第课向量及向量的加法和减法

1、第37课 向量及向量的加法和减法考试目标主词填空1. 向量的有关概念既有大小又有方向的量叫做向量向量的长度(模)是指向量的大小.平行向量(共线向量)的概念是方向相同或相反的非零向量.两向量相等的充要条件是同向等长.2. 向量的加、减法运算几何法：有三角形法则，平行四边形法则.坐标法，设a=(xi,yi), b=(x2,y2),则a+b=(X1x2 , yi ' y2 ),a-b=(xi -x2 , yi - y2 ).题型示例点津归纳【例1】下列情形中向量的终点各构成什么图形？(1) 把平面中一切单位向量归结到共同的始点；把空间中一切单位向量归结到共同的始点；把平行于某一平面的一切单位

2、向量归结到共同的始点；(4)把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点(在同一平面内).【解前点津】在(1),(2)中，始点到终点的距离是常量1,(3)是平面图形.【规范解答】(1)以始点为圆心的单位圆；(2)以始点为球心，半径为1的球面；(3)以始点为圆心且与已知平面平行的单位圆.(4)是以始点为间断点的一条直线【解后归纳】向量经平移后，不改变方向与大小，仅仅是“变更位置”而已【例2】(1)设ABCD-EFGH是一个平行六面体(如图(1)，在下列各对向量中，找出相等的向 量和互为反向量的向量 .AB ,CD AE ,CG :AC , EG ；AD ,GF ;® BG ,CH例2题图

3、(2) 设厶ABC和厶A' B ' C '分别是三棱台 ABCA' B' C'的上、下底面(如图(2)，试在 向量 AB、BC、Ca、AB 7BK ,CX , AA , BB ,中找出共线向量和共面向量 .【解前点津】对两个向量而言，不论处于何种位置，等长同向则相等；等长反向则互反.【规范解答】(1)相等向量有(2),(3),(5),互为反向量的有(1),(4).(2)共线向量有：AB与AB= , BC与BC , CA与C A ;下面一组向量是共面向量:AB , BC ,CA , A B , BC ,C A【解后归纳】正确理解有关概念是关键，如共

4、面向量，就是在空间中，对向量施行平移动作,使它们最后都落在同一平面内，那么这些向量就是共面向量【例3】平面内给定三个向量：a=(3,2), b=(-1,2), c=(4,1),解答下列问题.(1) 求 3 a+ b-2 c;(2) 求满足a=mb+nc的实数 m,n;(3) 若(a +kc)/ (2b-a),求实数 k;(4) 设 d=(x,y)满足(d-c) / (a+ b)且 |d-c|=1,求 d.【解前点津】直接运用坐标运算【规范解答】(1)3a+ b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2 (4,1)=(9,6)+(-1,2)+(-8,-2)=(9-1-8,6+2-2)=(0,6).由

5、条件得:(3,2)= m - (-1,2)+ n(4,1)=(-m+4n,2m+ n),Im +4 n =32m + n =2解之(3) / (a + kc) / (2b-a)又 a +kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 2X (3+4k)-(5) x (2+k)=0 解之:k=- 1613'(4) / d-c=(x-4,y-1),a + b=(2,4),又(d-c) / (a+b)且 |d-c|=1, 故得方程组"弓-2(y-)=0解之得jx 4) +(y 1) =1x=4心<5厂I彳用5x = 4 -y =1 -552 .55(20-45 5 _2

6、岛I 5，5丿【解后归纳】本题使用了两向量平行的充要条件a=(X1,y1),b=(X2,y2),贝V a / b二 X1y2-X2y1=0.:在向量式中:a / b：= a =入b.在坐标式中：设【例4】已知四边形 ABCD中，AB = a-2c,CD =5a+6 b-8c,对角线AC、BD的中点分别为E,F,求EF .【解前点津】 E、F是中点，FD + FB =0, EA + EC =0.利用向量加法的多边形法则可列出若干个等式，综合利用这些例4题图“讯息”，就能用a, b,c表示EF .【规范解答】由条件可得：EF + FD + DC +CE =0EF + FB + BA+ AE =05

7、 / 6 + 得：2 EF +( FD + FB )+ DC + BA +(CE + AE )=0. F,E是中点，FD + FB = CE + AE =0, 2 EF =-( DC + BA )= AB + CD ,1 1 EF = ( AB +CD )= (a-2c)+(5a+6b-8c) =3a+3b-5c.2 2【解后归纳】对任何图形而言，都有：ABi EB2 - B2B3BnjBn - BnB=AB.对应训练分阶提升一、基础夯实ABC中，已知BC=3BD,则AD等于 （）A. - (AC +2 AB )B. - ( AB +2 AC)3 311C.-(AC+3AB)D. ( AC +

