章末检测卷二

1、章末检测卷（二）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.由 1= 12,1 + 3 = 22,1 + 3 + 5 = 32,1 + 3 + 5 + 7 = 42,，得到 1+ 3+ , + （2 n 1） = n2用的是（ ）A. 归纳推理B.演绎推理C.类比推理D.特殊推理答案 A2在 ABC中, E、F分别为AB AC的中点，则有 EF/ BC这个问题的大前提为（）A. 三角形的中位线平行于第三边B. 三角形的中位线等于第三边的一半C. EF为中位线D. EF/ BC答案 A解析 这个三段论的推理形式是：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：ABC的中位线；结论：EF

2、/ BC3.对大于或等于2的自然数的正整数幕运算有如下分解方式：22= 1+ 332= 1+ 3+ 524 = 1+ 3+ 5 + 723= 3+ 533 = 7+ 9+ 1143= 13+ 15+ 17 + 19根据上述分解规律，若mi= 1 + 3+ 5 +, + 11, n3的分解中最小的正整数是 21,则m+ n=（）A. 10 B . 11 C . 12 D . 13答案 B2 1 + 11解析 I m= 1 + 3 + 5+ , + 11=X 6= 36, m= 6.33.2 = 3 + 5,3 = 7 + 9+ 11,34 = 13+ 15+ 17 + 19,3 5 = 21 +

3、 23+ 25 + 27+ 29,/ n3的分解中最小的数是 21,33- n = 5 , n= 5,. m+ n = 6 + 5= 11.4用反证法证明命题“2+ .3是无理数”时，假设正确的是 （）A. 假设.2是有理数B. 假设 .3是有理数C. 假设，2或.3是有理数D. 假设 2+3是有理数答案 D解析 应对结论进行否定，则，2+ 3不是无理数，即2+ .3是有理数.1112n5用数学归纟纳法证明1 +1 + 2 + i + 2+ 3 +，+ 1 + 2 + 3 +n = n+ 1 时，由 n= k至U n= k+1左边需要添加的项是()2 1A R k k+ 2k k+11 2C.

4、D.-k+1 k+ 2k+ 1 k+2答案 D解析 由n= k到n= k + 1时，左边需要添加的项是2(k + 1 厂(k+ 1 k+ 2故选D.6.已知 f(x + 1)=f x + 2'f (1) = 1(x N)，猜想f(x)的表达式为(A.B.C.1 x+2D.2x + 1答案B解析t,2f f1 22当 x= 1 时 f(2)= =-=当 x 1 时，f(2) f 1 + 2 3 2+ 1，1当x = 2时,f=聽=4当x = 3时,f(4)=二=2(4) f 3 + 25故可猜想f(x)= 一刍，故选B.x + 17已知 f (x + y) = f (x) + f(y)且

5、 f (1) = 2,则 f (1) + f(2) +, + f (n)不能等于()A. f (1) + 2f (1) + , + nf(1)B. f 咛)C. n( n+ 1)D.n n+ 12答案 C解析 f (x + y) = f (x) + f(y),令 x = y= 1,. f(2) = 2f(1),令 x = 1, y= 2, f(3) = f(1) + f (2) = 3f (1)?f(n) = nf(1), f(1) + f (2) +, + f(n) = (1 + 2+, + n)f (1)=驴(1). - A、D正确；又 f (1) + f(2) +, + f (n) =

6、f(1 + 2+, + n)=f 呼). B也正确，故选C.&对“ a, b, c是不全相等的正数”，给出下列判断： (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 丰 0; a= b与b= c及a= c中至少有一个成立； a c,c, a b不能同时成立.其中判断正确的个数为()A. 0 B . 1 C . 2 D . 3答案 B解析 若(a b)2 + (b c)2+ (c a) 2= 0,则a= b= c,与“a, b, c是不全相等的正数”矛盾， 故正确.a= b与b= c及a= c中最多只能有一个成立，故不正确.由于“a, b, c是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个

7、数相等或三个数都互不相等，故不正确.9我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体.下列几何体中，一定属于相似体的有()两个球体；两个长方体；两个正四面体；两个正三棱柱；两个正四棱椎.A. 4个B . 3个C . 2个D . 1个答案 C解析 类比相似形中的对应边成比例知，属于相似体.11“10 .数列an满足 a1= , an+1= 1 匚，贝U a2 013 等于()2anA. 2 B 1 c . 2 D . 3答案 C解析1an+ 1 = 1 -a2 = 1a;=1,1a3= 1ar2,1a4= 1 a312,-12 -11a5

8、= 1= 1, a6= 1= 2,a4a5- an+3k= an( n N , k N)- a2 013 = 33+ 3X670 = a3= 2.11.定义在R上的函数f(x)满足f( x) = f(x + 4)，且f(x)在(2 ,+s)上为增函数.已知X1 + X2<4 且(X1 2) ( X2 2)<0，贝U f(X1)+ f(X2)的值()A.恒小于0B.恒大于0D.可正也可负C.可能等于0答案 A解析 不妨设X1 2<0, X2 2>0,贝U X1<2, X2>2,. 2<X2<4 X1,f(X2)<f(4 xd，即f(X2)&g

9、t; f (4 xd ,从而一f (X2)> f (4 X1)= f (X1),f (X1) + f (X2)<0.12.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是()A. 4n + 2B. 4n 2C. 2n + 4D. 3n+ 3答案 A解析方法一(归纳猜想法)观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个，因此第n个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n项”.故第n个图案中有白色地面砖的块数是4n+ 2.方法二(特殊值代入排除法)或由图可知，当n= 1时，a1= 6，可排除B

