数学必修ⅴ北师大版2.3 第2课时角度和物理问题学案 练习

1、第2课时角度和物理问题知能目标解读1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法求解三角形的实际问题.2.学会处理测量角度问题等解三角形的实际问题.3.用解三角形的知识，解决有关的实际问题，目的是进一步巩固所学知识，提高分析和解决简单的实际问题的能力、动手操作能力以及用数学语言进行交流的能力，增强应用数学的意识，以达到学习数学的目的.重点难点点拨重点：构建数学模型探求角度测量方法.难点：将实际问题抽象成数学模型.学习方法指导要测量角的大小，可利用测角仪或通过测量出距离计算角的大小，根据所测出的三角形中的量，运用正、余弦定理和三角形中的有关性质计算出所要求的角.在计算面积和航海问题中，也都与求角的问

2、题相联系.要清楚问题中的角的含义，如方向角、方位角、仰角、俯角等，根据已知线段和角以及要求的角，选择有充分条件的三角形求解.知能自主梳理和求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角.3.坡面的铅直高度与水平宽度之比（如图中的），叫做.答案1.正弦定理余弦定理思路方法技巧命题方向测量角度问题例1在南海伏季渔中，我渔政船甲在A处观测到一外国偷渔船乙在我船北偏东60°的方向，相距a海里，偷渔船正在向北行驶，若我船速度是渔船速度的倍，问我船应沿什么方向前进才能追上渔船？此时渔船已行驶多少海里？解析如图所示，设乙船沿B点向北行驶的速度大小为v,则甲船行驶的速度大小为v,两船相遇的时间为t,则

3、BC=vt,AC=vt，在ABC中，ABC=120°,AB=a,由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos120°,即3v2t2=a2+v2t2+vat,2v2t2-vat-a2=0,解得t1=,t2=- (舍去).BC=a,CAB=30°.即甲船应沿北偏东30°的方向去追赶乙船，在乙船行驶a海里处相遇.说明解答此类问题，首先应明确各个角的含义，然后分析题意，分清已知和所求，再根据题意画出正确的示意图，将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运用正、余弦定理求解.变式应用1在地面上某处，测得塔顶的

4、仰角为，由此处向塔走30米，测得塔顶仰角为2，再向塔走10米，测得塔顶仰角为4，试求角的度数.分析如图所示，求角，必须把角、2、4和边长30、10尽量集中在一个三角形中，利用方程求解.解析解法一：PAB=，PBC=2，BPA=，BP=AB=30，又PBC=2，PCD=4，BPC=2，CP=BC=10 ，在BPC中，根据正弦定理得：，即=，由于sin20,cos2=，0°<2<90°，2=30°,=15°.解法二：在BPC中，根据余弦定理得：PC2=PB2+BC2-2PB·BC·cos2把PC=BC=10，PB=30代入上式

5、得，300=302+（10）2-2×30×10cos2化简得：cos2=,0°<2<90°，2=30°,=15°.解法三：如下图，过顶点C作CEPB，交PB于E，BPC为等腰三角形,PE=BE=15,在RtBEC中，cos2=,0°<2<90°,2=30°,=15°.命题方向与角度有关的问题例2某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在距A处北偏东45°方向、距离为10n mile的C处，并测得渔轮正沿东偏南15°的

6、方向，以9 n mile/h的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.分析根据题意画出图形（如图），由题意知AC=10，设渔轮向小岛B靠近，舰艇与渔轮相遇所用时间与渔轮由C到B处相遇，则ACB=120°,利用舰艇与渔轮相遇所用时间与渔轮由C到B所用时间相同这一条件，解ABC即可.解析设舰艇与渔轮相遇所需时间为t h，则AB=21 t,BCABC中，根据余弦定理，则有AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos120°,可得212t2=102+81t2+2×10×9t×,整

7、理，得360t2-90t-100=0.362t-9t-10=0,(12t+5)(3t-2)=0.t=或t=- (舍去)，舰艇靠近渔轮所需的时间为h.此时AB=14 n mile,BC=6 n mile.由正弦定理，得,则sinCAB=,CAB°,°.说明本题应首先理解方位角的概念（方位角指的是从指北方向线顺时针旋转到目标方向线的最小正角），然后作出示意图，利用等差关系列方程求解即可，最后回答行驶的方向时，要注意正确描述方位角.变式应用2（2010·陕西高考）如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西

