2020-2021深圳布心中学高中必修一数学上期末模拟试卷(附答案)

1、2020-2021 深圳布心中学高中必修一数学上期末模拟试卷( 附答案)一、选择题1. 已知定义在 R 上的增函数 f(x)，满足 f( x) f(x)0， x1， x2， x3 R，且 x1 x2>0， x2 x3>0， x3 x1>0 ，则 f(x1 ) f(x2)f(x3)的值 ()A一定大于 0B一定小于 0C等于 0D正负都有可能2. 已知 fx 是偶函数，它在0,上是增函数 .若 f是（）lg xf1 ，则 x 的取值范围A1 ,110骣 1B 琪 0,桫 10? (10, ? )1C,1010D 0,110,12x3. 函数 fx1 2xcosx 的图象大致为n

2、 nABCD4. 已知函数f (x)ax3bx3(a ,bR ) . 若f (2)5 ，则f ( 2)（）A 4B 3C 2D 15. 已知函数f ( x)log (1)( aax10且a1）的定义域和值域都是 0 ， 1 ，则 a=（ ）1A. 2B. 2C22D 26. 已知函数f ( x)ln x，若af (2)， bf(3)， cf(5) ，则 a ， b ， c 的大小关x系是（）A bcaB bacC acbD cab7. 已知函数f (x)log 2x ，正实数m, n 满足 mn 且f (m)f (n) ，若f (x) 在区间 m2, n上的最大值为 2，则m, n 的值分别为

3、A 1 ， 2B2 ， 2C 1 ， 2D 1 ， 422448. 某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染kt物总量的 0.5% .已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克 /升）与过滤时间 t（单位：小时）之间的函数关系为PP0e（ k 为常数， P0 为原污染物总量）.若前 4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数 n 的最小值为（）（参考数据：取 log 5 20.43 ）A 8B 9C 10D 149. 设函数 fx 是定义为 R的偶函数，且fx 对任意的 xR ，都有fx2fx2且当

4、 x2,0 时，fxx11，若在区间2,6 内关于 x 2的方程 fxlog ax20(a1恰好有 3 个不同的实数根，则a 的取值范围是（）A 1,2B 2,C1, 34D 3 4, 210. 已知函数 f(x)log 12x, x1,则 f (1f () )等于 ()24 x , x1,2A 4B 2C 2D 111. 已知 alog 3 2 ， b20.1 ， csin 789o ，则 a ， b ， c 的大小关系是A abcB acbC cabD bca12. 已知 fx = 2x2 x ,若 fa3, 则 f2a 等 于A 5B 7C 9D 11二、填空题13. 定义在 R上的奇函

5、数 f （x）在（ 0，+）上单调递增，且f （ 4） =0，则不等式 f（x）0的解集是 14. 已知函数 fx2ln x ， x0x22x1，x0，若存在互不相等实数a、b、c、d，有fafbfcfd ， 则 abcd 的取值范围是.cos x1115. 若函数f ( x)2| x |， 则 f (lg 2)flgf (lg 5)flg.x2516. 设定义在2,2上的偶函数 fx 在区间 0,2 上单调递减，若f 1mfm ，则实数 m 的取值范围是17. 对于复数 a，b，c， d ，若集合 Sa，b， c，d具有性质“对任意x， yS ，必有a22xyS ”，则当 bc1，1，时，

6、bcd 等于 b18. 若点 (4, 2) 在幂函数f ( x) 的图像上，则函数f ( x) 的反函数f1 ( x) =.219. 已知函数 fxx1 的图象与直线ykx2 恰有两个交点，则实数k 的取值范1x围是.20. 已知函数 fx 为 R 上的增函数，且对任意xR 都有ffx3x4 ，则f4.三、解答题21. 已知函数f ( x)3x1x.（1） 证明：31f ( x) 为奇函数；（2） 判断f ( x)的单调性，并加以证明；（3） 求f ( x)的值域 .22. 已知函数 fx 对任意实数 x ， y都满足 fxyfxfy，且 f11 ，f271 ，当 x91时， fx0,1 .(

7、 1) 判断函数 fx 的奇偶性；( 2) 判断函数 fx 在,0 上的单调性，并给出证明；1( 3) 若 fa1，求实数 a 的取值范围 .3 923. 已知函数1fk (x)xakax，（ kZ ， a0 且 a1 ） .（1） 若 f123 ，求f1 (2) 的值；（2） 若fk ( x)为定义在 R 上的奇函数，且 0a1 ，是否存在实数，使得f (cos 2 x)f (2sin x5)0 对任意的 x0, 2恒成立若存在，请写出实数的取kk3x值范围；若不存在，请说明理由.24. 已知集合 Ax2(1) 求 AU B；x4 ，函数 fxlog2 31 的定义域为集合 B.(2) 若集

