第42课时 圆的认识(含答案)

1、第42课时 圆的认识考点聚焦： 1圆的有关概念，包括圆心、半径、弦、弧等概念，这是本节的重点之一 2掌握并灵活运用垂径定理及推论，圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理以及圆周角定理及推论，这也是本书的重点，其中在运用相关定理时正确区分各定理的题设和结论是本节难点 3理解并掌握圆内接四边形的相关知识，而圆和三角形、四边形等结合的题型也是中考热点备考兵法： “垂径定理”联系着圆的半径（直径）、弦长、圆心和弦心距，通常结合“勾股定理”来寻找三者之间的等量关系，同时其中还蕴含着弓形高（半径与弦心距的差或和）与这三者之间的关系所以，在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线段，连结半径

2、构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角形的问题识记巩固：1到定点的距离等于_的点的轨迹叫做圆，其中_叫圆心，_叫半径 2圆既是_图形，又是_图形，圆心是_，任意一条直径所在的直线是_3垂径定理：垂直于弦的直径_这条弦，并且_这条弦所对的两条弧；平分_的直径垂直于弦，并且平分_如图：AB为圆心；ABCD；CE=DE； ；其中，任意满足两个结论，均可推出其余三个结论成立 4在同圆或等圆中，如果两个圆心角，_，_（或_）中有一组量相等，那么它所对应的其余各组量都分别相等 5圆圆角及定理：顶点在_，角的两边都与_相交的角叫圆周角在同

3、圆或等圆中，_所对的圆周角相等，都等于它所对的_；相等的圆周角所对的_相等；_所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是_识记巩固参考答案：1定长 定点 定长 2轴对称 中心对称 对称中心 对称轴 3平分 平分 非直径弦 这条弦所对的两条弦 4两条弧 两条弦 弦心距 5圆上 圆 同弧或等弧 圆心角的一半 弧 直径 直径经典例题：例1 （2008，贵州贵阳）如图，已知AB是O的直径，点C在O上，且AB=13，BC=5（1）求sinBAC的值；（2）如果ODAC，垂足为点D，求AD的长；（3）求图中阴影部分的面积（精确到01）例2 如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到点C，使

4、DC=BD，连结AC交O于点F（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断ABC属于哪一类三角形，并说明理由 例3 （2008，四川泸州）如图，在气象台A的正西方向240千米的B处有一台风中心，该台风中心以每小时20千米的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心130千米内的地方都要受其影响（1）台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少？（2）台风中心在移动过程，气象台将受台风影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？中考热身1（2008，山东枣庄）如图，已知O的半径为5，弦AB=5，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（ ）A2.5 B

5、3.5 C4.5 D2（2008，四川宜宾）如图，ABC内接于O，BAC=120°，AB=AC=4，BD为O的直径，则BD=_3（2008，四川泸州）如图，O是ABC的外接圆，BC是O的直径，D是的中点，BD交AC于点E （1）求证：AD2=DE·DB（2）若BC=，CD=，求DE的长4（2008，山东枣庄）如图，已知在半径为4的O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交O于点E，且EM>MC，连结DE，DE=（1）求证：AM·MB=EM·MC；（2）求EM的长；（3）求sinEOB的值迎考精练：一、基础过关训练1如图，四边形ABC

6、D是O的内接正方形，点P是上不同于点C的任意一点，则BPC的度数是（ ）A45° B60° C75° D90° (第1题) (第2题) (第3题)2如图，MN是O的直径，MN=2，点A在O上，AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ） A2 B C1 D23如图，AB为O的直径，AB=AC，BC交O于点D，AC交O于点E，BAC=45°，给出以下五个结论：EBC=22.5°；BD=DC；AE=2EC；的长是的2倍；AE=BC其中正确结论的序号是_4如图，AB是O的直径，BC是弦，ODBC于

7、点E，交于点D（1）请写出四个不同类型的正确结论；（2）连结CD，设CDB=，ABC=，写出与之间的一种关系式，并给予证明二、能力提升训练5如图，矩形ABCD与圆心在AB上的O交于点G，B，F，E，GB=8cm，AG=1cm，DE=2cm，求EF的长6在O的内接ABC中，AB+AC=12，ADBC于点D，且AD=3，设O的半径为y，AB的长为x（1）求y与x的函数关系式；（2）当AB的长等于多少时，O的面积最大？并求出最大值7如图，BC是O的直径，点A在O上，且AB=AC=4，P为AB上一点，过点P作PEAB分别交BC，OA于点E，F （1）设AP=1，求OEF的面积 （2）设AP=a（0&l

