巩固练习立体几何中的向量方法(提高)126最新修正版

1、最新修正版【巩固练习】、选择题11.若直线I的方向向量a= (,0,1)，平面P的法向量为b= (1,0,2)，则(2A.丨 P B .丨丄P2.若平面a的法向量为直线I的方向向量为V,直线I与平面a的夹角为0，则下列关系式成立的是().卩VA. cose =H|v|4 VC . sin 日=D . sin 日|»|v|_|v|"|v|3.已知平面a内有一个点 中，在平面a内的是(A (2, 1, 2), a的一个法向量为 n= (3, 1 , 2),则下列点P).A . (1, 1, 1) B3.(1, 3,-)233C . (1, 3, -) D . ( 1, 3,-)

2、224. P是二面角a - AB - P棱上的一点，分别在a、P半平面上引射线 PM PN如果/ BPM=/ BPN=45 , / MPN=60，那么二面角的大小为(A . 60°B . 70° C . 80°5 .已知ABC-ABG是各条棱长均等于AB D的距离().D . 90°a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点.点G到平面B.72a8D.乜2a26. (2015 春广安校级月考)若向量444= (x,4,5) , (1-2,2)，且a与b的夹角的余弦值为纟则6x=()A. 3B. 3 C.-11D. 3 或一1117.在三棱锥 P ABC中，A吐B

3、C AB= BO - PA点O D分别是AC PC的中点，OPL底2面ABC则直线OD与平面PBC所成角的正弦值C.721060D.更30二、填空题9.m= ( 1, 2, 0), n=( 3, 0, 2),且 m n若平面a的一个法向量为n= (3, 3, 0),直线I的一个方向向量为b= (1, 1, 1)，则I与 所成角的余弦值为 .若分别与一个二面角的两个面平行的向量都与二面角的棱垂直，则该二面角的余弦值为 .10. 正方体 ABCD-ABQD中，E、F分别为 AB CC的中点，则异面直线 EF与AQ所成角的 大小是。11. 在棱长为1的正方体ABCD-AB1C1D1中，E、F分别是A

4、B、CD的中点，求点B到 截面AEC1F的距离.三、解答题12. 如图，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF , Z BCF=9。求证：AE/ 平面 DCF.Ai13.如图，正四棱柱ABCD -ABQD 中，AA, =2AB =4，点E在CC1上D1 I * 、Ci且 GE =3EC .求二面角 A - DE -B的余弦值.14. (2015 新课标 I )如图，四边形ABCD为菱形，/ ABC=120 ,E , F是平面ABCD同一侧的两点，BE1平面ABCDDF丄平面 ABCD BE=2DF AE丄 ED(I )证明：平面 AECL平面 AFC(n )求直线AE与直线

5、CF所成角的余弦值。15.(2015 山东)如图，在三棱台 DEF-ABC中，AB=2DE G H分别为AC BC的中点。(I) 求证：BD/平面FGH;(II) 若 CF丄平面 ABC, AB丄BC, CF=DE / BAC=45,求平面 FGH与平面 ACFD所成 的角(锐角)的大小。【答案与解析】1.【答案】B；【解析】由于b= -2a，所以丨丄P。2.【答案】D【解析】 若直线与平面所成的角为e，直线与该平面的法向量所成的角为 9 =90。P。3.【答案】B【解析】 要判断点P是否在平面内，只需判断向量 pA与平面的法向量 n是否垂直，即PA n是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个

6、检验。对于选项A, PA=( 1 ,0,1 )，则 PAn=( 1 ,0, 1 ).(3, 1,2) =5 工 0，故排除 A；对于选项B, PA =(1, f11,则 PA n =1,4,-I 2丿I 2丿(3 1 2) O ，故B正确，同理可排Bo除C D。故选4【答案】D【解析】 不妨设PM=a PN=b作MEL AB于点E, NF丄AB于点F,如图所示。/ BPMM bpN=45 , PE 诗，P，翫.FNnPMPE)(PNP?)=PM 需PM 需PE tn 启:PFfiba a. a b= abcos60 -a -cos45 bcos45 +V2V2V2 V2=也_岂_岂+竺=0o.

7、 EM丄fN o2 2 2 2 EM FN分别是a、p内与棱AB垂直的直线, EM与 FN之间的夹角就是所求二面角，即a -AB-P的大小为90°。5.【答案】A【解析】7 abb a为正方形，AB丄AB,又平面 AB D丄平面abb a . A B丄面ABD，二AB是平面AB D的一个法向量，设点 C到平面AB D的距离为d，贝UAC ”Ab|AC (AA+AB)T T T TAC A A+AC AB)0 + a XaXcos6O0最新修正版36.【答案】A【解析】cos<a,bxi=lallbl 3fX41X中2區，解得x = 11或x=36又 X+ 2 >0,x A

8、-2,所以 X =3.7.【答案】D;【解析】7 0P 丄平面ABC, OA=OC, AB=BC,二 OA 丄OB, OA 丄OP, OB 丄 OP.以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyZ如图卜a,0,0 ./设AB=a,则A便V2设OP=h,贝UP(0,0,h) :PA=2a,二 h=£a,(忑 5:.OD=ia,0,I 4a,0,0lBM丿I4 a(7可求得平面PBC的法向量n-1,1,721030”cosfoD,聲=Odl Ji =ODj忖设OD与平面PBC所成的角为0,则 sin 日=cosOD,n =7210308.【答案】至3【解析】由站小諾罟昇1)

