第四章机械的振动

1、习题四4-1符合什么规律的运动才是谐振动？分别分析下列运动是不是谐振动：(1) 拍皮球时球的运动；(2) 如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很短)题4-1图解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如 质量、转动惯量、摆长等等在运动中保持为常量；二，系统 是在自己的稳定平衡位置 附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用. 或者说，若一个系 统的运动微分方程能用d2 dt描述时，其所作的运动就是谐振动.(1) 拍皮球时球的运动不是谐振动第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位 置；第二，球在运动

2、中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都 不是线性回复力.(2) 小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动.显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量； 该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点， 即系统势能最小值位置点 O ;而小球在运动中的回复力为-mg sinv，如题4-1图(b)所示题 中所述，S << R，故T0,所以回复力为 -mgr.式中负号，表示回复R力的方向始终与角位移的方向相反即小球在 O点附近的往复运动中所受回复力为线性 的若以小球为对象，则小球在以 O为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律， 在凹槽切线

3、方向上有mRdt2=-mg-令'2噹，则有 .2dt24-2劲度系数为k1和k2的两根弹簧，与质量为m的小球按题4-2图所示的两种方式连接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期.题4-2图解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有F二R = F2，设串联弹簧的等效倔强系数为K串等效位移为x，则有F| = _ k<i Xi又有kik2所以串联弹簧的等效倔强系数为汗2即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为k = 2/(匕 k2)的弹簧振子系统，故小球作谐振动.其振动周期为=2:m（kk2）ki k?图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有F = Fi

4、= F2，即x = Xi = X2，设并联弹簧的倔强系数为k并，则有故同上理，其振动周期为k 并 = k1x1k2x2k并 二匕 k2T =2二4-3 如题4-3图所示，物体的质量为m，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为二，弹簧的倔强系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R 先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期.题4-3图解：分别以物体 m和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有mgsinf m密1 dt2R-T2R 二 I -d2xdt2R'-

5、T2 =k(x°x)式中xo二mgs in二/k，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有2kR2° 一 mR2 + I则有dt2故知该系统是作简谐振动，其振动周期为m I / R2)T =二=2mR 2J (=2二0 kR2 Ko2兀4-4 质量为10 10kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x=0.1cos(8) (SI)的规律3作谐振动，求：(1) 振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；(2) 最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等？t2 =5s与t1 =1s两个时刻的位相差;解：设谐振动的标准方程为 x = Acos( t 0)

6、，则知:A = 0.1m, - 2 二1 s, ° =2二 /34vm =coA=O.8兀 m s' =2.51 m sam =co 2 A = 63.2 ms'Fm=am "63N1 2_2Emv； =3.16 10 J21_2Ep = Ek E =1.58 10 J2当 Ek 二 Ep 时，有 E = 2Ep,xA一2 20=.(t2 _ 1) = 8 (5 _ 1) = 32:4-5 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示如果t = 0时质点的状态分别是：(1) X。- -A;(2) 过平衡位置向正向运动；A过x处

7、向负向运动;2A过x处向正向运动.& 2试求出相应的初位相，并写出振动方程.解：因为X。= Acos%v0 = ccAsi n©0将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相.故有1 =-:2兀x = Acos(Tt 二)32兀3= jix 二 Acos(t2T2ji2兀ji3 :x = A cos(t )3T3_ 5:2兀5x = A cos(t)*)424-6 一质量为10 10-kg的物体作谐振动，振幅为 24cm，周期为4.0s，当t = 0时位移为 24cm .求：t =0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向；(2) 由起始位置运动到

8、x =12cm处所需的最短时间；在x =12cm处物体的总能量.解：由题已知A =24 10，m,T=4.0s2兀0.5二 rad sT又，t =0时，x0 =A,.'0 =0故振动方程为_2x=24 10 cos(05t)m(1)将t =0.5s代入得心.5 =2410, cos(0.5 兀 t)m = 0.17m2F = -ma 二-m x_3 兀 2_3-10 10(?)2 0.17 - -4.2 10 N方向指向坐标原点，即沿x轴负向.由题知，t =0时，爲=0 ,t =t 时X0 = ,且v : 0,故 t =232t/ s尬 3 23(3) 由于谐振动中能量守恒，故在任一位

9、置处或任一时刻的系统的总能量均为1 2 1 2 2E kA m A2 21-310 10 (?)(0.24)= 7.1 10*J4-7 有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0g的物体时，伸长为4.9cm .用这个弹簧和一个质量为8.0g的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后，给予向上的初速度v° =5.0cm s'，求振动周期和振动表达式.= 0.2N m*mg 1.0 10“ 9.8 k X14.9 "0而 t=0 时，Xq - -1.0 1Om,v0 = 5.O 10 2 m s-1 （设向上为正）0.28 10=5,即T 二二=1.26sco（1.

