实验22按年龄分组的种群增长模型

1、实验22按年龄分组的种群增长模型实验目的1、利用常差分方程建立实际问题的数学；2、学会用MATLAB软件计算出模型的相关问题。实验内容1、用常差分方程建立按年龄分组的种群增长模型；2、用MATLAB软件求按年龄分组的种群模型的一些问题。实验步骤问题 野生或饲养的动物因繁殖而增加，因自然死亡和人为屠杀而减少，不同年龄动物的繁殖率、死亡率有较大差别，因此在研究某一种群数量的变化时，需要考虑按年龄分组的种群增长。将种群按年龄等间隔地分成若干个年龄组，时间也离散化为时段， 给定各年龄组种群的繁殖率和死亡率(在稳定环境下不妨假定它们与时段无关)，建立按年龄分组的种群增长模型，预测未来各年龄组的种群数量，

2、并讨论时间充分长以后的变化趋势。模型及其求解 设种群按年龄等间隔地分成 n个年龄组，记i =0,1,2,., n，时段记作 k =0,1,2，且年龄组区间与时段长度相等(若 5岁为一个年龄组，则 5年为一个时段)。 以雌性个体为研究对象比较方便，以下种群数量均指其中的雌性。记第i年龄组在时段k的数量为xi(k)；第i年龄组的繁殖率为 bi，表示每个(雌性)个 体在一个时段内繁殖的数量；第i年龄组的死亡率为dj,表示一个时段内死亡数与总数的比。S =1-di是存活率。为建立Xi(k)的变化规律，我们注意到：第1年龄组在时候k +1的数量为各年龄组在第 k时段繁殖的数量之和，即nX1(k +1)y

3、bxi(k)k =0,1；"(22.1)而第i +1年龄组在时段k +1的数量是第Xi 十(k+1)=sx(k)i记在时段k种群各年龄组的数量为X(k)=(X1(k),X2(k),，Xn(k)T。i年龄组在时段k存活的数量，即= 1,2,，n- 1,k =0,1(22.2)(22.3)167这样，有(22.4)Xk41(k+1)=Lx(k), k=0,1将X(k)归一化后的向量记做 X(k),称种群按年龄的分布向量。给定在 0时段，各年龄组的 初始数量X(0)，就可以预测任意时段k各年龄组的数量。设一种群分成5个年龄组，已知繁殖率0=0,6= 0.2, bs = 1.8, b4 =

4、0.8, b5 = 0.2,存活 率s =0.5, S2 =0.8, S3 =0.8, S4 =0.1。各年龄组现有数量都是100只，下面我们用MATLAB 计算 X(k)。%按年龄分组的种群增长clear allb=0,0.2,1.8,0.8,0.2;%对角阵，对角元素为 0.5,0.8,0.8,0.1s=diag(0.5,0.8,0.8,0.1);L=b;s,zeros(4,1); x(:,1)=100*o nes(5,1); K=45;%构造矩阵L%赋初值x(:,k+1)=L*x(:,k);end%迭代计算round (x), y=diag(1./sum(x);z=x*y,k=0:K;s

5、ub plot(1,2,1), plot(k,x),grid sub pl ot(1,2,2), plot(k,z),grid 将x(k)归一化后的向量记做 时段在数量上占总数的百分比。%为向量X归一化做的计算% z是向量X的归一化%在一个图形窗内画两张图X(k)，称为种群按年龄分组的分布向量，即各年龄组在for k=1:K%sum(x)对列求和y=diag(1./sum(x);Z=x*ysub plot(1,2,2), plot(k,z),gridsub plot(1,2,2), plot(k,z),grid得到的结果见表22-1、表22-2和图22.1、图22.2。表22-1 x(k)的部

6、分计算结果k123456404142434445X1(k)100300220155265251544557572586601616X2(k)1005015011077132265272279286293301X3(k)10080401208862207212217223229234X4(k)1008064329670161165170174178183X5(k)1001086310161617171718表22-2 X( k)的部分计算结果k123434445X1(k)0.20000.57690.45640.45590.45590.4558X2(k)0.20000.09620.31120.22

7、220.22230.2223X3(k)0.20000.15380.08300.17340.17340.1734X4(k)0.20000.15380.13280.13530.13530.1353X5(k)0.20000.01920.01660.01320.01320.0132结果分析从上述图表可以看出，时间充分长以后种群按年龄分组的分布向量 稳定，这种状况与 Leslie矩阵的如下性质有关(设矩阵L第一行有两个顺序的矩阵L有单特征根打，对应特征向量为；1-nTX = (1,s/1 ,S1S2 九1 ,S1S2.Sn"1 )对于L的其他特征根 有I科C% (i =2,3,，n)，且由(2