9、+1也，知l与所成角的余弦值为39.【答案】3765 亠 365或6565最新修正版0 【解析】3765 或65 或3届O65 cos（m,n_（-1理（严匸2）- j 3阿 该二面角的余弦值为斤NQR76565310.【答案】【解析】CFZ4A3 X30°，设 B ( 2, 0, 0),2), A ( 0, 0, 2),以A为原点建立直角坐标系（如图所示）则 E （1 , 0, 0）, F （2, 2, 1）, G （2, 2,= (1,2,1), AC(2,2,0),(1,2,1)(2,2,0)晶2丘- cos(EF,ACi=30°。11.【答案】3【解析】以D为原点，

10、建立如图所示的空间直角坐标系.贝y A (1,0,0), F1 1(O,?,。)，E (巧1)./.aE =(0,1,1),AF =（七,0）； 设面AECF的法向量为n =（1,扎,）,4 T 4 T则有：n AE =0, n AF =0 ,2 二宀2, 一1+1"0厂2”".n =(1,2,1),又 AB =(0,1,0),所以点 B 到截面 AECF 的距离为 pn =12.【解析】如图，以点C为坐标原点，以CB, CF和CD分别作为x、y和z轴，建立空间直角坐标系C - xyz .最新修正版则 C(0,0,0), A(b,O,a), B(b ,0,0), E(b,

11、c,0). AE=(0 , c , -a), CB=(b , 0, 0),因为CB丄平面DCF ,所以CB是平面DCF的法向量因为=0,且 AEU 平面 DCF ,故AE /平面DCF .13.【解析】以D为坐标原点，射线 DA为X轴的正半轴,建立如图所示直角坐标系D-xyz .依题设，B(2,2,0), C(0,2,0), E(0,2,1), A(2,0,4).DE =(0,2,1),DB =(2,2,0),AC =(2,2, 4),DA =(2,0,4).设向量n=（X, y, z）是平面DA1E的法向量，则nd DE n 丄 DA,.故 2y+z=0, 2x+4 z=0 .令 y=1，贝

12、U z = 2 x=4 n= (4,1, 2). (n ,AC)等于二面角 ADEB的平面角，cos n,n714n AC42所以二面角 A, - DE - B的的余弦值为7174214.【解析】(1 ) ABCD为菱形， AC丄 BD. 连接AC, BD,交于点O.以O为原点，OB为x轴正方向,方向，建立空间直角坐标系 0-xyz,则z轴和BE平行. 可设 ABCD边长为 2, DF=h ( h > 0).则 A(0, 73,0) , E (1, 0, 2h), C03 丁Oc为y轴正F (- 1, 0, h).T T 4AE丄EC, AE EC =0.而 AE=(1,73,2h),

13、"EC =(1,73,2h),2- 1+3 4h =0,卄,0申.AC =(0,273,0),设面AEC的法向量为冲 Im ”AC =0 则«耐T呻m ”AE = 0求得 m = (J2,0,AE =(1,73"), "A? =(-1,73,亚).2m = (X1,y1,z,),而AFC法向量为n二化皿卫),AJnin”AC =0” AF =0=(逅0, 2).面 AEC丄面 AFC.(2)AE =(1,73,72), C?=(_1,_73，返2ICO屁乱器=弓所以直线AE和CF所成角的余弦值为 鱼。3（ffi） AC =（0,73,1）,DA =（1,

14、0,1）, EC-（1,。）,2 24设平面ACD的法向量为n =（x, y,z）,H T冲 In DA =0则5 -Mn 'AC =0X + Z =0，即4 _ 如-Z4，令y =1,得n =0=（-73,1,73）.点E到平面ACD的距离h72?715【解析】(I)证法一： 连接GF, 在三棱台AB=2DE0HCD,设 CDn GF=O,连接 DEF- ABC 中，G为AC的中点，可得 DF/ GC, DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形， 则0为CD的中点， 又H为BC的中点， 所以 OH / BD,又OHU平面FGHBDH平面FGH,所以BD/平面FGH证法二： 在三棱台

15、DEF-ABC中，由BC=2EF H为BC的中点， 可得 BH/ EF, BH=EF 所以四边形BHFE为平行四边形， 可得 BE/ EF, 在 ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点, 所以 GH / AB,又GHn HF=H，所以平面 FGH/平面 ABED, 因为BCU平面ABED所以BD/平面FGH(II)解法一：设 AB=2，则 CF=1，在三棱台DEF-ABC中，G为AC的中点，1由 DF = AC =GC ,2可得四边形DGCF为平行四边形,最新修正版因此 DG / FC,又 FC丄平面ABC,所以DG丄平面ABC,在 ABC 中，由 AB丄 BC,/ BAC=45°

16、, G 是 AC 中点，所以 AB=BC GB丄 GC,因此GB, GC, GD两两垂直，以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz,所以 G（0,0,0）, b（V2,o,o）, c（o,72,o）,d（o,o,i）可得H咅，孚0), Fg,0)-72L故GH=（-亍0）,GF（0，,2,0）,设门=(x, y, z)是平面FGH的一个法向量，则由'n £吕0可得.n GF =0X + y =072y + z =0可得 平面FGH的一个法向量n = (1,1,J2),因为GB是平面ACFD的一个法向量， GB =(J2, 0,0)所以 coSGB, n=GB* n72 12|GB|n| 2 血所以平面FGH与平面A