10、0 10，）2 （5.0 1025）22 10tan 0 =VqXq' 5.0 10 工1.0 10，5=1,即、x = . 210, cos（5t 5 二）m44-8 图为两个谐振动的 x-t曲线，试分别写出其谐振动方程.题4-8图3解：由题 4-8 图， t =0 时，Xo = O,Vo 0,.0,又，A=10cm,T =2s22兀二rad sT3 、Xa =0.1cos（：t : ）m2A5 ji由题 4-8 图（b） T t =0 时，x0, v00,0 :23t1 = 0 时，x1=0,v1 ： 0,1 =2二2又故4-96小,5 .丄5兀、Xb =0.1cos（二t）m63

11、一轻弹簧的倔强系数为 k，其下端悬有一质量为M的盘子现有一质量为m的物体从离盘底h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动.(1) 此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同？(2) 此时的振动振幅多大？(3) 取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并 写出物体与盘子的振动方程.M m，即增大.k解：(1)空盘的振动周期为2二M，落下重物后振动周期为2 ：V k(2)按(3)所设坐标原点及计时起点，t =0时，贝U x0二-四碰撞时，以m,M为一系统k动量守恒，即m 2gh = (m M )v0则有V。2gh(3)tan 0Vo4-10(m

12、M)=mg 1 2khk I (m M) g2khX。，, (M m)g(第三象限)，所以振动方程为x=mgk(m M)gcost arcta n2kh(M m)g有一单摆，摆长丨=1.0m，摆球质量 m=10 1O；kg，当摆球处在平衡位置时，若给小球一水平向右的冲量Ft -1.0 10，kg m s'，取打击时刻为计时起点(t=0)，求振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程. 解：由动量定理，有F t = mv -0F t 1.0 10'V 一 m 1.0 10= 0.01-1m s按题设计时起点，并设向右为x轴正向，则知冷=O,v0 二 0.01m s' &g

13、t;00=3二/2动的位相差.题4-11图Ay宀2亠將3.2 1°讣故其角振幅-A；3.2 10 rad l小球的振动方程为3-3.2 10cos(3.13t)rad4-11 有两个同方向、冋频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20m，位相与第一振动的位相差为，已知第一振动的振幅为 0.173m，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振6cos，2 庶22AA24-12n，即二振动的位相差为2 2，这说明，A与A2间夹角为2试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅:JITt捲=5cos(3t -)cm7 二 )cmx2 =5cos(3t3T% = 5cos(3t )cm

14、4兀x2 =5cos(3t)cm解：由题意可做出旋转矢量图如下. 由图知A；二 A2A2 -2AACOS30=(0.173)2(0.2)2 -2 0.173 0.2.3/2= 0.01A2 = 0.1m设角AAO为d，则A =氏 A -2AA2cosr(0.173)2(0.1) -(0.02)2解:(1) = 2 - 2理,332 0.173 0.1合振幅A 二 A A 二 10cm4兀 兀,33A =0合振幅4-13质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为n% = 0.4cos(2t + )m<5x2 =0.3cos(2t-/)m试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅

15、和初相，并写出谐振方程。解： 兀5= _( )-二66Ai sin I A sin 2兀5兀0.4 sin0.3sin-66A cos 1 A cos 20.4 cos0.3 cos6 6= A)-A2 = 0.1m其振动方程为x=0.1cos(2t )m6(作图法略)X方向的振4-14 如题4-14图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，已知 动方程为X =6cos2二tcm，求y方向的振动方程.解：因合振动是一正椭圆， 转，故知两分振动位相差为n 3兀故知两分振动的位相差为 或 ；又，轨道是按顺时针方向旋2 2n.所以y方向的振动方程为2y = 12 cos(2：t )cm解：(1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元 )在某固定平衡位置附近所做的往复运任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置X ,又是时间t的函数，即y = f (