8、60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？分析利用正弦定理求BD利用余弦定理求DC结论解析由题意知AB=5（3+），DBA=90°-60°=30°,DAB=45°,ADB=105°sin105°=sin45°·cos60°+sin60°·cos45°=.在ABD中，由正弦定理得，BD=又DBC180°-60°-60&#

9、176;=60°.BC=20，在DBC中，由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2×BD×BC×cos60°=300+1200-2×10×20×=900.CD=30（海里），则需要的时间t=1（小时）.答:救援船到达D点需要1小时.探索延拓创新命题方向正、余弦定理在物理中的应用例3图所示用两根分别长5米和10米的绳子，将100N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5米，求A处所受力的大小（绳子的重量忽略不计）.分析决此类问题要先依据题意将物理向量用有向线段来表示，利用向量加法的平行四边形法则，将物理

10、问题转化为数学中向量的加法，然后由已知条件进行计算.解析图所示，由已知条件可知AG与铅直线成45°角，BG与铅直方向成60°角，A处所受力为fa，在GED中，EGD=45°,GED=60°，GDE=180°-45°-60°=75°，由正弦定理，得，GD=150-50.A处所受力大小为（150-50）N.变式应用3×108×108km的近似圆，圆心为太阳，某时刻，地球和金星的连线与地球和太阳的连线成18°的角，如图，求此时地球与金星之间的距离（地球、金星、太阳均视为点，结果保留3个有效数

11、字）.解析此时刻太阳、地球、金星的位置分别在点O、A、B处，则OA×108km,OB×108km,A=18°，由正弦定理，得sinABO=0.4303，OA>OB,ABO°或ABO°,当ABO°时，AOB°，AB=×108（km）.当ABO°时，AOB°，AB=×107（km）.×108×107km.名师辨误做答例4海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（-1）n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2n mile

12、的C处的缉私船奉命以10n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？误解缉私船用t小时，在D处追上走私船，在ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosCAB=(-1) 2+22-2×（-1）×2×cos120°6，BC=.在BCD中，BD=10t,CD=10t,由余弦定理，得CD2=BC2+BD2-2BC·BD×cosCBD,(10t) 2=6+(10t) 2-2×

13、5;10t×（-），整理，得100t2-5t-3=0,解得t=.BD=,又BC=,CBD=120°.BCD=BDC=30°.故缉私船沿东偏北30°的方向能最快追上走私船.辨析述解法错误的原因在于默认为CBD=120°，而没有给出证明，并且多余的求出时间t.正解缉私船用t小时在DABC,由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosCAB=(-1) 2+22-2×（-1）×2×cos120°6，BC=.在BCD中，由正弦定理，得sinABC=sinBAC=,ABC=45

14、76;，BC与正北方向垂直.CBD=120°.在BCD中，由正弦定理，得,sinBCD=,BCD=30°.故缉私船沿东偏北30°的方向能最快追上走私船.课堂巩固训练一、选择题1.在某测量中，设A在B的南偏东34°27，则B在A的（）°27°33°32°33答案A2.如果在测量中，某渠道斜坡的坡比为，设为坡角，那么cos等于（）A. B. C. D. 答案B解析由题意，得tan=,即,为锐角，cos=.22km/h的速度向正北航行,在A处看灯塔S在船的北偏东45°,1小时30分后航行到B处,在B处看灯塔S在

15、船的南偏东15°,则灯塔S与B之间的距离为 ()A.66 kmB.132 kmC.96 kmD.33 km答案A解析如图，ASB=180°-15°-45°=120°，AB=22×，由正弦定理，得，SB=66km.二、填空题4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过h，该船实际航程为.答案6 km解析如图，水流速和船速的合速度为v，在OAB中： OB2=OA2+AB-2OA·AB·cos60°，OB=v=2km/h.即船的实际速度为2km/h，则经过h

16、，其路程为2×=6 km.xcm后，再向右转105°爬行20cm，又向右转135°，这样继续爬行可回到出发点处，那么x=.答案cm解析如图ABC中，A=45°15°60°，B=45°+30°=75°,ACB=45°,由正弦定理知,x=.课后强化作业一、选择题A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（）°°°°答案B解析如图，由题意知ACB=180°-40

