(x)dx=f()(ba)【点评】：积分中值定理是定积分比较定理和闭区间上连续函数的介值定理的推论，它在是证明微积分基本定理的基础，在整个微积分中具有极大的理论意义。同时，证明题中对该定理的应用也比较常见，通常会和微分中值定理结合使用，考生首先应该熟记该定理的条件和结论。另外，考试中还出现过与该定理证明方法类似的证明题。因此，该定理的证明过程也是需要掌握的。该定理的证明过程教材上有，因为比较重要，也为了方便大家，在这里写一下我的证明过程证明：由于f(x)在区间a,b上连续，由闭区间上连续函数的最值定理可知：f(x)在区间a,b上可以取到最大与最小值。设最大值为M，最小值为m

10、。则有mf(x)M,xa,b。则有bamdxf(x)dxMdx，也即m(ba)f(x)dxM(ba)aaababbb两边同时除以(ba)可得m可知baf(x)dxbaM。f(x)dxba是介于函数f(x)在区间a,b上的最大值M和最小值为m之间的一个数。由闭区间上连续函数的介值定理可知，f(x)能取到m,M上的一切数。因此在积分区间a,b上存在一点使得：f()=也即baf(x)dxba。baf(x)dx=f()(ba)。证毕附：下面是02年数三的一道证明题，证明方法与本定理很类似，大家可以试一试。【02年数三6分】：设函数f(x),g(x)在a,b上连续，且g(x)>0。试利用闭区间上连

11、续函数的性质，证明存在一点a,b，使得baf(x)g(x)dx=f()g(x)dx。ab4）积分上限函数的导数如果函数f(x)在区间a,b上连续，则变积分上限函数(x)=并且它的导数是xaf(t)dt在a,b上可导，'(x)=dxf(t)dt=f(x),a<x<badx【点评】：这个定理的重要性不用强调了，考试中也直接考到过它的证明。由于是对定理的证明，因此要证明(x)的导数等于f(x)只能用定义，对于大家强化导数的定义是一个很好的训练。证明：x(a,b)由导数的定义可知，本定理等价于证明lim(x+x)(x)=f(x)。x0xxa(x+x)(x)而lim=limax0x0

12、xx+xf(t)dtf(t)dtx=limx0x+xxf(t)dtx由于f(x)在区间a,b上连续，因此由定积分中值定理可知：存在介于x与x+x之间的使得x+xxf(t)dt=xf()，则lim(x+x)(x)=limf()。x0x0x由于介于x与x+x之间，因此当x0时，x。又由于f(x)在区间a,b上连续，可知limf()=limf()=f(x)。x00(x+x)(x)=f(x)。x0xdx由导数的定义可知'(x)=f(t)dt=f(x),a<x<b。adx也即lim证毕5）牛顿莱布尼兹公式如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原函数，则baf(x)dx

13、=F(b)F(a)【点评】：牛顿-莱布尼兹公式又名微积分基本定理，是因为它用一个简单的公式就成功地联系起了微积分中最重要的两个概念：微分和积分，极大地简化了定积分的计算。它是微积分最核心的定理之一，其简洁明了的形式也使它被认为是微积分几百年研究历史中最漂亮的结论之一！该定理和上一个定理实际上是等价的，只需要用到一个函数在同一区间上的不同原函数间仅相差一个常数。大家不妨自己推证。6）柯西施瓦兹不等式设函数f(x),g(x)都在区间a,b上可积且平方可积（注意：这里没有说连续），bbb则有f(x)g(x)dxf2(x)dxg2(x)dxaaa2【点评】：这个公式是教材上的习题，在考试时可以直接用。

14、该公式在f(x),g(x)连续时也成立，但证明方法有区别，通过这个例子可以说明应用牛顿莱布尼兹公式时检验被积函数是否连续的重要性。证明：xxx法一：令F(x)=f(t)g(t)dtf2(t)dtg2(t)dt,xa,baaa2则F(a)=0。而F'(x)=2f(x)g(x)f(t)g(t)dtf2(x)g2(t)dtg2(x)f2(t)dtaaaxxx=2f(x)g(x)f(t)g(t)f2(x)g2(t)g2(x)f2(t)dtax=xaf(x)g(t)g(x)f(t)dt02因此F(x)在区间a,b上单调递减。则有F(b)F(a)=0。整理即得所需不等式。证毕注：就本题来说，这个证