8、2 AB )4 42.如果点M是厶ABC的重心，D、E、F分别为AB、BC、CA中点，那么MA MB MC等于 （）3.入、卩、丫 R，则入AB +BC +Y CA=0成立的充要条件是()A.| 入 1=1 卩 1=1 Y |B.入=1 =YC.入 + y =0D.入=i =Y =0A.6 MEB.-6 MFC.0D.6 MD4. 如果AB = a,CD = b,那么a=b是四点A、B、C、D构成平行四边形的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分又不必要条件5. 使等式|a+b|=|a|+|b|成立的充要条件是（）A.a/ b 且同向B.a=bC.a丄 bD.a、

9、b 中有 06已知 a=(1,2), b=(x,1),且 a+2 b与 2a-b 平行，则 x 等于A.1B.2C.；1D.-27.若向量 a=(1,1), b=(1,-1), c=(-1,2),贝U c 等于-31C. a- b2 2A. -1 a+3 bB.1 a-3b2 2 2 2( ),31D. a+ b2 28若a,b是不共线的两个向量，且AB =入 1a+b, AC =a + 入 2b,(入 1、入 2 R),则 A、B、C 三点共线的充要条件是A.入 1=入 2=-1B.入 1=入 2=1C.入 1 入 2+1=0D. 入 1 入 2-1=09已知平行四边形ABCD的两角对角线交

10、于点 E,设AB =e1, BC =e2,用e1,e2表示ED的表达式A.-1 eJ e2 2B.-1 e1+1 e22 2c 11C. e1- e22 2D. - e1+ - e2 295第9题图解10. 设 P(1,2),Q(0,3),R(7,-2),a = PQ ,b= PR ,则与 2a-b 同向的单位向量是A. -4,-B.兰,-3C.(2,1)D. Z 丄，一5(55丿155丿55丿二、思维激活11. 两个非零向量的模相等是两个向量相等的 条件.12. 已知 AB =4i+3j, BC =-i +j ,OC 与 AC 反向且 |OC|= |AC|,则点 C 的坐标是 3113. 已

11、知a=(6,2), b=(-4,-)，直线l过点A(3,-1)且与向量a+2b垂直，则直线l.214. 若向量 p=(2,-3), q=(1,2),a=(9,4),且 a=mp+nq,贝V m=,n=.三、能力提高15. 已知 a=(10,-4), b=(3,1), c=(-2,3),试用 b,c 表示 a.16. 设M是平行四边形 ABCD的中心，O是任意一点，证明：OA + OB+OC + OD=4OM .17. 用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半第1课 向量及向量的加法和减法习题解答1.A 由 AD = AB + BD 及 AD = AC + CB 得:

12、2 AD = AC + AB + BD + CD = AC + AB + CB3-1 一2 4=AC + AB +(CA+ AB )= AC + AB ，3、丿 331 故 AD =丄(AC +2 AB )32.C MA + MB + MC =( MB + BA)+ MB +( MB + BC )，-o -亠 =3 MB + BA+ BC =3 FB + BA + BC 3A=2( 1 AC + CB )+ BA+ BC = AC +CB + BA =0.3.D由条件：入(AC + CB )+ 卩 BC + y CA=(入-丫)AC+(卩-入) BC = 0=入-丫 =-入=0.4. B a,

13、b共线时充分性不成立.5. A6. D/ a+2b=(1+2x,4),2a-b=(2-x,3)= 3 - (1+2x)=4(2-x)解之:x=-.27.B令 c=x a+y b= c=(x+y,x-y)=(-1,2)=fx + y = -1x _y =2解之*冶B.32.D8.D 令 AB =x AC 则入 1a+b=x a+x 入 2b= x=入 1 且 x 入 2=1 =入 1 入 2=1.x9.B 如图所示 ED =EA+AD = -(CB+ BA)+ AD111(-e2-e“+ e2=-e1+e2224310. A/ PQ=(-1,1), PR =(6,-4), 2a-b=(-8,6)

14、=10 (-,).11. 必要不充分.12. 由已知 oc=-3ac,心-3（心©=-舟什引+（-i）+j: =-2嗚j故C坐标为（2 3）.13. 由条件得：a+2b=(-2,1),故 k=2,l 的方程为 y+1=2(x-3)即:2x-y-7=0.14.由2m + n =9"m =2_3m +2 n =4= 'n =5第16题图解15. 令 a =入 b+(1 c= (10,-4)=(3 入-2 卩，入 +3 卩) 故:a=2b-2 c.16. 证:T M是平行四边形 ABCD的中心, MA+ MC = 0, MB + MD =0.T OA=OM + MA ,OB = OM + MB ,OC = OM + MC ,OD = OM + MD将以上四个等式相加得：OA + OB + OC + OD =4 OM +( MA + MC )+( MB + MD )=4 OM .17. 证:如图所示，设E,F是梯形ABCD两腰的中点,nrt EF =ED +DC -+cf'则/ T k-!-EF =EA+AB +BF两式相加得：2 EF =( DC + AB )+( ED +