培优专题平行四边形(含解答)

1、学习好资料欢迎下载培优专题6平行四边形的性质与判定平行四边形是一种特殊的四边形，它的性质较多，判定方法多样，在日常生活和解决 一些几何问题时，应用非常广泛，正是由于其两组对边分别相等等一些特殊的性质，也是 竞赛及中考考查的重要内容.例1 如图，LI ABCD中, E是CD上一点， 试说明0B平分/ AOC 分析 要论证点B是/ AOC的角平分线上的点， 我们想到证两个三角形全等，或者利用等底、解：F是AD上一点，AE与CF交于点0,且AE=CF只要说明点B到角的两边距离相等因此,?等高的两个三角形底上等高.过B分别作BP丄AE BhU CF分别交AE FC于点ABE= 1SLI2=$ CBF

2、.1ABCD , SaCBF = SIABCD ,2又 AE=CF BH=BP / A0B=/ COB即OB平分/ AOC练习11 .如图，已知 中点，贝U S CEF=A. 32 B1.解：连结AC- CDF =$ CFA,SLI ABCD)28 CBD=64，E、F分别为 AB AD的Sa CEB =S CAE -= 1slj21 -SaCDF =Sa CBE = SLI ABCD =16 .411又 Saaef = Sabd =-SLI abcd =8.48-SCEF =SLI abcd -SaCDF CBE -SAEF =24 .故选 Co又 SaDC = S ABCABCD，2 如图

3、，P为U ABCD内一点，过P分别作AB AD的平行线，交平行四边形于G、H四点，若 S四边形AHPe=3 , S四边形pfcg=5，求$ pbd .E、F、- Sabdp = (3+an+bm+5 ) -an- bm-3=1.2223 .如图，在 U ABCD中, E 为 BC上任意一点，DM/ AE, AM/ EF. 吗？3 .连结DE .11SADE = SLI ABCD = SLI AEFM ,22 SLI ABCD =SLJS_AMFE与 S_ABC相等AMFE -2.设：AH=a HB=b在 U AHPE中,AH边上的高为 m PFCG中PF边上的高为 n ,由EF/ AB, GH

4、/ AD知四边形EPGD HBFP也是平行四边形，1 11故 Saabd =-AB (m+n) = (a+b) (m+n) = (am+an+bm+bn ),2 2211SEPD = an , Sabhp = bm , Sahpe =am=3 , SpECG=bn=5 ,22AHPE ,由 SABD =Sbdp +SA epd +Sbhp +S 四边形111ACRuh例 2 如图，Rt ABC中，/ BAC=90 , AD丄 BC于 D, BG平分/ ABC EF?/ BC?且交 AC 于F, AE与CF相等吗？说明理由.分析 作GHIBC,贝U AG=GH从而可得 ABG?A HBG ?连结

5、HE, ?可证得 ABEA HBE 则AE=HE再证四边形EHCF是平行四边形即可.解：作GHI BC于 H,连结EH./ BG是/ ABH的平分线,GA=BA GA=GH AB=HBBE=BE ABG HBG 又/ ABEh CBE abea HBE/ BEA=Z BEH AE=EH/ AD/ GH / AEG= BGH又/ AEG=/ GEH / AGB= BGH/ AGB=/ GEH - EH/ AC.又已知 EF/ HC - EHCF是平行四边形, FC=EH=AE练习21. 如图，在 ABCD中, AH=CF BE=DG 连结 AG BH CE DF, M N、P Q?分别为 交点，

6、MP NQ相交于点 O OM=O和ON=O都成立吗？ AD/ BC1 .解：四边形 ABCD是平行四边形,又 AH=CF DH/ BF,四边形BFDH是平行四边形. BH/ DF,同理， DM=DPMQ/ PNPQ/ NM 四边形MNP（是平行四边形.DN=DQ2.如图,EF/ GHI AB,若 AB=EF+GH 贝U BE与 CG相等吗?2 解：过点E作AC的平行线交 AB于P,/ EF/ AB, EP/ AC,四边形APEF是平行四边形， AP=EF 再由 AB=EF+GH AB=AP+PB PB=HG 由 HG/ AB可知/ PBE=/ HGC且/ CHG/ CAB BP/ AC得/ C

