相似三角形模型讲解一线三等角问题

1、相似三角形模型分析第一部分、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜 A字型）C（平行）（不平行）（二）8字型、反8字型（蝴蝶型）（不平行）（平行）（三）母子型（四）一线三等角型:三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型:（六）双垂型:、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。1=a b8字型拓展一线三等角的变形一线三直角的变形nABECF -二】第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1:如图，梯形 ABCD中，AD / BC,对角线 AC、BD交 于点O, BE / CD交CA延长线于E.2求证：OC OAOE 例2

2、:已知：如图，DEB ABC.ABC中，点 E在中线 AD上,求证：（1）DB2 DE DA ；(2) DCE例3:已知：如图，等腰 ABC中，AB = AC, AD丄BC于D ,求证：BE2 EF EG .相关练习:1、如图,已知 AD ABC的角平分线,2、已知:交于一点DAC CADFB FBC的延长线D 于 E、F .CG / AB, BEF为AD的垂直平分线.求证:AD是 Rt ABC中/ A的平分线，/ C=90°, EF是AD的垂直平分线交求证： AM3A NMD; (2)ND2 =NC- NBMEHDF3. 已知：如图，在 ABC中，/ ACB=90 , CDLAB于

3、 D, E 是 AC上一 点，CF丄BE于F。求证：EB- DF=AE- DB4. 在 ABC中，AB=AC高AD与 BE交于H, EF BC ,垂足为F,延长AD到G使DG=EF M是AH的中点。求证： GBM 905. （本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（ 3）小题满分各5分）已知：如图，在 Rt ABC中，/ C=90°, BC=2, AC=4, P是斜边 AB上的一个动点，PDLAB交边 AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且/ EP=Z A.设 A P两点的距离为x,A BEP的面积为y.（1）求证：AE=2PE（2）求y关于x的函数解

4、析式，并写出它的定义域；（3）当厶BEP-与 ABC相似时，求 BEP的面积.双垂型1、如图，在 ABC中，/ A=60°, BD CE分别是AC AB上的高E.求证：(ABDA ACE (2) ADEA ABC； (3)BC=2ED2、如图，已知锐角 ABC , AD、CE分别是BC、AB边上的高， ABC和厶BDE的面积分别是 27和3, DE=6、2，求：点B到直线AC的距离。共享型相似三角形1、 ABC是等边三角形，D、B C E在一条直线上，/ DAE=I20，已知BD=1, CE=3 ,求等边三角形的边长2、已知：如图，在 Rt ABC 中，AB=AC,Z DAE =45

5、°求证：(1) ABEACD ;(2) BC2 2BE CD .一线三等角型相似三角形例1:如图，等边 ABC中，边长为6, D是BC上动点，/ EDF=60°(1) 求证： BDE CFD(2) 当 BD=1, FC=3 时，求 BE例2: (1 )在 ABC中，AB AC 5 , BC 8，点P、Q分别在射线点B重合)，且保持 APQ ABC .若点P在线段CB上(如图)，且BP 6，求线段CQ的长;C(2) 正 方形ABCD备用图备用图长为5 (如下图)，点PQ分别在直线CB、DC上(点P不与点C、点B重合)，且保持 APQ90 .当CQ 1时，求出线段BP的长.DC

6、知在梯形 ABCD中，AD /AD v BC,且 AD = 5,AAB= DC= 2.(1)如图8, P为AD上的满足/ BPC=/ A.若BP x , CQ y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域;求证；ABPs dpc求AP的长.(2)如果点P在AD边上移动(点 P与点A、D不重合)，且满足/ BPE=Z A, PE交直线BC于 点E,同时交直线DC于点Q,那么 当点Q在线段DC的延长线上时，设 AP = x, CQ= y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的 定义域； 当CE= 1时，写出AP的长.例4:如图，在梯形 ABCD中，AD / BC , AB CD BC 6 , A

7、D 3 点M为边BC的中点，以M为顶点作 EMF B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF .(1) 求证： MEF BEM ;(2) 若厶BEM是以BM为腰的等腰三角形，求 EF的长；(3) 若EF CD，求BE的长.相关练习：E在AC边上，且1、如图，在 ABC中，AB AC 8 , BC 10 , D是BC边上的一个动点，点ADE C .(1)求证： ABDDCE ;如果BD x , AE y，求y与x的函数解析式，并写出自变量 x的定义域;当占=1 八、D是BC的中点时，试说明厶 ADE是什么三角形，并说明理由.2、如图,已知在 ABC中， AB=AC=6, BC=

8、5, D是AB上一点，BD=2, E是BC上一动点并作 DEF B，射线EF交线段AC于(1)求证： DBEECF ;当F是线段AC中点时，求线段 BE的长;(3)联结DF，如果 DEF与厶DBE相似，求FC的长.3、已知在梯形 ABCD 中，AD / BC, AD V BC,且 BC =6, AB=DC=4, 点E是AB的中点.(1) 如图，P为BC上的一点，且(2) 如果点P在BC边上移动(点EPF = / C, PF交直线CD于点当点F在线段CD的延长线上时，设于x的函数解析式，并写出函数的定义域；BP=2 .求证： BEPCPD;P与点B、C不重合)，且满足/F,同时交直线AD于点M

9、,那么BP= x , DF= y，求 y 关(第25题(备用图)(1) 写出图中与 BEF相似的三角形;(2) 证明其中一对三角形相似；(3)设be x,MN y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;(4)若AE 1，试求GMN的面积.一线三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD中，CD=2 ,AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点 交边AB于点E,设PD x, AE y，求y关于x的函数关系式，并写出过点不CP ,Ao 2例2、在 ABC中， C 90o, AC 4,BC 3,O是AB上的一点，且 仝0 -，点P是AC上的一个AB 5备用图动点，PQ OP交线段BC于点Q,

10、(不与点B,C重合)，设AP x,CQ y ,试求y关于x的函数关系，并写出定义域。【练习1】在直角ABC 中,C 90o, AB 5,tanB3，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF4DE在直角三角形ABC中,C 90o, AB BC,D 是 AB 边上的一交射线AC于点F(1) 、求AC和BC的长(2) 、当EF / BC时，求BE的长。(3) 、连结EF,当 DEF和 ABC相似时，求BE的长。练习2】点，E是在AC边上的一个动点，(与A,C不重合)，DF DE,DF与射线BC相交于点F.(1)、当点D是边AB的中点时，求证DEDFt ADDE砧居(2)、当m，求的值DBDF(3)、当 AC BCc AD 16,设AEx,BFy,求y关于x的函数关系式，并写出定义域DB 2【练习4】如图，在ABC 中，C90,AC6 , ta n B3 , D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作 DEF 90 , EF交射线BC于点F .设BE x , BED的面积为y .(1 )求y关于x的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围;4（2）如果以B、E、F为顶点的三角形与 BED相似，求 BED的面积.【练习5】、40