10、答案当n = 2时，a2= 10,可排除C、D答案.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13 .从 1 = 12,2+ 3 + 4= 32,3 + 4 + 5+ 6+ 7= 52 中，可得到一般规律为 2 答案 n+(n+ 1) + (n+ 2) +, + (3n 2) = (2n 1)一Q解析 通过观察可以得规律为n+(n+ 1) + (n+ 2) +, + (3n 2) = (2n 1).14.观察下列等式：(1 + 1) = 2X12(2 + 1)(2 + 2) = 2 X 1X3(3 + 1)(3 + 2)(3 + 3) = 23x 1X 3X5照此规律，第n个等式可为

11、.答案(n+ 1)( n+ 2),( n+ n) = 2nx 1X 3X , X (2 n 1)解析 由已知的三个等式左边的变化规律，得第n个等式左边为(n+ 1)( n + 2),( n+ n)，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n个等式右边为2n与n个奇数之积，即 2nX 1X 3X , X (2 n 1).15.在平面几何中， ABC勺内角平分线CE分AB所成线段的比为AE ACEBC把这个结论类比到空间：在三棱锥 A BCD中 (如图所示)，面DEC平分二面角A CI B且与AB相交于E,则得到的类比的结论是答案AE Sa acdEh Sa BCD解析 CE平分/ ACB而面CDE平

12、分二面角A CD- BAE S ACD故结论为云=.EB Sa bcd.kkkk .、.16. 已知S= 1 + 2 + 3 + , + n ,当k = 1,2,3 ,时，观察下列等式:1 2 1s =尹+尹S2 = 1n3+ 2n2 + 6n326,1 21 41 31s=5n + 2 + 3n - 30n m6 + 2n + 12n+ Bn，可以推测，A- B=.1 答案141解析 由S, S, S3, S4, S5的特征，推测 A=7又各项的系数和为1,6151，111二 A+ 2+ 12+ 4 1，则 4-袒因此推测 A- B= 6 +12 = 4.三、解答题(本大题共6小题，共70分

13、)17. (10分)1 , - 3, 2能否为同一等差数列中的三项？说明理由.解 假设1,3, 2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d,则1 =3 md,2=3 + nd,m, n为两个正整数，消去 d得m= (3 + 1)n./ m为有理数，C 3 + 1) n为无理数， m( 3 + 1) n.假设不成立.即1 ,3, 2不可能为同一等差数列中的三项. 218. (12分)设a, b为实数，求证：a2 + b2"(a+ b).证明当a+ bw0时，“(a + b0, a2+ b2¥(a+ b)成立.当a+ b>0时，用分析法证明如下：要证 _

14、a2+ b2_22(a+ b),只需证(a + b)2> -2 a+ b 2,1 即证 a2 + b2> 2 a2 + b2 + 2ab)，即证 a2 + b2>2 ab./ a2 + b2>2ab对一切实数恒成立， ,a2+ b2_22(a+ b)成立.综上所述，对任意实数 a, b不等式都成立.19. (12分)已知a、b、c是互不相等的非零实数.求证三个方程ax2 + 2bx+ c = 0, + a= 0, cx2 + 2ax+ b= 0至少有一个方程有两个相异实根.证明反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，2 2 2则 i = 4b - 4acw 0, 2=

15、 4c 4abw 0, 3= 4a - 4bc< 0.相加有 a -2ab+ b + b - 2bc+ c + c - 2ac+ a <0,(a-b)2 + (b-c)2+ (c - a) 2< 0.由题意a、b、c互不相等，.式不能成立.假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.1 220. (12分)设a, b, c为一个三角形的三条边，s = -(a+ b+ c)，且s = 2ab,试证:2证明 要证s<2a,由于s2= 2ab,所以只需证s<s，即证b<s.b1因为s = 2(a+ b + c)，所以只需证 2b<a+ b + c,

16、即证b<a+ c.由于a, b, c为一个三角形的三条边，所以上式成立.于是原命题成立.21. (12分)数列an满足a1 = 6,前n项和S= 耳匕乩2bx + 2cxs<2a.(1)写出 a2, a3, a4；解(1)令 n= 2，: a1 = 6$ =十 a2,(2)猜出an的表达式，并用数学归纳法证明.1即 a1 + a2= 3a2. a2=祛令 n= 3,得 S3= 3|+1 a3,1即 a1 +a2+ a3=6a3, a3= 204X (4 + 1 X令 n = 4,得 S4=2a4,1即 a1 + a2+ a3 + a4= 10a4,a4= 3°.猜想an=

17、1n+ 1 n+2 ,F面用数学归纳法给出证明.当n= 1时，a = 66结论成立.假设当n= k时，结论成立，即 a =,(k+ 1 k + 2)则当 n = k + 1 时，$= k k+ 1 ak=笃匸1 一2 k+22(k+ 1 k+ 2)2(k+ 2j即 S<+ ak+1= k+ 12k+ 2 ak+1.k2 k+ 2fk + 1 fk + 2 ak+1 =2ak+1.ak+1 =(k + 1：(k + 2 l 1 k(k+ 3(k+ 2)21(k + 2 k+ 3 .当n= k+ 1时结论成立.由可知，对一切n N都有an=1(n+ 1(n+ 2)n的函数g(n)，使等式f (1) +1 1122. (12分)设f ( n) = 1+;+;+, + -，是否存在关于自然数2 3nf(2) +, + f ( n 1) = g(n) : f(n) 1对于n2的一切自然数都成立？并证明你的结论.解 当 n= 2 时，由 f(1) = g(2) :f(2) 1,fX1得 g(2)=厂27 = 1= 2，(1+2 1当 n= 3 时，由 f(1) + f (2) = g(3) :f(3) 1,1得g=严=1+1+2 猜想 g(n) = n( n2).下面用数学归纳法证明：当 n>2 时，等式 f(1) + f(2) +, + f(n 1)