15、明过程是错的。因为本题没有说f(x),g(x)连续，因此不能用变上限积分求导公式，也就是说对F'(x)的计算是不合法的。把这个证明过程放在这里是因为在考研范围内我们遇到的函数大多是连续的，而且利用函数单调性的方法在积分不等式的证明中也是很有代表性的。法二：易知，tR，有将括号打开可得b2f(x)+tg(x)dx0。a2bf(x)+tg(x)adx=t2bag(x)dx+2tf(x)g(x)dx+f2(x)dxaa2bb将该式看作变量t的二次函数，h(t)。可知，h(t)0对任意的实数t都成立。由二次函数的相关理论可知，该二次函数的判别式小于或等于零bbb2也即2f(x)g(x)dx4g

16、(x)dxf2(x)dx0aaa2整理即得所需不等式。证毕注：由于这种证明方法所用到的条件比f(x),g(x)连续弱，因此当f(x),g(x)连续时，该证明过程也成立。但这个证明过程所用到的方法不具有代表性，大家了解一下即可。1）常用的极限ex1ax1(1+x)a1ln(1+x)1cosx1lim=1，lim=1，lim=lna，lim=a，lim=x0x0x0x0x0xxxxx22【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限lim(1+x)=e与x01xsinx=1的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本

17、的方法技x0x巧。证明：limln(1+x)ln(1+x)lim=1：由极限lim(1+x)x=e两边同时取对数即得lim=1。x0x0x0xx1ex1ln(1+x)lim=1：在等式lim=1中，令ln(1+x)=t，则x=et1。由于极限x0x0xx过程是x0，此时也有t0，因此有limt0t=1。极限的值与取极限的符号te1ex1是无关的，因此我们可以吧式中的t换成x，再取倒数即得lim=1。x0xax1ax1exlna1利用对数恒等式得lim，再利用第二个极限可lim=lna：=limx0x0x0xxxexlna1exlna1ax1得lim=lnalim=lna。因此有lim=lna。

18、x0x0x0xxlnax(1+x)a1lim=a：利用对数恒等式得x0x(1+x)a1ealn(1+x)1ealn(1+x)1ln(1+x)ealn(1+x)1ln(1+x)lim=lim=alim=alimlim=ax0x0x0aln(1+x)x0aln(1+x)x0xxxx上式中同时用到了第一个和第二个极限。xx2sinsin1cosx11cosx=1lim=1。：利用倍角公式得lim=lim=limx0x0x0x22x2x22x022222）导数与微分的四则运算法则(u±v)'=u'±v', d(u±v)=du±dv(uv)

19、'=u'v+uv', d(uv)=vdu+udvu'vu'uv'uvduudv()=,)=(v0)22vvvv【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。3）链式法则设y=f(u),u=(x)，如果(x)在x处可导，且f(u)在对应的u=(x)处可导，则复合函数y=f(x)在x处可导可导，且有：f(x)=【点评】：同上。4）反函数求导法则'f'(u)'(

20、x)或dydydu=dxdudx设函数y=f(x)在点x的某领域内连续，在点x0处可导且f'(x)0，并令其反函数为x=g(y)，且x0所对应的y的值为y0，则有：11dx1=或=''f(x0)f(g(y0)dydx【点评】：同上。5）常见函数的导数g'(y0)=(x)=x(sinx)(lnx)x''''1，'=cosx，(cosx)=sinx，11'，(logax)=，xxlnax=(e)=e，(ax)=exlna'【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。实际上，掌握这几个公式的证明

21、过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对极限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明。证明：f(x+x)f(x)'1'x=x：导数的定义是f(x)=lim，代入该公式得()x0xxx(1+)1(1+)1'(x+x)x=x=x1lim=x1。最后一(x)=limx0x0xxx(1+x)a1步用到了极限lim=a。注意，这里的推导过程仅适用于x0的情形。x0xx=0的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。sin(x+x)sinx，由和差化积公式得x0xxx2cos(x+)sinsin(x+x)sinx=cosx。(cosx)'=sinx的证明类l