8、合Cx m2xm1，且 CAB ，求实数 m 的取值范围 .25. 药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点研究表明：人工种植药材时，某种药材在一定的条件下，每株药材的年平均生长量 株数 x 的函数当 x 不超过 4 时， v 的值为 2；当 4xv( 单位：千克 ) 是每平方米种植20 时， v 是 x 的一次函数，其中当 x 为 10 时， v 的值为 4；当 x 为 20 时， v 的值为 01 当 0x20 时，求函数 v 关于 x 的函数表达式；x2 当每平方米种植株数x 为何值时，每平方米药材的年生长总量( 单位：千克 ) 取得最大值？并求出这个最大值( 年生长总量年平均生

9、长量种植株数 )26. 已知f ( x)2， g( x) 12f ( x)1 .（1） 判断函数g(x) 的奇偶性；1010（2） 求f ( i )i 1f (i ) 的值.i 1【参考答案】 * 试卷处理标记，请不要删除一、选择题1A解析： A【解析】因为 f( x) 在 R 上的单调增 , 所以由 x2 x1>0 ，得 x2>-x1,所以f ( x2)f (x1)f ( x1 )f ( x2 )f ( x1)0同理得f ( x2 )f ( x3 )0,f ( x1)f ( x3)0,即 f(x1) f( x2) f( x3)>0,选 A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或

10、两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行2C解析： C【解析】【分析】利用偶函数的性质将不等式flg xf1 变形为 flg xf1 ，再由函数yfx 在 0,上的单调性得出 lg x调性即可求出结果 .【详解】1 ，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单由于函数 yfx 是偶函数，由flg xf1 得 flg xf1 ，又Q 函数 yfx 在 0,上是增函数，则lg x1，即 1lg x1 ，解得1x10 .10故选： C.【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数

11、单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3C解析： C【解析】x函数 f（ x） =（ 12） cosx，当 x=时，是函数的一个零点，属于排除A ， B ，当 x12 x2（0， 1）时， cosx 0，xx1212 x0，函数 f（ x）=（ 1212 x） cosx0，函数的图象在 x 轴下方排除 D 故答案为 C。4D解析： D【解析】【分析】令 g xax3bx，则 gx 是 R 上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得f ( 2) 的值【详解】令 g( x)ax 3bx，则g(x) 是 R 上的奇函数，又 f (2)3 ，所以 g (2)35 ，所以 g (2)2 ，

12、g22 ，所以 f( 2)g(2)3231 ，故选 D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题5A解析： A【解析】【分析】由函数 fxlog (1)=0, (a0, a1) 的定义域和值域都是 0 ， 1 ，可得 f(x)为增ax1函数，但在0 ，1 上为减函数，得0<a<1，把 x=1 代入即可求出 a 的值【详解】由函数 fx函数，1log a (x)=0, (a10, a1) 的定义域和值域都是 0 ， 1 ，可得 f(x)为增但在0 ， 1 上为减函数， 0<a<1，当 x=1 时，1f (1)log (1)=-loga11a 2=1 ,解得 a=

13、，2故选 A本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出讨论函数的单调性 .6D解析： D【解析】【分析】f (0)=0，这样避免了讨论不然的话，需要可以得出 a1 ln 32, c1 ln 25 ，从而得出 c a，同样的方法得出a b，从而得出 a，1010b， c 的大小关系【详解】a f2ln 2ln 32, cf51 ln 5ln 25,根据对数函数的单调性得到a>c,210510b f3ln 3,又因为 af23ln 2ln826， bf3ln 3ln 9，再由对数函数36的单调性得到a<b, ca，且

14、 a b； c a b 故选 D 【点睛】考查对数的运算性质，对数函数的单调性比较两数的大小常见方法有：做差和0 比较， 做商和 1 比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.7A解析： A【解析】试题分析：画出函数图像，因为正实数m, n 满足 mn 且f (m)f ( n) ，且f ( x)在区间 m2 , n上的最大值为 2，所以f ( m)f ( n) =2，由f (x)log 2 x2 解得 x2, 1 ，即2m, n 的值分别为 12， 2故选 A考点：本题主要考查对数函数的图象和性质点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n 的方程8C解析： C【解析】【分析】根据已

15、知条件得出e 4k1，可得出 k5ln 5，然后解不等式4e kt1200，解出 t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值 .【详解】4k由题意，前 4 个小时消除了 80% 的污染物，因为PP0e kt，所以180%P0P0e4 k，所以0.2e， 即 4kln0.2ln5，所以 kln 5，4kt则由 0.5% P0P0e，得ln 0.005ln 5 t ，4所以 t4ln 2004log2004log5223812log213.16555，ln 5故正整数 n 的最小值为 14410 .故选： C.【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.

