小学奥数教程之-任意四边形、梯形与相似模型教师版(48)全国通用(含答案)

1、任意四边形、梯形与相似模型4- 3- 3.任意四边形、梯形与相似模型题库page 10 of 8例题精讲板块一 任意四边形模型任意四边形中的比例关系(蝴蝶定理”) Sl：S2 $4：6或者81 S3 S2 s4 AO：OC § S2 : S4 S3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面可以使不规则四边 形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.【例1】 图中的四边形土地的总面积是 52公顷，两条对角线把它分成了 4个小三角形，其中 2个小三角形 的面积分别是6公顷和7公顷.那么最大的一个三角形的面积

2、是多少公顷？【考点】任意四边形模型【难度】2星【题型】解答【解析】 在gABE, |CDE中有 AEB CED ,所以ABE , CDE的面积比为(AE EB) :(CE DE).同 理有&ADE, &BCE的面积比为(AE DE):(BE EC) .所以有 abe XSkde = Sade xbce ,也就是 说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积.即S，BE 6 = SADE 7 ,所以有&ABE与&ADE的面积比为 7:6, sLbe = - 39 21 公顷，S4ade

3、=6 39 18 公顷.6 76 7显然，最大的三角形的面积为21公顷.【答案】21【例2】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD,被对角线 AC、BD分成四个部分， 4AOB面积为1平方千米，BOC面积为2平方千米，ACOD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【考点】任意四边形模型【难度】2星【题型】解答【关键词】小数报【解析】根据蝴蝶定理求得 SAAOD 3 1 2 1.5平方千米，公园四边形 ABCD的面积是1 2 3 1.5 7.5平 方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.92 0.58平方千米【答案】0.58【例3】 一个

4、矩形分成4个不同的三角形（如右图），绿色三角形面积占矩形面积的15%,黄色三角形的面积是21平方厘米.问：矩形的面积是多少平方厘米？【考点】任意四边形模型【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛，初赛，第 7题【解析】黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%,而绿色三角形面积占矩形面积的15%,所以黄色三角形面积占矩形面积的50%- 15%= 35%已知黄色三角形面积是 21平方厘米，所以矩形面积等于21与5%= 60（平方厘米）【答案】60【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形BGC的面积；AG:GC【难度】2星 【题型】解答S BGC

5、12 3,那么 S BGC 6 ；AG: GC 1 2 : 3 61:3.【考点】任意四边形模型【解析】根据蝴蝶定理,根据蝴蝶定理,【答案】1:3【例4】 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）.如果三角形 ABD的面积等于三角形 BCD的 面积的1 ,且 ao 2 , D0 3 ,那么CO的长度是 DO的长度的 倍.3【考点】任意四边形模型【难度】3星【题型】填空【解析】在本题中，四边形 ABCD为任意四边形，对于这种 "不良四边形”，无外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形.看到题目中给出条件S：abd：S；bcd

6、 1：3 ,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法.又观察题目中给出的已 知条祚是面初的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改 造这个"不良四边形”，于是可以作 AH垂直BD于H , CG垂直BD于G,面积比转化为高之比.再 应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果.请老师注意比较两种解法，使学 生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题.【例5】解法一：AO ：0C SABD : SBDC解法二：作AH BD于H , CG1c S ABD - S BCD ,3OC :0D 6:32倍如图，平行四边形1AH

7、 -CG ,31:3 , . OC 2 3 6, OC:OD 6:3BD 于 G .2:1 .2 3 6,ABCD的对角线交于 0点，4CEF、AOEF > AODF > BOE的面积依次是2、4、4和6.求：求OCF的面积；求 4GCE的面积.【考点】任意四边形模型【难度】3星【题型】解答2 8,【解析】根据题意可知，4BCD的面积为2 4 4 6 16,那么ABCO和 CDO的面积都是16所以OCF的面积为8 4 4;由于ABCO的面积为8, 4BOE的面积为6,所以OCE的面积为8 6 2,根据蝴蝶定理，EG：FG S COE : S COF 2 : 4 1:2,所以 S G

8、CE ： S GCF EG: FG 1:2 ,112那 A S gce S cef - 2 1 2333【例6】 如图相邻两个格点间的距离是1,则图中阴影三角形的面积为 面积为：3 3 1 2所以S ABO 一 4 7ACD的4:7 ,【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】填空【关键词】清华附中，入学测试题【解析】 连接AD、CD、BC .则可根据格点面积公式，可以得到ABC的面积为：1,12,2 4-, _ _ _3.5, ABD 的面积为：2 1 3 .所以 BO:OD S abc : S acd 2:3.524 125 ABD - 3111111【巩固】如图，每个小方格的边长都是【考

9、点】任意四边形模型【难度】4星【题型】解答【解析】因为BD:CE2:5，且 BD / CE ,所以 DA: AC 2:5 , S ABCS DBC10【例7】如图，边长为1的正方形ABCD中，BECFFD ,求三角形 AEG的面积.ADADBEC BE C【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】解答【关键词】人大附中考题【解析】连接EF .因为BE 2EC , CF FD ,所以 S DEF1(2因为S AED1s5 s ABCD,根据蝴蝶定理,AG : GF1 SABCD 一 S 12 -ABCD 所以S AGD6S GDF6ss ADF74S所以S AGES AEDS AGD- SABC