22、im=limx0x0xx似。(sinx)'=cosx：利用导数定义(sinx)=lim'ln(x+x)lnx1'：利用导数定义(lnx)=lim=limx0x0xx1lnx'logx=的证明类似（利用换底公式logx=）。(a)axlnalna(lnx)='ln(1+x=1。xx(e)=ex'x：利用导数定义(ex')x'e(x+x)ex1xxe=lim=lime=e。(ax)=exlna的x0x0xx证明类似（利用对数恒等式ax=exlna）。6）定积分比较定理如果在区间a,b上恒有f(x)0，则有f(x)dx0ab推论：如果在

23、区间a,b上恒有f(x)g(x)，则有f(x)dxg(x)dx；aabb设M和m是函数f(x)在区间a,b上的最大值与最小值，则有：m(ba)f(x)dxM(ba)ab【点评】：定积分比较定理在解题时应用比较广，定积分中值定理也是它的推论。掌握其证明过程，对理解及应用该定理很有帮助。具体的证明过程教材上有。7）定积分中值定理设函数f(x)在区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一点使得下式成立：baf(x)dx=f()(ba)【点评】：微积分的两大中值定理之一，定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论，在证明题中有重要的作用。考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的题目，重要性不严而喻。

24、具体证明过程见教材。8）变上限积分求导定理如果函数f(x)在区间a,b上连续，则积分上限的函数(x)=f(x)dx在a,b上ax可导，并且它的导数是dx'(x)=f(x)dx=f(x),axbdxa设函数F(x)=u(x)v(x)f(t)dt，则有F'(x)=f(u(x)u'(x)f(v(x)v'(x)。【点评】：不说了，考试直接就考过该定理的证明。具体证明过程见教材。9）牛顿-莱布尼兹公式如果函数f(x)在区间a,b上连续，则有f(x)dx=F(b)F(a)，其中F(x)是abf(x)的原函数。【点评】：微积分中最核心的定理，计算定积分的基础，变上限积分求导定

25、理的推论。具体证明过程见教材。10）费马引理：设函数f(x)在点x0的某领域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的xU(x0)，有f(x0)f(x)或f(x0)f(x)，那么f'(x0)=0【点评】：费马引理是罗尔定理的基础，其证明过程中用到了极限的保号性，是很重要的思想方法。具体证明过程见教材。11）罗尔定理：如果函数f(x)满足（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间(a,b)上可导（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)那么在(a,b)内至少存在一点(a<<b)，使得f'()=0。【点评】：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一

26、脉相承的三大定理；它们从形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但实际上却是相互蕴含，可以相互推导的。这几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主要的证明方法。中值定理的证明是高数中的难点，一定要多加注意。具体证明过程见教材。12）拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间(a,b)上可导那么在(a,b)内至少存在一点(a<<b)，使得f'()=【点评】：同上。13）柯西中值定理：如果函数f(x)和g(x)满足（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间(a,b)上可导f(b)f(a)。baf'()f(b)f(a)那么

27、在(a,b)内至少存在一点(a<<b)，使得'。【点评】：同=g()g(b)g(a)上。14）单调性定理：设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导。如果在(a,b)上有f'(x)>0，那么函数f(x)在a,b上单调递增。如果在(a,b)上有f'(x)<0，那么函数f(x)在a,b上单调递减。【点评】：这个定理利用导数与切线斜率的关系很容易理解，但实际证明中却不能用图形来解释，需要更严密的证明过程。证明：仅证明f'(x)>0的情形，f'(x)<0的情形类似。x1,x2(a,b)，假定x1>x2则利用拉个朗日

28、中值定理可得，(x2,x2)使得f(x1)f(x2)=f'()(x1x2)由于f'()>0，因此f(x1)f(x2)>0。由x1,x2的任意性，可知函数f(x)在a,b上单调递增。14）(极值第一充分条件)设函数f(x)在x0处连续，并在x0的某去心邻域U(x0,)内可导。）若x(x0,x0)时，f'(x)>0,而x(x0,x0+)时，f'(x)<0,则f(x)在x0处取得极大值）若x(x0,x0)时，f'(x)<0,而x(x0,x0+)时，f'(x)>0,则f(x)在x0处取得极小值；）若xU(x0,)时，f