16、9D解析： D【解析】对于任意的x R,都有 f(x-2)= f(2+ x),函数 f( x)是一个周期函数，且T=4.x又当 x -2,0 时,f(x)=12-1, 且函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，若在区间 (-2,6 内关于 x 的方程 fxlogax20 恰有 3 个不同的实数解，则函数 y=f(x)与 y= loga x2 在区间 (-2,6 上有三个不同的交点，如下图所示：又 f(-2)= f(2)=3 ，则对于函数 y= logax于 3，2 ，由题意可得，当x=2 时的函数值小于 3，当 x=6 时的函数值大a即 log 4 <3, 且log 8 >3,由此

17、解得：3 4 <a<2，a故答案为 ( 3 4 ,2).点睛：方程根的问题转化为函数的交点，利用周期性，奇偶性画出所研究区间的图像限制关键点处的大小很容易得解10B解析： B【解析】1f124 22224 ，则ff1f24log 1 242 ，故选 B.11B解析： B【解析】【分析】【详解】由对数函数的性质可知3alog 3 2log 3 3433 ，420由指数函数的性质 b20.11，由三角函数的性质 csin 7890sin(23600690 )sin 690sin 60 ，所以c(3 ,1) ， 2所以 acb ，故选 B.12B解析： B【解析】因为 fx = 2x选

18、B.二、填空题2 x ,所以 fa = 2a2 a3 , 则 f2a = 22 a2 2a = (2 a2 a )22 = 7 .13-404+）【解析】【分析】由奇函数的性质可得f（ 0） =0由函数单调性可得在（ 04）上f（ x） 0在（ 4+ ）上f（ x） 0结合函数的奇偶性可得在（ - 40）上的函数值的情况从而可得答案【详解】根解析： -4，0 4 ，+）【解析】【分析】由奇函数的性质可得f （ 0） =0，由函数单调性可得在（0， 4）上， f （ x） 0，在（ 4，+）上， f （ x） 0，结合函数的奇偶性可得在（-4 ， 0）上的函数值的情况，从而可得答案.【详解】根据

19、题意，函数 f （x）是定义在 R 上的奇函数，则 f （ 0） =0，又由 f （ x）在区间（ 0，+）上单调递增，且f（ 4） =0，则在（ 0， 4）上， f （ x） 0， 在（ 4，+）上， f （ x） 0，又由函数 f （ x）为奇函数，则在（ -4 ，0）上， f （ x） 0，在（ - ， -4 ）上， f （ x）0， 若 f （x） 0，则有 - 4x0 或 x4，则不等式 f （ x）0 的解集是 -4 ，0 4 ，+）； 故答案为： -4 ，0 4 ，+）【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于基础题14【解析】【分析】不妨设根据二次函数对称性求得的值根

20、据绝对值的定义求得的关系式将转化为来表示根据的取值范围求得的取值范围【详解】不妨设画出函数的图像如下图所示二次函数的对称轴为所以不妨设则由得得结合图解析：112, 11e3【解析】【分析】ee4不妨设a,b0, c, d0 ，根据二次函数对称性求得ab的值 .根据绝对值的定义求得c, d的关系式，将 d 转化为 c 来表示，根据 c 的取值范围，求得 abcd 的取值范围 .【详解】不妨设a,b0, c, d0 ，画出函数 fx 的图像如下图所示.二次函数yx22x1的对称轴为 x1 ，所以 ab2 .不妨设 cd ，则由 2ln c2ln d 得2ln c2ln d ，得cde4 , de，

21、结合图像可知 12ln c4c42 ，解得4ce 4 , e 3，所以abcde2ccc443e , e，由于 ye2x在x43e111e,e上为减函数，故2cce3e2, e41.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的图像，考查含有绝对值函数的图像，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.1510【解析】【分析】由得由此即可得到本题答案【详解】由得所以则所以故答案为： 10【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性化简求值解析： 10【解析】【分析】由 f ( x)2| x |cos x，得xf ( x)f (x)42 | x | ，由此即可得到本题答案.【详解】由 f ( x