8、t;a<2），APF，OEF的面积分别记为S1，S2 若S1=S2，求a的值； 若S=S1+S2，是否存在一个实数a，使得S<？若存在，求出一个a的值；若不存在，说明理由第42课时 圆的认识（答案）经典例题：例1 （2008，贵州贵阳）如图，已知AB是O的直径，点C在O上，且AB=13，BC=5（1）求sinBAC的值；（2）如果ODAC，垂足为点D，求AD的长；（3）求图中阴影部分的面积（精确到01）解析 （1）AB是O的直径， ACB=90°sinBAC= （2）在RtABC中，AC= =12又ODAC于点D，AD=AC=6（3）S半圆=×（）2=×

9、;=SABC=AC×BC=×12×5=30，S阴影=S半圆SABC = 点评 “直径所对的圆周角为90°”以及“垂径定理”可以将圆的有关知识和三角形有关知识结合起来因此对这部分知识应加以重视 例2 如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC交O于点F（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断ABC属于哪一类三角形，并说明理由解析 （1）AB=AC，理由如下： （方法一）连结DO，则OD是ABC的中位线，ODCAODB=C，DO=BOOBD=ODB，OBD=ACB，AB=AC（方法二）连结AD，

10、AB是O的直径，ADBC 又BD=CD，AB=AC（方法三）连结DO，则OD是ABC的中位线， OD=AC，OB=OD=AB，AB=AC（2）连结BFAB是O的直径ADB=90°，B<ADC=90°，C<ADB=90°B，C为锐角又A<BFC=90°ABC为锐角三角形 点评 一题多解是培养我们发散思维的极好方式，我们应在习题中加以运用与发展 例3 （2008，四川泸州）如图，在气象台A的正西方向240千米的B处有一台风中心，该台风中心以每小时20千米的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心130千米内的地方都要受其影

11、响（1）台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少？（2）台风中心在移动过程，气象台将受台风影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？ 解析 （1）如图，过点A作AEBD于点E DBA=90°60°=30°， AE=AB=×240=120（km） 台风中心与气象台的最短距离是120km （2）连结AC，则AC=130km CE=50（km） CD=2CE=100km 影响时间=100÷20=5（小时） 点评 台风的影响范围是一个图形区域该区域半径为130km，所以在BD上离A点130km的C处开始A受影响一直持续至距A也是130km的D处结

12、束强化训练答案:中考热身1C 28 3（1）证明：D是的中点，ABD=EAD 又ADE=BDA，ADEBDA，AD2=DE·DB（2），AD=CD=又BC是O的直径，BDC=90°BD= AD2=DE·DB（已证）， DE= 4（1）连结AC，EB，则CAM=BEM 又AMC=EMB，AMCEMB，即AM·MB=EM·MC（2）DC为O的直径，DEC=90°， EC=7 OA=OB=4，M为OB的中点 AM=6，BM=2 设EM=x，则CM=7x 又AMMB=EMMC，6×2=x（7x） 解得x1=3，x2=4，但EM>

13、;MC，EM=4 （3）由（2）知，OE=EM=4，作EFOB于点F， 则OF=MF=OB=1 在RtEOF中，EF=， sinEOB=迎考精练:基础过关训练 1A 2B 点拨：作点B关于MN的对称点B，连结AO，BO，则易得AOB为等腰直角三角形，且腰长为1 3 4解：（1）ACOD；CE=BE；OE=AC；CD=DB （2）=90° 证明：四边形ABDC内接于O， A+CDB=180° 又AB是O直径，ACB=90°， A+ABC=90° , ，得CDBABC=90°，即=90°能力提升训练: 5解：过点O作OHEF于点H，则HE

14、=HF=EF 又四边形ABCD为矩形，A=D=90° 四边形AOHD为矩形，AO=DH 又GB=8cm，AG=1cm，OA=5cm，DH=5cm 又DE=2cm，EH=DHDE=3cmEF=2EH=6cm 6解：（1）连结OA，OB，过O作OEAB于点E 则AE=AB=x，AOE=AOB 又ACB=AOB，AOE=ACB ADBC于点D，ADC=AEO=90°， AOEACD， AB+AC=12，AC=12AB=12x， ，y=x2+2x （2）y=x2+2x=（x6）2+6， 当x=6时，ymax=6，即当AB长为6时，半径取得最大值为6，此时SO=×62=36 7解：（1）BC是O的直径，BAC=90° 又AB=AC， B=C=45°，OABC，B=OAB=45° PEAB，OAB=AFP=45°，OEF=OFE=45° APF，OEF和OAB均为等腰直角三角形 AP=