29、'(x)符号保持不变，则f(x)在x0处没有极值；【点评】：单调性定理的推论，具体证明过程见教材。15）(极值第二充分条件)设函数f(x)在x0处存在二阶导数且f'(x0)=0，那么）若f''(x0)>0,则f(x)在x0处取得极小值；）若f''(x0)<0,则f(x)在x0处取得极大值。【点评】：这个定理是判断极值点最常用的方法，证明过程需要用到泰勒公式。证明：仅证明f''(x0)>0,的情形，f''(x0)<0,的情形类似。由于f(x)在x0处存在二阶导数，由带皮亚诺余项的泰勒公式得。在

30、x0的某领域内成立f(x)=f(x0)+f'(x0)(xx0)+f''(x0)由于f'(x0)=0，因此(xx0)222+o(xx0)f(x)=f(x0)+f''(x0)(xx0)2+o2xx0)(22''oxx()02f(x0)=f(x0)+(xx0)+22(xx0)2''o(xx0)fx0)(由高阶无穷小的定义可知，当xx0时，有又由于0，>0，22(xx0)2oxx()0f(x0)>0。因此在x0的某领域内成立+2(xx0)2''2''oxx()02f(x0)>

31、;fx。进一步，我们有f(x0)+(xx0)+(0)22(xx0)也即，在x0的某领域内成立f(x)>f(x0)。由极值点的定义可知f(x)在x0处取得极小值。16）洛必达法则f'(x)设函数f(x),g(x)在x=a的空心邻域内可导，g(x)0，且lim'=Axag(x)'则有limxaf(x)=A，其中A可以是有限数，也可以是+,。g(x)【点评】：洛必达法则是计算极限时最常用的方法，但它的证明却很少有人关注。洛必达法则是拉格朗日中值定理的推论，证明过程比较简单，也是一个潜在的考点，需要引起注意。具体证明过程见教材。1）泰勒公式（皮亚诺余项）设函数f(x)在点

32、x0处存在n阶导数，则在x0的某一邻域内成立f(x)=f(x0)+(xx0)f'(x0xx0)()+2!2f''(x0xx0)()+.+n!nnf(n)(x0)+o(xx0)【点评】：泰勒公式在计算极限、高阶导数及证明题中有很重要的应用。对于它们，我们首要的任务是记住常见函数（sinx,cosx,ln(1+x),ex,(1+x)a）在x=0处的泰勒公式，并能利用它们计算其它一些简单函数的泰勒公式，然后在解题过程中加以应用。在复习的前期，如果基础不是很好的话，两种不同形式的泰勒公式的证明可以先不看。但由于证明过程中所用到的方法还是很常用的。因此把它写在这里。证明：2nxx

33、xx()()00'''(n)令R(x)=f(x)f(x0)+(xx0)f(x0)+f(x0)+.+f(x0)2!n!n则我们要证明R(x)=o(xx0)。由高阶无穷小量的定义可知，需要证明limR(x)xx0(xx0)n=0。这个极限式的分子分母都趋于零，并且都是可导的，因此用洛必达法则得n1xx()''''(n)0f(x)f(x0)+(xx0)f(x0)+.+f(x0)n1!=limn1xx0n(xx0)xx0limR(x)(xx0)n再次注意到该极限式的分子分母仍趋于零，并且也都是可导的，因此可以再次运用洛必达法则。不难验证该过程可以

34、一直进行下去，运用过n1次洛必达法则后我们可以得到xx0limR(x)(xx0)nf(n1)(x)f(n1)(x0)(xx0)f(n)(x0)=limxx0n!xx0f(n1)(x)f(n1)(x0)f(n)(x0)=limxx0n!xx0n!f(n1)(x)f(n1)(x0)由于f(x)在点x0处存在n阶导数，由导数的定义可知lim=f(n)(x0)xx0xx0代入可得limR(x)xx0(xx0)=0。证毕注：这个定理很容易得到如下错误的证明：直接用n次洛必达法则后得到xx0limR(x)(xx0)=limf(n)(x)f(n)(x0)=0xx0错误的原因在于定理条件中仅告知了f(x)在点

35、x0处存在n阶导数，并没有说明在其它点处的n阶导数是否存在。就算其它点处的n阶导数也存在，f(n)(x)也不一定连续，xx0limf(n)(x)f(n)(x0)=0也不一定成立。希望大家注意。2）泰勒公式（拉格朗日余项）设函数f(x)含有点x0的某个开区间(a,b)内有直到n+1阶导数，则对(a,b)内任意一点x，都成立f(x)=f(x0)+(xx0)f'(x0xx0)()+2!2f''(x0xx0)()+.+n!nf(n)(x0)+Rn(x)(xx0)其中R(x)=nn+1(n+1)!f(n+1)()，其中介于x和x0之间。【点评】：同上。证明：2nxxxx()()0

