离散傅里叶级数.

1、1离散傅里叶级数及其性质离散傅里叶级数及其性质1.1离散傅里叶级数离散傅里叶级数(DFS)定义定义（周期序列）（周期序列）一个周期为一个周期为N的周期序列的周期序列可表示为：可表示为：但是可以用离散傅里叶级数，即用复指数的加权和但是可以用离散傅里叶级数，即用复指数的加权和表示表示用傅里叶级数表示，其基波频率为用傅里叶级数表示，其基波频率为2p p/N：用复指数表示基波：用复指数表示基波：第第k次谐波为：次谐波为：所以，第所以，第k次谐波也是周期为次谐波也是周期为N的序列。的序列。21jnNeep2jnkNkeep22()jn k NjnkNNk Nkeeeepp( )nnx n r 不满足不满

2、足，ZT不存在。不存在。2因此，对于离散傅里叶级数，只取下标从因此，对于离散傅里叶级数，只取下标从0到到N-1的的N个谐个谐波分量就足以表示原来的信号。这样可把离散傅里叶级波分量就足以表示原来的信号。这样可把离散傅里叶级数表示为数表示为式中，乘以系数式中，乘以系数1/N是为了下面计算的方便；是为了下面计算的方便；为为k次谐波的系数。次谐波的系数。将上式两边同乘以将上式两边同乘以并从并从n=0到到N-1求和，得到：求和，得到：3由复指数序列的正交性：由复指数序列的正交性：所以，所以，得到周期序列的离散傅里叶级数表达式：得到周期序列的离散傅里叶级数表达式：2221()()0()101NNNNjk

3、r njk r Nnjk rNkreekreppp 4令令则得到周期序列的离散傅里叶级数则得到周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对变换对n和和k均为离散变量。如果将均为离散变量。如果将n当作时间变量，当作时间变量，k当作频率当作频率变量，则第一式表示的是时域到频域的变换，称为变量，则第一式表示的是时域到频域的变换，称为DFS的正变换。第二式表示的是频域到时域的变换，称为的正变换。第二式表示的是频域到时域的变换，称为DFS的反变换。的反变换。由于由于故故是周期为是周期为N的离散周期信号。的离散周期信号。周期序列的信息可以用它在一个周期中的周期序列的信息可以用它在一个周期中的N个值来代表。个值

4、来代表。5DFS总结总结:( )X k( )x n%和和2.是是离散和周期性的，且周期均为离散和周期性的，且周期均为N； 5.DFS、IDFS具有唯一性具有唯一性.3.离散周期序列既可用离散周期序列既可用,也可用也可用表示；表示；( )x n%( )X k1.周期性时间信号的频谱是离散的，离散时间信号的频谱周期性时间信号的频谱是离散的，离散时间信号的频谱是周期性的；周期性离散时间信号的频谱为周期性离散是周期性的；周期性离散时间信号的频谱为周期性离散的；的；4.n为离散时间变量，理解为为离散时间变量，理解为nT；k是离散频率变量，理是离散频率变量，理解为解为kDwDw;华中科技大学电信系华中科技

5、大学电信系61.2离散傅里叶级数的性质离散傅里叶级数的性质1.线性线性设周期序列设周期序列和和的周期都为的周期都为N，且且若若则有则有2周期序列的移位周期序列的移位设设则则7证明证明证明：证明：10 ()()NnkNnDFS x nmx nm W%* 和和 都是以都是以N为周期的周期函数。为周期的周期函数。( )x n%mkNW10()Nk n mmkNNnx nm WW%1( )NmktmkNNtmx t W W %10( )( )NmknkmkNNNnWx n WWX k%( )X k, ,83周期卷积周期卷积设设和和都是周期为都是周期为N的周期序列，它们的的周期序列，它们的DFS系数分别

6、为系数分别为令令则则上式表示的是两个周期序列的卷积，称为上式表示的是两个周期序列的卷积，称为周期卷积周期卷积。两个周期为两个周期为N的序列的卷积的离散傅里叶级数的序列的卷积的离散傅里叶级数(DFS)等于等于它们各自它们各自DFS的乘积。的乘积。9周期卷积的计算：周期卷积的计算：周期卷积中的序列周期卷积中的序列和和对对m都是都是周期为周期为N的周期序列，它们的乘积对的周期序列，它们的乘积对m也是以也是以N为周期的，为周期的，周期卷积周期卷积仅在一个周期内求和仅在一个周期内求和。相乘和相加运算仅在相乘和相加运算仅在m=0到到N-1的区间内进行。计算的区间内进行。计算出出n=0到到N-1(一个周期一个周期)的结果后，再将其进行周期延的结果后，再将其进行周期延拓，就得到周期卷积拓，就得到周期卷积。详见周期卷积的过程。详见周期卷积的过程。周期卷积满足交换律周期卷积满足交换律两个周期序列的乘积两个周期序列的乘积的的DFS为：为：10返回返回13311周期卷积小结周期卷积小结:)(),(21mnxmx)(ny周期卷积的操作步骤与非周期序列的线性卷积相同，周期卷积的操作步骤与非周期序列的线性