因式分解知识点归纳

1、因式分解知识点回顾1、因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互为逆运算2、常用的因式分解方法：（1 ）提取公因式法:ma + mb + m c = m(a + b + c)（2）运用公式法:平方差公式：a2-b2=（a +b）（a-b）；完全平方公式：a2 ±2ab + b2 =(a±b)2（3）十字相乘法:2x +(a+b)x +ab =(x +a)(x +b)因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字

2、相乘法分解，不行的再用求根公式法。（4）最后考虑用分组分解法5、同底数幕的乘法法则：amUan =am* （ m, n都是正整数）同底数幕相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：(a +b)2b：a +b)3 =(a +b)56、幕的乘方法则：（am）n =amn（ m,n都是正整数）幕的乘方，底数不变，指数相乘。如：（35）2 =310幕的乘方法则可以逆用：即amn = （am）n =（an）m如：4® =(42)3 =(43)27、积的乘方法则： （ab）n =anbn（ n是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。亦 / c3 25 ，c5 z35 ,2551

3、5 10 5如：(一2x y z) =(一2) (x ) (y ) z =32x y z8同底数幕的除法法则：aaam"n（a工0,m, n都是正整数，且m n）同底数幕相除，底数不变，指数相减。如:(ab)4 十(ab) = (ab)3 = a3b39、零指数和负指数;a0 =1，即任何不等于零的数的零次方等于1。1.同底数幕、幕的运算: m n m+n a a=a（a ）；例题1.若2 =64，则 a=;若 27X3n =(3)8，贝y n=例题2.若5"十=125，求(X - 2)2009'的值。例题3.计算 k-2ytn2xfma = （ a hO, p是正

4、整数），即一个不等于零的数的 -P次方等于这个数的 P次方的倒数。 a43131如: 2：=（2）=810、单项式的乘法法则： 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项 式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意： 积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 相同字母相乘，运用同底数幕的乘法法则。 只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：-2x2y3z3xy =11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加,

5、即 m(a + b + c) = ma +mb +mc( m, a,b,c都是单项式 ) 注意： 积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。 运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如：2x(2x 3y) 3y(x + y)12、多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。(3a +2b)(a -3b)如：(x+5)(x-6)三、知识点分析:（m， n都是正整数）. '=amn（ m， n都是正整数）.练习a2n =3，贝y a6n=.O2设 4x

6、=8y-1,且 9y=27x-1,则 x-y 等于2积的乘方(ab)n=anbn(n为正整数)积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘例题 1.计算：tn-mf 43.乘法公式平方差公式：(a+bla-b)=a2-b2完全平方和公式:(a + b S =a2+ 2ab +b2完全平方差公式:(a -b 2 =a2-2ab +b2例题1.利用平方差公式计算：2009X2007-20082例题2.利用平方差公式计算： 2 2007.2007 -20020063. (a-2b+ 3c-d) (a+ 2b- 3c- d)考点一、因式分解的概念因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的

7、积的形式，叫做因式分解。 因式分解和整式乘法互为逆运算1、下列从左到右是因式分解的是()2 2 2A. x(a-b)=ax-bx B. x-1+y =(x-1)(x+1)+y2C. x -1=(x+1)(x-1) D. ax+bx+c=x(a+b)+c2 2 22、若4a +kab+9b可以因式分解为(2a3b)，则k的值为3、已知a为正整数，试判断a2 + a是奇数还是偶数?4、已知关于x的二次三项式2x +mx + n有一个因式(X+5)，且m+n=17，试求 m, n的值考点二提取公因式法提取公因式法： ma + mb +m c =m(a +b + c)公因式：一个多项式每一项都含有的相

8、同的因式，叫做这个多项式各项的公因式 找公因式的方法：1、3、系数为各系数的最大公约数2 、字母是相同字母字母的次数-相同字母的最低次数习题1、将多项式20a3b22-12a bc分解因式，应提取的公因式是(2A、abB、 4a bC、4ab2D、 4a bc2、已知(19x-31)(13x17)-(13x-17)(11x-23)可因式分解为(ax + b)(8x + c)，其中 a, b, c 均为 整数，则a+b+c等于（）C、3872A、-12B、-323、分解因式(1) 6a(a +b) 4b(a +b)3a(x- y) -6b(y-x)(3)xn-xnf2(4)(-3)2011 +(

9、-3)20104、先分解因式，在计算求值(1)(2x-1)2(3x +2)-(2x-1)(3x +2)2-x(1-2x)(3x +2) 其中 x=1.5(2)(a-2)(a2+a+1)-(a2-1)(2-a) 其中 a=185、已知多项式X4 +2012X2 +2011X+2012有一个因式为 x2+ax + 1，另一个因式为x2+bx + 2012 , 求a+b的值22 536、若ab +1=0，用因式分解法求 -ab（a b -ab -b）的值7、已知 a，b，c 满足 ab中a中b =bc + b+c = ca + c + a = 3，求(a+1)(b + 1)(c+1)的值。(a，b，