36、0'''(n)令R(x)=f(x)f(x0)+(xx0)f(x0)+f(x0)+.+f(x0)2!n!Pn+1(x)=(xx0)n+1R(x)f(n+1)()则我们需要证明。=Pn+1(x)(n+1)!由于R(x0)=Pn+1(x0)=0，因此R(x)R(x0)R(x)=Pn+1(x)Pn+1(x)Pn+1(x0)易知，R(x),Pn+1(x)满足柯西中值的条件。因此，由柯西中值定理可知，在x和x0之间存R(x)R(x0)R'(1)R'(1)在一点1使得='=Pn+1(x)Pn+1(x0)Pn+1(1)n+1Pn(1)n1xx()0'&#

37、39;'''(n)而R(x)=f(x)f(x0)+(xx0)f(x0)+.+f(x0)(n1)!因此，此时仍然有R'(x0)=Pn(x0)=0。R'(1)1R'(1)R'(x0)则=。n+1Pn(1)(n+1)Pn(1)Pn(x0)易知，R'(x),Pn(x)仍满足柯西中值的条件。因此，由柯西中值定理可知，在1和x0之间存1R'(1)R'(x0)1R''(2)R''(2)在一点2使得=。n+1Pn(1)Pn(x0)(n+1)Pn'(2)n+1nPn1(2)由于1在x和x0之间

38、，因此2也在x和x0之间。容易检验，上述过程可以一直进行下去，使用过n+1次柯西公式后即可得到R(x)f(n+1)()。=Pn+1(x)(n+1)!证毕注：在计算极限或确定无穷小量的阶时，一般用到皮亚诺余项的泰勒公式；在做证明题时用拉格朗日余项比较多。两种泰勒公式的条件是不同的，其中拉格朗日余项的条件更强，结论也更强。这两个定理的证明，如果基础不太好一时接受不了的话可以先跳过，到下一阶段再看。3）定积分中值定理设函数f(x)在区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一点使得下式成立：baf(x)dx=f()(ba)【点评】：积分中值定理是定积分比较定理和闭区间上连续函数的介值定理的推论，

39、它在是证明微积分基本定理的基础，在整个微积分中具有极大的理论意义。同时，证明题中对该定理的应用也比较常见，通常会和微分中值定理结合使用，考生首先应该熟记该定理的条件和结论。另外，考试中还出现过与该定理证明方法类似的证明题。因此，该定理的证明过程也是需要掌握的。该定理的证明过程教材上有，因为比较重要，也为了方便大家，在这里写一下我的证明过程证明：由于f(x)在区间a,b上连续，由闭区间上连续函数的最值定理可知：f(x)在区间a,b上可以取到最大与最小值。设最大值为M，最小值为m。则有mf(x)M,xa,b。则有bamdxf(x)dxMdx，也即m(ba)f(x)dxM(ba)aaababbb两边

40、同时除以(ba)可得m可知baf(x)dxbaM。f(x)dxba是介于函数f(x)在区间a,b上的最大值M和最小值为m之间的一个数。由闭区间上连续函数的介值定理可知，f(x)能取到m,M上的一切数。因此在积分区间a,b上存在一点使得：f()=也即baf(x)dxba。baf(x)dx=f()(ba)。证毕附：下面是02年数三的一道证明题，证明方法与本定理很类似，大家可以试一试。【02年数三6分】：设函数f(x),g(x)在a,b上连续，且g(x)>0。试利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点a,b，使得baf(x)g(x)dx=f()g(x)dx。ab4）积分上限函数的导数如果函数f(x)在区间a,b上连续，则变积分上限函数(x)=并且它的导数是xaf(t)dt在a,b上可导，'(x)=dxf(t)dt=f(x),a<x<badx【点评】：这个定理的重要性不用强调了，考试中也直接考到过它的证明。由于是对定理的证明，因此要证明(x)的导数等于f(x)只能用定义，对于大家强化导数的定义是一个很好的训练。证明：x(a,b)由导数的定义可知，本定理等价于证明