点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

1、学习必备欢迎下载点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用广西南宁外国语学校隆光诚（邮政编码530007）圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。定理在双曲线x2y210b

2、0l与双曲线相交于M、N两点，点（a ，）中，若直线a2b2P( x0, y0)是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线l的斜率为kMN，则kMNy0b2.x02ax12y121,(1)( x1,y1)、( x2,y2)，则有a2b2证明：设 M、 N 两点的坐标分别为x22y221.(2)a2b2(1)x12x22y12y220.(2)，得a2b2y2y1y2y1b22.x2x1x2x1a又kMNy2y1y1y22y0y0.x2x1,x22x0 x0 x1y0b2kMNx0a2.同理可证，在双曲线y2x21（a 0，b0）中，若直线l与双曲线相交于M、N 两点，a2b2点P( x0, y0)

3、是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线l的斜率为kMN，则kMNy0a2.x0b2典题妙解2例 1 已知双曲线C : y2x1，过点P(2,1)作直线l交双曲线 C 于 A、 B 两点 .3学习必备欢迎下载（ 1）求弦 AB 的中点 M 的轨迹；（ 2）若 P 恰为弦 AB 的中点，求直线l的方程 .解：（1）a21, b23,焦点在 y 轴上 .设点 M 的坐标为(x, y)，由kABya21y1，xb2得：yx2x3整理得：x23 y22x3y0.所求的轨迹方程为x23 y22x3y0.（ 2）P 恰为弦 AB 的中点，y0a211,即kAB2.由kAB得：kABx0b2233直线l的方

4、程为y12( x2)，即2x3 y1 0.3例 2已知双曲线C: 2x2y22与点P(1,2).（ 1）斜率为k且过点 P 的直线l与 C 有两个公共点，求k的取值范围；2）是否存在过点P 的弦 AB ，使得 AB 的中点为 P？3）试判断以Q(1,1)为中点的弦是否存在.解：（ 1）直线l的方程为y2k (x 1)，即ykx2 k.ykx2k,22)22(22 )2460.由得(kxkxkk2x2y22.k直线l与 C 有两个公共点，k220,得4(k22k )24(k22)(k24k6)0.解之得：k3且k2.22,3).k的取值范围是(,2 )(2, 2 ) (2（ 2）双曲线的标准方程

5、为x2y21,a21,b22.2设存在过点 P 的弦 AB ，使得 AB 的中点为 P，则由kABy0b2得：k 22, k1.x02a由（ 1）可知，k 1时，直线l与 C 有两个公共点，存在这样的弦.这时直线l的方程为yx1.学习必备欢迎下载（ 3）设以Q(1,1)为中点的弦存在，则由kABy0b2得：k 1x0a2由（ 1）可知，k2时，直线l与 C 没有两个公共点，设以Q(1,1)为中点的弦不存在 .例 3 过点M(2,0)作直线l交双曲线C:x2y21于 A 、B 两点，已知OP为坐标原点） ，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：在双曲线C : x2y21中，a2b21，焦点

6、在x轴上 .设弦 AB 的中点为Q.OPOAOB,由平行四边形法则知：OP2OQ，即 Q 是线段 OP 的中点 .设点 P 的坐标为( x, y)，则点 Q 的坐标为x,y.22yb2yyyy由221，kABxa2得：x2xx 4 x22整理得：x2y24 x0.配方得：( x2)2y21.44点 P 的轨迹方程是(x2)2y21，它是中心为44x2 0的双曲线 .例 4. 设双曲线C的中心在原点，以抛物线y22 3x4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线（）试求双曲线C 的方程；（）设直线l : y2x 1与双曲线C交于A, B两点，求AB；（）对于直线l : ykx 1，是

7、否存在这样的实数k，使直线l与双曲线C的交点A, B关于直线l: yax4(a为常数 )对称，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由解：（）由y223x 4得y22 3( x2)，3学习必备欢迎下载p3 (2,0)x321.3232c2,Ca231.a21,b21.3c2 3C3x2y21.y2x1,x24x 20.3x2y21.( ,),( ,).y1B x2y2x1x24, x1x22A x1|AB|(1k2)( x1x2)24x1x2(1 22)(4)242klCA, Bl.a1l: yy0b2kABx0a2ky01x04ky0kx0k, y01x4.ABP(x0, y0).kky03x

8、0.4k.y0kx013k21k2.3x2y21,(k23)x22kx20.ykx1.lCAB4k28(k23)0k26k23.kk2.金指点睛1. (03)F ( 7 ,0)yx 1MNMN23学习必备欢迎下载x2y2B.x2y21C.x2y2x2y2A.14351D.1342252.（ 02 江苏）设 A、 B 是双曲线x2y21上两点，点N (1,2)是线段 AB 的中点 .2（ 1）求直线 AB 的方程；（ 2）如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线相交于C、 D 两点，那么A、 B、 C、 D 四点是否共圆，为什么？3. 已知双曲线x2y21，过点P(1,3)作直线l交双曲线于 A、

9、B 两点 .322（ 1）求弦 AB 的中点 M 的轨迹 ;（ 2）若点 P 恰好是弦 AB 的中点，求直线l的方程和弦 AB 的长 .4、双曲线 C 的中心在原点，并以椭圆x2y21的焦点为焦点， 以抛物线y22 3x的准线为2513右准线 .（ 1）求双曲线C 的方程；（ 2）设直线l : ykx3( k0)与双曲线 C 相交于 A、 B 两点，使 A、 B 两点关于直线l: ymx6( m0)对称，求k的值 .参考答案21. 解：在直线yx1中，k1，x时，y3b25得a22,b2又由a225.a2b2c27故答案选 D.2.解：（ 1）a21,b22，焦点在x上. 由kAB所求的直线

10、AB 方程为y2 1 (x1)，即xy（ 2）设直线 CD 的方程为xym0，点N (1,2)在直线 CD 上，1 2m0，m 3.直线 CD 的方程为xy3 0.学习必备欢迎下载yb2得：1y，即y2x.又设弦 CD 的中点为M ( x, y)，由kCDa22xxxy 3 0,由得x3, y6.y2x.点 M 的坐标为( 3,6).xy10,又由x2y21.得A(1,0), B(3,4).2由两点间的距离公式可知：|MA| |MB|MC| |MD| 210.故 A 、 B、 C、 D 四点到点 M 的距离相等，即A、B、C、D 四点共圆 .3.解：（ ）a21,b2，焦点在x上.设点M的坐标

11、为(x, y).1若直线l的的斜率不存在，则lx轴，这时直线l与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l的的斜率存在 .3yb2yy由kAB得：23，xa21 xx2整理，得：6x22y23y.x点 M 的轨迹方程为6x22y23x3y0.y0b23（2）由kAB得：kAB23，kAB1.x0a21321)，即y所求的直线l方程为y1 ( xx1.22由x2y21,得x220，3yx1.解之得：x12, x21.| AB|1 k2| x2x1|23 32.4.解：（1）在椭圆x2y21中，a5, b13,ca2b22 3，2513学习必备欢迎下载F1(23,0), F2(23,0).y223xp33.x2