22、)2| x |cos x， 得 f (x)2|x |cos(x)2| x |cos x ，所以 f( x)xxxf (x)42 | x | ，则f (lg 2)f (lg 2)42 | lg 2 |42lg 2 ，f (lg5)f (lg5)42 | lg5|42lg5 ，11所以，f (lg 2)f lgf (lg 5)flg42lg 242lg 510 .25故答案为： 10【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性化简求值 .16【解析】【分析】由题意知函数在上是减函数在上是增函数其规律是自变量的绝对值越小其函数值越大由此可直接将转化成一般不等式再结合其定义域可以解出的取值范围【详解】解：函数

23、是偶函数定义在上的偶函数在区间上解析：【解析】【分析】1, 12由题意知函数在0,2 上是减函数，在2,0 上是增函数，其规律是自变量的绝对值越小，其函数值越大，由此可直接将可以解出 m 的取值范围【详解】解： Q 函数是偶函数，f (1m)f (m) 转化成一般不等式，再结合其定义域f (1m)f (|1m |) ，f ( m)f (| m |) ，Q 定义在2,2上的偶函数f ( x)在区间0,2 上单调递减，f (1m)f ( m) ，0剟| m | |1m |2 ，得1, m1 21故答案为：【点睛】1,2本题考点是奇偶性与单调性的综合，考查利用抽象函数的单调性解抽象不等式，解决此类题

24、的关键是将函数的性质进行正确的转化，将抽象不等式转化为一般不等式求解本题在求解中有一点易疏漏，即忘记根据定义域为2,2转化要注意验证是否等价来限制参数的范围做题一定要严谨，17-1 【解析】由题意可得：结合集合元素的互异性则：由可得：或当时故当时故综上可得：解析： -1【解析】由题意可得：b 21,a1 ，结合集合元素的互异性，则：b1 ，由 c2b1 可得： ci 或 ci ，当 ci 时， bciS ，故 di ， 当 ci 时， bciS ，故 di ，综上可得：bcd1 .18. 【解析】【分析】根据函数经过点求出幂函数的解析式利用反函数的求法即可求解【详解】因为点在幂函数的图象上所以

25、解得所以幂函数的解析式为则所以原函数的反函数为故答案为：【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式解析：【解析】【分析】x2 ( x0)根据函数经过点(4, 2) 求出幂函数的解析式，利用反函数的求法，即可求解【详解】因为点 (4, 2) 在幂函数所以幂函数的解析式为fxx (1yx 2 ，R) 的图象上，所以 24 ， 解得1 ，2则 xy2 ，所以原函数的反函数为f1(x)x2 (x0) 故答案为：【点睛】f 1( x)x2( x0)本题主要考查了幂函数的解析式的求法，以及反函数的求法，其中熟记反函数的求法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题19. 【解析】【分析】根据函数解析式分

26、类讨论即可确定解析式画出函数图像由直线所过定点结合图像即可求得的取值范围【详解】函数定义域为当时当时当时画出函数图像如下图所示 : 直线过定点由图像可知当时与和两部分图像解析： (4,1)(1,0)【解析】【分析】根据函数解析式 ,分类讨论即可确定解析式.画出函数图像 ,由直线所过定点 ,结合图像即可求得 k 的取值范围 .【详解】函数fxx211x定义域为x x1当 x1时, fxx21x1 时, fx1x1 xx2当 11当1x时, fxx2111xxx1x1画出函数图像如下图所示:直线 ykx2 过定点 0,2由图像可知 ,当 1k0 时,与 x1 和 1x1 两部分图像各有一个交点;当

27、4k1 时,与1x1 和 1x两部分图像各有一个交点.综上可知 ,当 k4,11,0时与函数有两个交点故答案为 :4, 11,0【点睛】本题考查了分段函数解析式及图像画法,直线过定点及交点个数的求法,属于中档题 . 20【解析】【分析】采用换元法结合函数的单调性计算出的解析式从而即可求解出的值【详解】令所以又因为所以又因为是上的增函数且所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查用换元法求解函数的解析式并求值难度一般已知解析： 82【解析】【分析】采用换元法结合函数的单调性计算出fx 的解析式，从而即可求解出x【详解】f4 的值 .令 fx3xt ，所以 fx3 t ，又因为 ft4 ，所以 3tt