8、2.4)式确定的 x( k) *lim ' / =cx ，其中c是与bi，Si，x(0)有关的常数(请读者在矩阵L可对角化的条件下证明(x(k)趋于bi大于零)：(22.5) x(k)满足(22.6)22.6)式)。7000X 1 (k)I'l1 Ix 2 (k)X 3 (k)J 1X 4 (k)X 5 (k)600500400300200100204060169图22.1 X(k)的图形图22.2从上到下依次为x；(k)到x5(k)的图形(22.7)由上述性质可以对时间充分长以后的(1)记归一化的特征向量 x"为X，则x(k)俺 Xx(k) , x(k)做出如下分析

9、(以下与x(0)无关，即按年龄组的分布向量x(k)趋向稳定分布X。 因为x(k)止ckkx”，所以x(k +1)止 Ax(k)即各年龄组的数量按照同一比例兀增减，A称固有增长率。(3)由L的特征方程卩一(b,An° + Sib2And+.+s1S2.snbn) =0(22.8)(22.9)可知，当b, +s,b2 +SS2b2 中. + S,S2.Sn Jbn =1 时固有增长率 A =1，各年龄组的数量不变，且由(22.5)式知特征向量*TX = 1,S1,8)82 ,., nSQ.Sn， 再注意到x(k)s：ckkx"，(22.11)式给出Xi + (k)止 sx(k)

10、即存活率si等于同一时段相邻年龄组的数量之比。(4)用本例的数据对上面的稳态分析作验证。1) 用MATLAB可得矩阵L的全部特征根，其中最大的为打=1.0254，由容易计算特征向量Z，归一化得 x=【0.4559, 0.2223, 0.1734, 0.1353,2.6 X(k)的计算结果相近，即(22.7)式。2) 在x(k)的计算结果中(表 22.1 )，对于大的k和i =12.,5, Xi(k+1)/Xi(k)的值在 入1 =1.0254附近(X5(k)的值较小，取整后计算误差较大)，即(22.8)式。3) 因=1.0254比1略大可以由表22-1或表22-2对于大的k近似验证(22.12

11、)式。(22.10)(22.11)(22.12)问题与思考练习1 Leslie种群年龄结构的差分方程模型已知一种昆虫每两周产卵一次，六周以后死亡(给出了变化过程的基本规律)。孵化后的幼虫2周后成熟，平均产卵100个，四周龄的成虫平均产卵 150个。假设每个卵发育成 2 周龄成虫的概率为 0.09(称为成活率)，2周龄成虫发育成4周龄成虫的概率为 0.2。1）假设开始时，02, 24, 46周龄的昆虫数目相同，计算2周、4周、6周后各种周龄的昆虫数目；2）讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目的演变趋势：各周龄的昆虫比例是否有一个稳定 值？昆虫是无限地增长还是趋于灭亡？3）假设使用了除虫剂，已知使用了除

12、虫剂后各周龄的成活率减半，问这种除虫剂是否有效？练习2按年龄分组的种群增长一般模型及灵敏性分析对于某种群建立数学模型分析其数量变化规律。这里分析的对象是特定的种群，变化过对每一时段的种群取相同的最大 在下一个时段全部消失。考虑每 b和存活率si。程可以按相等间隔的时段末来记录。为了精确表现种群的变化，自然需要将种群进行分类， 不妨按与时间段长度相同的年龄进行分组。为了简化模型，年龄，这里相当于认为很大年龄的那部分视作为相同年龄， 一时段中不同年龄组种群数量构成的向量、不同年龄组的繁殖率1）建立差分方程分析种群的变化规律；2）进行种群数量的稳定性分析，即时间充分长以后种群年龄结构及数量变化；3）

13、对bi和si关于种群的增减进行灵敏性分析（提示：考虑由bi和si所构作的新参数R=bi +匕2$ +.+ bns1.sn，解释这个参数的实际意义，并利用它进行灵敏性分析）。补充知识如下矩阵L称为Leslie矩阵代0F1F2FnAFn、P)00 00L =0:Pb0b+0h0b1000 巳40>,Fj >0,0< j < n； R >0,1 <0< n-1171材，屁Mn，将它们的模按从大到小的顺序排列（不妨 /0为矩阵的主特征值，如果基本概念：设矩阵的特征值为鼻0 A打，则称z0为严格主设为）：纠打| >纠人I，则称特征值。Leslie矩阵L的几个基本性质：（1） Leslie矩阵L有唯一的正单特征值 Z0 （重数为1），且