巩固练习(56)最新修正版

1、最新修正版【巩固练习】1. （2015春？唐山校级月考）如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为1,点M在棱AB上，且AM=2，点P是平面ABCD上的动点，且动点 P到直线A1D1的距离与点P3到点M的距离的平方差为 1，则动点P的轨迹是（tlrjL和peC.双曲线D .直线B （3, 1），则线AB的方程是（BA .圆 B .抛物线2. 已知 A (2, 5)、.6x+y 17=0 ( x 3)D . 6x+y 17=0 ( 2 x b0)的左、右焦点分别为F1, F2, A是椭圆上的一点,a bAF2丄F1F2，原点O到直线AF1的距离为丄Or .3(I)证明 a = J2b

2、；(n)设Qi, Q2为椭圆上的两个动点，OQi丄OQ2,过原点0作直线QQ2的垂线0D ,垂足为D，求点D的轨迹方程.【参考答案与解析】1.【答案】B【解析】：如图所示：正方体 ABCD - A1B1C1D1中， 作PQ丄AD , Q为垂足，则 PQ丄面ADD1A1, 过点Q作QR丄D1A1，贝U D1A1丄面PQR,PR即为点P到直线A1D1的距离，由题意可得 PR2- PQ2=RQ2=1 .22又已知 PR - PM =1 , PM=PQ ,即P到点M的距离等于P到AD的距离，根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，故选2.D;3.B ;4.C ;5.C 6. C7.A解析： PF1

3、+ PF2 =2a, PQ HP F2, |P Q | 中| PFi 冃 P Fi+P F2 |=2a ,即 | FiQ 匸 2a ,动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆。解析： x0,1 + yA0,1-yA0,1 + y 工 1 , 1 y 工1，一 10.(1 cy 1, y H0 )(1)当x=1时，1cyc1,yH0，原方程表示线段 x = 1(2)当1 x:0时，由对数的换底公式有iogx(1 y) +iogx(1 中 y)=2 即 Iogx(1 y)(1+y)=2 ,22.x + y =1 (1x0,H0)此时，原方程表示半圆 x22+ y =1 ( 1axaO

4、 , yH0 )结合(1) (2)可以知道选Co229.【答案】2x - 2y - 2x+2y - 1=0【解析】设 P (x, y), Q (X1, y1),贝U N (2x - X1, 2y - y1),/ N在直线x+y=2上，- 2x - X1+2y - y1=2又 PQ 垂直于直线 x+y=2 , y 丫1 =1 ,K - K*即 x- y+y1 - X1=0.21 W2- 1) =1 .又 Q在双曲线X2- y2=1上， X12- y12=1 .(dx+Jty - 1 )2 22 22x - 2y - 2x+2y - 1=0.10.答案:哮-嘻=1(x4a2 3a24解析:11由

5、sin C si nB = -si nA,得 c b = a, cb ,22动点A的轨迹为以B、C为两焦点双曲线的右支，且实轴长为故方程为哮a=1(x T。3a24整理，得2x2 - 2y2- 2x+2y - 1=0即为中点P的轨迹方程. 故答案为：AC、AB边上的中线分别为 CD、BE11.【解析】(I)设22 BG=-BE , CG=-CD33 BG+CG=2 ( BE+CD ) =6 (定值)3因此，G的轨迹为以B、C为焦点的椭圆，2a=6, c=dE2 2 a=3, b=2,可得椭圆的方程为亍亍1当G点在x轴上时，A、B、C三点共线，不能构成 ABC G的纵坐标不能是 0,可得 ABC

6、的重心G的轨迹方程为=1=1 (yM0;(n)由题意，P为椭圆短轴顶点时，/ BPC最大，cos/ BPC最小. cos/ BPC屮P (心12X3X39+ X2 =2x, y, + y2 =2y,12.解析：设 M(X, y)、AXyJ、B(X2,y2),则 x,由FTN 中 2y2=m，两式相减得:=mkAB =沁X2 -X1Xi X2由垂径定理知PM 丄 AB kpM =(-上)= -1 ,化简得：xy + 2x -4y =0X-22y X2点M的轨迹方程为：xy + 2x 4y =0。13.解法一:(I)设点 P(x, y),Qp QF =fp JQ(x+ ,化简得2C: y =4x

7、.) 设直线X = my + 1(m HO).得：=,2 y-Q1 VyO方程为：iM/则 Q(1, y),x,AB的X设 A(Xi, yi) , B(X2,V2 =4x联立方程组f：x =my+1 ,，消去X得:y2-4my-4=0，卜=(-4m)2+120 ,故V1+V2如J1 V2 = -4-由 MA =人 AF , mb = ip BF 得：v2 . 2 .y2+=-儿2丫2,mm22整理得：打=一1 ,卜2 = _1 _ my1my2ml% V22= -2- 丿 m解法二：(I)由 QP QF =FP FQ 得:F T f 12(PQ -PF) (PQ +PF) =0 ,PQ -PF