10、c都是正整数）考点三、用乘法公式分解因式平方差公式 a?b? = (a+b)(ab)运用平方差公式分解的多项式是二次项，这两项必须是平方式，且这两项的符号相反 习题1、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（2 2A、 x +4y-X2 -4y22 2 2 2x -2y +1 C x +4y2、分解下列因式(1)3x2 -122(2) (x + 2)(x+4) + x -42 2(x + y) -(x-y)(7)3、若X3 -xy?2009X201120102 -1n为正整数，则(5)(a-b)2-1(6)9(a-b)2 30(a2 b2) +25(a +b)2(2n +1)-(2n-1)2

11、一定能被 8 整除完全平方式 a2 ±2ab+b2 = (a ±b)2运用完全平方公式分解的多项式是三项式，且符合首平方，尾平方，首尾两倍中间放的特点，其中首尾 两项的符号必须相同，中间项的符号正负均可。习题1、在多项式x2+2xy -y2x2+2xy-y2x2+xy+y24x2+1+4x中，能用完全平方公式分解因式的有（A、 B 、 C 、 D 、2、下列因式分解中，正确的有(4a-a3b2 =a(4-a2b2) x2y-2xy+xy =xy(x -2)-a + ab ac =a(a-b - C) 2 2 2 2 2 29abc6a b=3abc(3-2a)一x y+_x

12、y = xy(x +y)333A、0个 B 、1个 C 、2个 D 、5个3、如果X2 +2(m-3)x+16是一个完全平方式，那么m应为(A、-5D、7 或-14、分解因式2(1) mx -4mx +2m2a2-4a +2-x3 + 2x2 -X2 2(4) (2x +3) -(x-3)2(5)8x y -8xy + 2y2 2(7)4x 12xy+9y 4x+6y-3(6)(x2-2xy)2+2y2(x2-2xy)+y 415、已知 a+b=2， ab = 2，求一a22 26、证明代数式X +y 10x+8y+45的值总是正数7、已知a， b， c分别是4ABC的三边长，试比较(a2 +

13、b2 -c2)2与4a2b2的大小考点四、十字相乘法2(1)二次项系数为1的二次三项式x + Px + q中，如果能把常数项2并且a+b等于一次项系数 P的值，那么它 就可以把二次三项式 xq分解成两个因式a、b的积,px+q分解成2 2例题讲解1、分解因式：x2+5x+6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于由于 6=2 X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6),2 2解：X +5x+6 = x +(2+3)x+2x3=(x+ 2)( X + 3)1用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积,例题讲解2、分解因式：x2-7x + 6解：原式=x2 +

14、(-1)+(_6)x+(-1)(-6)= (x1)(x-6)5。从中可以发现只有1夂3X 2+1X 3=5且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。2 X 3的分解适合，即2+3=5)1-6 _(-1+ (-6 ) = -7练习分解因式(1) X2 +14x +24 15a +36X2 +4x -5(4) x2 +x -22y -2y-15X2 -10X-242、二次项系数不为 1的二次三项式 条件：(1)(2)(3)分解结果：=a1a2=%2-ac +ax2+ bx +ccb2ax +bx +c = (a1X +G)(a2x + c2)CiC2b =aiC2 +a2Ci例题讲解1、分解因式：分

15、析：解：3x2分解因式：(1)3x2 -11x+103 1-5 -2 X(-6 ) + (-5 ) = -11-11x +10 = (x -2)(3x - 5)5x2 +7x-6(2) 3x2-7x 中 2X +px+q=x +(a +bk+ ab=(x +a)(x +b)2(4) 一6y2 +11y+103、二次项系数为1的多项式例题讲解、分解因式：a2 -8ab -128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 8b1-16b8b+(-16b)= -8b+8b +(-16b)a +8bx (16b) = (a + 8b)(a -16b)分解因式(

16、1) X2 -3xy+2y2m2-6mn+8n2(3) a2-ab-6b24、二次项系数不为1的多项式 例题讲解12x2 - 7xy +6y2-2y-3y2(-3y)+(-4y)= -7y解：原式=(x 2y)(2x -3y)x2y2 -3xy + 2把xy看作一个整体1-2 _-1)+(-2)= -3解：原式=(xy1)(xy -2)分解因式：(1) 15x2 +7xy-4y22 2(2) a x - 6ax + 8解：a2 -8ab-128b2=a2x3y2 -4x(3) X3 + 6x2 27x(4)a2 -b2 -2b-1考点五、因式分解的应用1、分解下列因式2(1)3x -32、计算

17、下列各题2(1)(4a -4a+1)-(2a -1)2 2 2(2)(a2+b2-c2-2ab)-(a-b-c)3、解方程2 2(1)16(x +1) =25(x-2)2(2) (2x+3) =(2x +3)4、如果实数b，且=，那么a+b的值等于 b+15、1 -22 *32 -42 卫-62 +3+45+61+2+ 20092 -20102 +2O112-2O122 2009 +20102011 + 20126、若多项式2x +ax-12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，试确定符合条件的整数a的值（写出3个）7、先变形再求值14334(1)已知 2x-y=16，xy=4，求 2xy-xy 的值(2)已知 3x2 8x+2 =0，求一12x2 +32x的值8、已知a、b、c为三角