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文档简介

1、 12、若 f ( x = a0 + a1 x + L + an x 有n个不同实根 x1 , x2 L xn , n 试证明： n å j =1 k n xk x 1 j j =å = ¢ ( x j an f ¢( x j j =1 an wn xk j å ¢ (x j j =1 wn n k 证： 记 g ( x = x , 并利用差商的函数表达式有 å j =1 n xk 1 j = f ¢( x j an g(x j 1 = g x1 , x2 ,L xn å ¢ ( x j an

2、j =1 wn n 再商差与函数关系知 å j =1 n 0 £ k £ n-2 ì 0 xk ï 1 g ( n -1 (x 1 j =í f ¢( x j ï a (n - 1! = a k = n - 1 n î n 16、求一个次数不高于4次的多项式 p( x, 使它满足 p(0 = p¢(0 = 0, p(1 = p¢(1 = 1, p(2 = 1 ¢ (1 = 1 ¢ (0 = 0, H 3 (1 = H 3 解法一：（待定系数法）满足H 3 (0 =

3、H 3 的Hermite插值多项式为(x0 = 1, x1 = 1) ， ¢ ( x j b j ( x H 3 ( x = å H 3 ( x j a j ( x + H 3 j =0 2 1 2 1 设 p( x = H 3 ( x + Ax ( x - 1 p(2 = 1 得 A = 4 2 2 x - 1ù é x - 0 ù é é x - 0ù 2 3 = ê1 - 2 + ( x - 1 = 2 x - x ê 1- 0 ú ë ûê 

4、35; 1- 0 ú û ë 1- 0 ú û 于是 1 2 1 2 2 p( x = 2 x - x + x ( x - 1 = x ( x - 3 2 4 4 2 3 法2：建立如下差商表 0 0 1 1 2 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 -1 -1 -1/2 1/4 这样牛顿插值公式为 1 p( x = 0 + 0( x - 0 + 1( x - 0 - 1( x - 0 ( x - 1 + ( x - 0 2 ( x - 1 2 4 1 2 2 2 = x - x ( x - 1 + x ( x - 1 2 4 1 = x 2 ( x - 3 2 4 2 2 p(0 = p¢(0 = 0, 故可设 p( x = x 2 (ax 2 + bx + c 法3： p(1 = p¢(1 = 1 有 ìa + b + c = 1 ï í4a + 3b + 2c = 1 ï4(4a + 2b + c = 1 î p(2 = 1 1 3 9 解上述方程组有 a = , b = - ,

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