8、 =0,心2 一2丄4m=oymm -4T T TFQ (PQ +PF) = 0 ,T2向扃PF .所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹 C的方程为：y2 =4x .(n)由已知 mA =対AF , MB=BF，得打几2bA0）,a b2a+c = 3,ac=1， a = 2,c=1,b =3,22x-41.43(II)设 A(xi, yi), B(x2, y2),y = kx + m143得(3 +4k2)x2 +8mkx +4(m2 -3) = 0， =1心=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)0 , 4kmS-0.丄8mk4(m2 -3)为 X2 _3 +412, X1 x2

9、- 3+4k2223(m2-4k2)y y(kx1 +m) (kxmk x,xmk(x1 +x2pm =3 +4k2T以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2,0）, kAD kBD = 1x1y：rxy=T，y1yx1x-2(xx20，2 2 23(m -4k)+4(m -3)十 16mk2224 0 ，3+4k 3+4k 3+4k222K227m + 16mk +4k =0 ,解得 m, = -2k, m2，且满足 3 +4k - m 0 .当m = 2k时，l:y=k（x-2），直线过定点（2,0）,与已知矛盾;2K22当时，|:宀（7），直线过定点（严综上可知，直线I过定点，定点坐标为(2

10、,0).15. (I)证法一：由题设AF2丄FiF2及Fi (c,), F2(c,0),不妨设点A(c, y)，其中y0 .由于点A在椭圆上，有a2b2a2l_解得y = 一，从而得到a直线AF,的方程为y =b22ac(X+c)，2整理得b2X -2acy + b c = 0 .由题设，原点 0到直线AF1的距离为b2c3 Vb4a2c2将c2 = a2 -b2代入上式并化简得 a2= 2b2，即 a=42b .Z b2、 证法二：同证法一，得到点 A的坐标为Ic.I a丿过点0作0B丄AF,，垂足为B ,易知 RBO S f1F2A，故BOF2AOF1F1A由椭圆定义得 AF, +AF2I

11、 =2a，又 |BO| =-3F2A|F2A|a解得F2A =，而b2得暑，即a=42b .2(n)解法一：设点D的坐标为(Xo,当yo ho时，由OD丄Q1Q2知,直线Q1Q2的斜率为-Xoyoyo所以直线QQ的方程为y = (XXo) + yo，或y =kx + m ,其中 k= 一直,m = yo+Xyoyo点Q1(X1, yj, Q2(X2,祠 的坐标满足方程组 卩2一； 2X2 +2y2 =2b2.将式代入式，得X2 +2(kx+ m)2 =2b2 ,整理得(1+ 2k2)x2 +4kmx + 2m2-2b2 =o,2工曰4km2m -2b于疋 Xj +X2 = T , X1X2 =

12、21+2k21 +2k222由式得 丫1丫2 =(kx1 +m)(kx2 +m) = k X1X2 +km(X1 +X2) + m= k22m222b2+km如+ m22b：k21+ 2 k21+2k1+ 2k2由OQi丄OQ2知为2 + %丫2 = 0 .将式和式代入得-22z 2.23m -2b -2bk =o,21 + 2k3m2 =2b2(1 +k2).2.2将k=匹,m = yo+鱼代入上式，整理得 X2 + y2 = - b2 .yoyo3当yo =0时，直线Q1Q2的方程为X = Xo，Qi(xi, yi), Q2(X2, y2)的坐标满足方程组X = Xo,r 222lx+2y

13、 =2b .所以 Xj = X2 = X)，由 OQj 丄 OQ2 知 x1x2 + %丫2 = 0，艮卩 x：-这时，点D的坐标仍满足综上，点D的轨迹方程为Xo +yo =|b2.32,22 2X +y =-b .3解法二：设点D的坐标为(Xo，yo)，直线 OD 的方程为 yoX Xoy=O，2 2 由OD丄Q1Q2，垂足为D，可知直线Q1Q2的方程为xox + yo y = Xo + yo .22记m = xo + yo （显然m工O）,点Qi(xi, yi), Q2(x2, y2)的坐标满足方程组育巴旳； x + 2y = 2b .由式得 yo y = m -xox .由式得 yfx2 +2y2y2 =2y2b2 .将式代入式得yfx2 +2(m-Xox)22 2= 2yob .2 2 2 2 2 2整理得（2xo + yo ）x -4mxox+2m -2b yo = 0,于是xixy 由式得xox =m yoy .2 2 2 2 2 2由式得xox + 2xq y =2xob .2 2 2 2 2将式代入式得（m-yoy） +2xoy =2xob ,22222 2整理得（2xo+yo