17、°-60°80°，AC=BC,ABC=50°,=60°-50°=10°.B岛的正南A处，AB=10km，甲船以4 km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是 ()A. minB. h答案A解析如图，设经过x小时时距离为s，则在BPQ中，由余弦定理知：PQ2=BP2+BQ2-2BP·BQ·cos120°，即s2=(10-4x) 2+(6x) 2-2(10-4x)×6x×(-)=28

18、x2-20x+100.当x=-时，s2最小，此时x=h=min.3.如图所示，B、C、D三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A点的仰角分别为、（)，则A点离地面的高AB等于（）A. B. C. D. 答案A解析由tan=,tan=，联立解得AB.、（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知、成60°角，且、的大小分别为2和4，则的大小为 ()答案D解析由题意，得+0，、-,(+)2=2,+2+2··2，4+16+2×2×4×cos60°2，228，|=2.故选D.5.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个

19、灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时（）海里海里答案C解析如图，依题意有BAC=60°,BAD=75°，CAD=CDA=15°，从而CD=CA=10，在RtABC中，求得AB=5，这艘船的速度是=10(海里/小时).30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（）A.10米B.100米C.20米D.30米答案D解析设炮台顶部为A，两条船分别为B,C,炮

20、台底部为D，可知BAD=45°，CAD=60°，BDC=30°，ADADB,RtADC中，求得BD=30,DC=30.在DBC中，由余弦定理得BC2=DB2+DC2-2DB·DCcos30°，解得BC=30.7.如图，在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，底部的俯角为45°，那么这座塔吊的高是（）A.20（1+）mB.20（1+）mC.10（）mD.20（）m答案B解析由仰角与俯角的意义可知，DAE=60°，EAC45°，又EC20m,BC=AE=20m,在AED中，DE=AEtan60&#

21、176;20m.塔吊的高度是20（1+）m.8.如下图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为（）A. 海里/小时C.海里/小时答案 A解析 由题意知PM=68，MPN=120°，N=45°,由正弦定理知MN=68××=34,速度为（海里/小时）.二、填空题9.一角槽的横断面如图所示，四边形ABED是矩形，已知DAC=50°，CBE=70°，AC=90，BC=150，则DE= .答案210解析由题意知ACB=120

22、6;，在ACB中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosACB=902+1502-2×90×150×（-）44100.AB=210,DE=210.40m，水流的速度是每分钟20m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为.答案30°解析水流速度与船速的合速度为v,方向指向河岸，如图由题意可知sin=30°.100米的斜坡，它的倾斜角为45°，现在要把倾斜角改成30°，则坡底要伸米.答案50（）解析如图所示，在ABC中

23、，C=90°，ABC=45°，AB=100,AC=50.又在ACD中，ADC=30°，DAB=45°-30°15°.sin15°=sin(45°-30°)=.在ABD中，由正弦定理，得,BD=50()（米）.50米的两点A、B，测得海内一出事渔船的俯角分别为45°和60°，试计算该渔船离灯塔的距离.答案25（+1）（米）解析由题意，作出图形如图所示，设出事渔船在C处，根据在A处和B处测得的俯角分别为45°和60°，可知CBD=30°，BAC=45°

24、;+90°=135°,ACB=180°-135°-30°=15°,又AB=50,在ABC中，由正弦定理，得,AC=25（）（米）.出事渔船离灯塔的距离CD= (米).三、解答题A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的求救信号后，测得甲船正沿着北偏西15°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近.如果乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船应以多大速度、向何方向航行？（注：sin21°47=）分析解答本题可先画示意图，然后运用余弦定理求解速度，用正弦定理求乙船的航向.解析设乙船速度为v海里/时，在ABC中，由余弦定理

25、可知：BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cosCAB,v=21海里/时.又由正弦定理可知：,sinB=,B21°47,即乙船应按北偏东45°21°4723°13的方向航行.14.A、B是海平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，BAD=120°，又在B点测得ABD=45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD.解析如图，由于CD平面ABD，CAD=45°,所以CD=AD.因此，只需在ABD中求出AD即可.在ABD中，BDA=180°-45°-120°=15°,由（m）.CD平面ABD，CAD=45°，CD=AD=800（+1）2 186（m）.答：山高CD为2 186 m.15.如图所示，海中一小岛周围3.8 n mil