平面向量数量积(基础)-学案

1、全国名校，高中数学，必修四，优质学案，自学，寒暑假辅导专题汇编11学员编号:年 级：咼一课时数：3学员姓名:辅导科目：数学学科教师:授课主题第09讲-平面向量的数量积授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结掌握向量数量积的概念;教学目标掌握向量夹角的计算;了解向量数量积的坐标运算。授课日期及时段T (Textbook-Based)司步课堂体系搭建、知识框架字母表示向we运q实数与向量的积1;g应用知识概念1. 数量积的概念：(1)向量的夹角：如下图，已知两个非零向量a和b,作OA=a, OB=b,则/ AOB= 0 (0°< 0 < 180°)叫做向量a与b的夹角

2、，记作a, b.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b,它们的夹角为0，则数量aIblcosB叫做a与b的数量积,记作 a b, 即卩 a b=|a|b|cos0 .(3)数量积的几何意义：数量积 a b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos 0的乘积.2. 数量积的性质:设e是单位向量，a, e= 0 .e a=a e=|a|cosB .当a与b同向时，a b=|a|b|;当a与b反向时，a b= - |a|b|,特别地，a a=|a|2,或 |a|=J a2(4)a 丄 bu a b=0.cos 0 = a b|a|b|a b|w |a|b|.3. 运算律:(1) a b= b a

3、;( 2)(入a )b=入(a b)= a(入b);(3)(a+ b) c= a c+ b - c.4. 向量数量积的坐标运算:设 a= (xi, yi),b= (X2,，则a b=xix2+yiy2 ；(2)II2,2|a|=Vxi+yi ;,xiX2 +yiy2cos <a, b> =_小2f 2 . _2 _2 寸 Xi +yi 吋 X2 +y2(4)a丄 bu a b=Ou xix2+yiy2=0.典例分析考点一：平面向量数量积的运算与性质例1、给出下列命题：若 a2+b2=0,贝y a=b=0;已知a、b、c是三个非零向量，若a+ b= 0,则|a c|=|b- c|;在

4、 ABC 中，a=5, b=8, c=7,则 BC - CA =20;a与b是共线向量少a b=|a|b|.其中真命题的序号是.(请把你认为是真命题的序号都填上)例2、已知向量a和向量b的夹角为30。, |；|邛冊，则向量a和向量b的数量积化.例3、在 ABC中，M是BC的中点，AM= 1，点P在AM上且满足AP = 2PM,贝U AP (PB+PC)等于()D.C.例4、已知a=(2,3), b=(-4,7),则a在b上的投影为(B.西5A. j13C.）V655-765例5、已知平面上三点 A、B、C满足|AB|=3, |BC|=4 , |CA|=5,则 aB Bc+Bc CA + CA

5、aB 的值等于考点二：平面向量的夹角例1、已知平面向量a , b的夹角为60 ° a =（卮1）, |b|=1，则 |a+ 2b| =（）b . 77C. 273例2、已知非零向量a, b, c满足a + b+c = 0 ,向量a, b的夹角为120 ,且| b |=2 |a | ,则向量a与C的夹角为A . 60B . 90C. 120D.150例3、已知向量a = (1,J3) , a+b= (0,J3)，设a与b的夹角为e ,则0 =考点三：向量数量积的坐标运算 例1、在 ABC中，A= 2, 3 . AC = (1,耳，且 ABC的一个内角为直角，求 k的值.例 2、已知向量

6、 a= (4, 3), b= ( 1, 2).(1)求a与b的夹角0的余弦值；若向量a入b与2a+ b垂直，求入的值.P(P ractice-Oriented)实战演练实战演练课堂狙击1、已知|a|= 3, |b|= 5,且a与b的夹角0- 45°，则向量 a在向量b上的投影为()A竝 f .212、设向量 a, b 满足 |a|= |b|= 1, a b=孑，则 |a + 2b|=(C.B. 733、设a, b, c是任意的非零向量,且相互不共线，则下列结论正确的是A . (a b)c (c a) b= 0C. (b c)a (a c)b 不与 c 垂直B. a b= 0? a =