28、4 ，又因为 y3tt4 是 R 上的增函数且 31x414 ，所以 t1，所以 fx31 ，所以 f43182 .故答案为： 82 .【点睛】本题考查用换元法求解函数的解析式并求值，难度一般.已知 fg x的解析式，可考虑用换元的方法（令g xt ）求解出 fx 的解析式 .三、解答题21. （ 1）证明见详解；（ 2）函数【解析】【分析】f (x) 在 R 上单调递，证明见详解；（3） ( 1,1)（1） 判断（2） 判断f ( x)f ( x)的定义域，用奇函数的定义证明可得答案；在 R上单调递增，用函数单调性的定义证明可得答案；3x1222（2）由f ( x)1，可得 3x0 ，可得及

29、的取值范围，可得f ( x)的值域 .3x13x13x13x1【详解】证明：（ 1）易得函数f ( x)的定义域为 R, 关于原点对称，3 x113x且 f (x)3 x13 x1f (x) ，故f (x)为奇函数；（2） 函数f ( x)在 R上单调递增，理由如下：在 R中任取x1 x2 ，则 3 x1 - 3x2 0 ， 3x11 0 ， 3x21 0 ，3x113x21222(3x13x2 )可得 f( x1)f ( x2)xx(1x)(1x)xx 03 113 213 113 21(3 11)(3 21)故 f (x1)f (x2)0 ，函数f ( x)在 R 上单调递增；3x12（3

30、） 由f ( x)1，易得 3x0 ， 3x +11，3x13x1222故 03x1 2 ， -2 -3x1 0 ，故-1 13x1 1 ，故 f ( x)的值域为 ( 1,1) .【点睛】本题主要考查函数单调性及奇偶性的判断与证明及求解函数的值域，综合性大，属于中档题.22. ( 1) fx 为奇函数； ( 2) fx 在,0 上单调递减，证明见解析；( 3)4,1 .【解析】【分析】（1） 令 y1 ，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；（2） 先证明当 x0 时，f ( x)0 ，再利用已知和单调函数的定义，证明函数f (x) 在0,上的单调性，根据函数的奇偶性，即可得到函数fx 在

31、,0 上的单调性；1（3） 先利用赋值法求得f3再利用函数的单调性解不等式即可3 9【详解】解：（ 1）令 y1 ，则fxfxf1 . f11 ， fxfx函数 fx 为奇函数；( 2) 函数 fx 在,0 上单调递减 .证明如下：由函数 fx 为奇函数得 f 111f11fx11当 x0,1 时，x1 ， fx0,1 ，f1 x所以当 x0 时， fx0 ，x2x设 0x1x2 ，则11 ， 0fx21 ， x1于是 fxfx2xfx2fxfx，2111x1x1所以函数 fx 在 0,上单调递减 .函数 fx 为奇函数，函数fx 在,0 上单调递减 .( 3) f271，且 f279f3f9

32、1f3， f3133 9又函数 fx 为奇函数， f33 9 fa113 9 ， fa1f3 ，函数 fx 在,0 上单调递减 .又当 x0 时， fx0 .3a10 ，即 4a1 ，故 a 的取值范围为4,1 .【点睛】本题考查了抽象函数表达式的意义和运用，函数奇偶性的定义和判断方法，函数单调性定义及其证明，利用函数的单调性解不等式的方法23 （ 1） 47；（ 2）存在，3【解析】【分析】（1） 由指数幂的运算求解即可.2（2） 由函数fk ( x) 的性质可将问题转化为cos2x52sin x 对任意的 x0,恒成3立，分离变量后利用均值不等式求最值即可得解.【详解】111解：（ 1）由

33、已知 f12a 2a 23 ，112a 2a 2aa 129 ，aa 17 ，2aa 1a 2a2249 ，a2a 247 ，即 f1 (2)a2a 247 .（2）若fk ( x)为定义在 R 上的奇函数，则 fk (0)1k0 ，解得 k1 ，Q 0a1，fk (x)axax，在 R 上为减函数，则 fk (cos 2 x)f k (2sin x5)0 ，可化为f k (cos 2x)fk (2sin x5)fk (52sin x) ，2即 cos2x52sin x对任意的 x0,恒成立，35cos2 x2sin 2 x422即2sin x2sin xsin xsin x，对任意的 x0,恒成立，3令 tsinx, t0,1 ，则 yt2为减函数，t当 t1时， y 取最小值为 3，所以3 .【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，重点考查了均值不等式，属中档题.24 (1)x x【解析】【分析】2 ； (