10、D( ABCD-S-14 -s14 -ABCD2 12ABCD 2S7 SABCD例8即三角形AEG的面积是2 .7如图，长方形 ABCD中，BE: EC 方形ABCD的面积.2:3 ，DF:FC 1:2,三角形DFG的面积为2平方厘米,求长【考点】任意四边形模型解答因为 BE: EC 2:3, DF : FC 1:2,所以 SDEF9 1 3s长方形abcd IS长方形abcd.5 3 210例9因为SAED1%方形3g5"5:1,所以S AGD 5sGDF10平方厘米，所以 S AFDdhl|J12平方厘米.因为S.AFD6形ABCD'所以长方形ABCD的面积是72平方厘

11、米.72如图，已知正方形 角形BDG的面积.ABCD的边长为10厘米,E为AD中点,F为CE中点，G为BF中点,ADG【考点】任意四边形模型C【难度】4星【题型】【解析】设BD与CE的交点为O ,连接BE、DF .由蝴蝶定理可知EO : OCSBED : S BCD , 而 S BEDISs ABCD )2EO:OC SBED :SBCD 1:2,H.MEO3ec-由于F为CE中点，所以EF故 EO:EFFO:EO由蝴蝶7E理可知SBFD : SBEDFO : EO 1: 2 ,所以S'.BFD那么 S ：bgd SBFD-SABCD216 -110 10 6.2516（平方厘米）.M

12、NC的面积是BC根据蝴蝶定理得S MONS AOM S BONS AOB【答案】6.25 【例10 如图，在 ABC中，已知M、N分别在边 AC、BC上，BM与AN相交于O,若 AOM、 ABO和BON的面积分别是 3、2、1,则【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】填空【解析】这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解.设S MON X ,根据共边定理我们可以得S ANMS MNC【答案】22.5S ABMS MBC225【例11】 正六边形AA2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米,B1B2B3B4B5B6分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米.

13、【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯，6年级。初赛【解析】如图，设B6A2与B1AB的交点为O,则图中空白部分由6个与 &OA3一样大小的三角形组成，只要求 出了 A2OA3的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积.连接 AA、B60、B6A3.设 A1B1B6的面积为”1 ；则 B4B6面积为"1 : A1A2B6面积为"2 ；那么 A3A3B6面积为 A1A2B6的 2倍，为”4 ；'梯形AA2A3A6的面积为2 2 4 2 12, AB6A3的面积为”6 ； B1A2A3的面积为2 .根据蝴蝶定理，RO A3O S

14、 B1A2B6 ： S A3A2B6 1： 6 ,故 S AOA3 S BM - ,16127121所以SAOA3：S弟形AAAA y：12:1: 7 ,即 A20A3的面积 为梯 形人丹丹上面积的1 ,故为K 边形AA2A3A4A5人面积的工，那么空白部分的面积为正六边形面积的工6刍，所以阴影部分面积为141473一一，2009 1 - 1148（平方厘米）.【答案】1148【例12 如图，ABCD是一个四边形， M、N分别是AB、CD的中点.如果 AASM > MTB与ADSN的面 积分别是6、7和8,且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为 .【考点】任意四边形模型

15、【关键词】 迎春杯，高年级组，决赛，【解析】连接MN、AC、BD.由于M是AB的中点，所以5星12题【题型】填空AMN与BMN的面积相等，而MTB比 ASM的面积大1,所以 MSN比 MTN的面积大1;又由于N是CD的中点，所以 DMN的面积与 CMN的面积相等，那么 CTN的面积比 DSN的面积大1,所以 CTN的面积为9.ASD的假设 MTN的面积为a,则 MSN的面积为a 1 .根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知 面积为48L , BTC的面积为63 .a 1a要使这两个三角形白面积为整数，a可以为1, 3或7.由于 ADM的面积为 的面积之和为四边形ABD面积的一半， BCN的面积为A

16、BCD面积的一半，所以ADM与BCD面积的一半，所以 ADM与 BCNBCN的面积之和等于四边形 BMDN的面积，即：里6a 1将a 1、639 7a3、7分别代入检验,1 8,得色封2a 1.a 1 a只有a 7时等式成立，所以MTN 的面积为 7, MSN、ASD、 BTC的面积分别为8、6、9.四边形ABCD的面积为6小结：本题中 且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的.【答案】60【例13】已知ABCD是平行四边形,BC:CE 3:2,三角形ODE的面积为6平方厘米。则阴影部分的面积平方厘米。【考点】任意四边形模型【难度】4星【关键词】学而思杯，6年级，第五题【题型】填空【解

17、析】 连接AC。由于ABCD是平行四边形，BC:CE 3:2,所以CE: ADS jCOE : SAOC : S22DOE : SAOD 2 : 2 3: 2 3: 34:6:6:9 ,所以Sg AOC方厘米），又Sb ABC SACD 6 9 15 （平方厘米），阴影部分面积为6 taJL2:3 ,根据梯形蝴蝶定理，6（平方厘米），SAOD 9（平15 21 （平方厘米）。33【考点】任意四边形模型【难度】4星【题型】填空【例14】正方形ABCD边长为6厘米，AE = - AC , CF = - BC o三角形DEF的面积为 平方厘米。【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 13题1【解析】为AE 1 AC,所以三角形ADE的面积为三角形 3一 一 1ACD 的-3,即正方形ABCD的1-1。因为2 3 6【例15】1AE -AC , CF3-BC ,所以三角形CEF的面积为三角形 ABC面积的2 133 3的面积是三角形 ABC面积的1 2911DCF的面积是正方形面积的 -12 3即62 10 (平方厘米)。1810如图4,在三角形 ABC中,2 ，一一士,所以四边形ABFE97_ 177 一. 1 ,一一7 ,即正方形面积的 1 7 看，因为CF 2bc ,所以三角形117 5-,所以三角形