7、 0 或 b= 0D. (3a + 4b) (3a 4b) = 9|a|2 16|b|24、已知向量a, b的夹角为120,|a|=|b|= 1, c与a + b共线，则|a+c|的最小值为()D .号C. 45、【优质试题-安徽】已知向量a、b满足(a + 2b) (a b) = 6,且|a|= 1,|b|= 2,则a与b的夹角为6、【优质试题重庆】已知单位向量e1, e2的夹角为60°,则|2e1 e2|=7、已知a|= 5, |b|= 4,且a与b的夹角为60°,则当k为何值时，向量 ka b与a+ 2b垂直?1 18、已知 |a|= 1, a b= 4,(a+ b)

8、 Ca b) = 了求bl的值；(2)求向量a b与a+ b夹角的余弦值.课后反击1、若向量c垂直于向量 a和b, d= a +卩b (入、卩 R，且入卩m 0),则A c/ d B c丄d C c不平行于d,也不垂直于 d D .以上三种情况均有可能2、判断下列各命题正确与否:若 a丰 0, a b=a c,贝U b=c;(2)若a b=a c,贝U bM c当且仅当a=0时成立;(a b) c=a (b c)对任意向量 a、b、c都成立;对任一向量 a,有a2=|a|2 3、已知 a=(cosa,sinot),b=(cos P,sin P)(0v aV P V ) 1，则向量a与b的夹角为

9、(1)求证：a+b与a-b互相垂直；(2)若ka+ b与a-kb的模相等，求P-g (其中k为非零实数)4、已知平面向量a,b满足a (a+ b)=3，且a| = 2, b =兀A.65、若向量a, b满足a =1 , b且a丄(a + b)，则a与b的夹角为(2兀3兀C 45兀D 66、若向量a与b的夹角为60|b|=4,(a+2b)( a- 3b) = 72,则向量的模是D 127、已知 |a |=10, |b|=12，且(3a)1(-b) = 36,贝U a与b的夹角是5A 60B 120C 135D 1508、设n和m是两个单位向量，其夹角是60 °,求向量a=2m+n与b=

10、2n-3m的夹角9、若平面向量b与向量a = (1, 2)的夹角是180°,且4|=3丁5，贝b等于B ( 3, 6)A.( 3, 6)D( 6, 3)10、已知向量 a= (3, 4), b= (sin a , cos a )，且 a / b,则 tan a 等于4"311、已知平面向量 a= ( 3, 1), b= (X, 3)且a丄b,则x等于C. 112、已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60 °，那么|a+3b|等于A . 77B . V1013、已知点A ( 1, 2)，若向量 AB与a = ( 2, 3)同向，|AB|=2寸13 ,则点B的坐标为S

11、(Summary-Embedded)归纳总结战术指导平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法上尤为有突出 的表现，而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数量积的运算结果是实数而不是向量，因此要注意数量积运算和实数运算律的差异，本文仅举数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。1、【优质试题?山东】直击高考已知非零向量 IT, n满足 4|ir|=3|ri|, cosv it, n.若 ri±( tir+n)，则实数 t 的 J值为()D.-2、【优质试题?天津】已知 ABC是边长为1的等边三角形，点 D、E分别是边AB、BC的中点，连接 DE并延长到点F,使得DE=2EF，则旺- BC的值为()61111A .-gB . 8C .7D .83、设向量各£ 满足 两=|石=1,7?】-寺，则 R bF ()B V3C .翻4、【优质试题?新课标II】a=(1,- 1), t= (- 1, 2)则(2 0+b) * a=()5、6、【优质试题?山东】已知菱形ABCD的边长为a,/ ABC=60°，则wc5=()B .-活4C.弓a24c 3 2 D . 2a【优质试题？畐建】已知17c |=T，若P点是 ABC所在平面内一点，且竺+则屈|AB| I AC IFC的最大值等于(B .