7、AB/ EPB/ CHG/ EPB. EPB CHG - BE=CG3 .如图，在等腰 ABC的两腰AB AC上分别取点E、F,使AE=CF平移线段BC到线BEGC是平行四边形, BE=CG 又 AB=AC AE=CF BF=AF 即 AF=CG CG/ AB,/ ACG2 A ,又：AE=CF AEFA CFG EF=GF例3 如图，LI ABCD中, DE1AB于E, BM=MC=DC那么/ EMC与/ BEM?勺大小关系怎 样？分析延长DC交EM的延长线于F,只需证明 M是Rt EFD的斜边EF的中点，？则有/ F=/1 = / 2，又/ 3=/ F+/ 1=2/ F, / EMC=/

8、F.解：延长EM交DC的延长线于F,连结DMBE X rvAF C 0/ 5=/ 6,/ F=/ 4, MB=MC FCMA EBM - M是 EF 的中点./ AB/ CD DE丄 AB, DEI FD.在 Rt EFD中，/ F=/ 1 ,/ 3=2 / F,又 CM=DM/ 2=/ 1=/ F , / EMC=/ F ,而/ F=/ 4, / EMC=/ BEM练习31.如图，已知正方形 ABCD勺边CD的中点为E, F是CE?勺中点，？那么/ DAE=1 / BAF吗?H,21.解：作/ BAF的平分线AH交DC的延长线于则/ 仁/ 2=/ 3,.FA=FH222 23AF =AD +

9、DF =a + ( a)4设正方形的边长为 a,在Rt ADF中2 25 2=a ,165 AF=Ya=FH41 a=a,45 CH=FH-FCa a-4 Rt ABG Rt HCG- GB=GC=DE=a从而 Rt ABG Rt ADE/ DAE玄 2= / BAFABCD中，在 AD的延长线上取点 E、F,使DE=AD DF=BD?连结BF2. 如图，正方形分别交CD CE于H G则/ HDG与/ GHD相等吗？说明理由.2 .解： DE/BC,A四边形 BCED为平行四边形,/ 4,又 BD=FD1/ 仁/2=/ 3= X 45°.21/ 3=/ 4= X 45°.2

10、 BC=GC=CD.A DGC为等腰三角形，且顶角/ DCG=451 135*/ CDG(180° -45 ° ) = .2 2/ HDG/ GHD3 .如图，在LJ ABCD中, BC=2AB M是AD的中点，AEM的三倍的理由.3 .解：设线段 CE的中点为N连结MN和MC/ M是 AD的中点， MIN/ AE/ DC/ AEM2 EMN / NMCM MCD/ MD=1 AD=1 BC=AB=CD2 2DMCM MCDDMCMNMC由MIN/ AE, CE! AB得MNL CE,又点N是CE的中点, EMNM NMCCE1 AB于E,试说明/ ME=MCDME是 /由

11、得：/ DMEM DMC£ NMC上 EMN=% EMN=% AEM例4 如图，在LJ ABCD中，AE± BC CF丄AD, DN! BM,试说明四边形 MENF!平行四边 形.分析要说明四边形 MENF是平行四边形，只须说明：(1)严刊MF =EN;IMF /EN, ME /FN;ME/ FN;(4) MF/ END(5) MN与 EF互相平分；这五种中的一种即可. 解：四边形ABCD是平行四边形， AD/ BC AB/ CD / B=/ D又 AEl BC, CF! AD, 四边形 AECF是矩形， 从而AE=CF Rt ABE Rt CDF BE=DF又 BM=DN

12、 BEMA DFNME=NF 又 AF=CE AM=CN / MAF/ NCE AMFA NCF, MF=NF 由得四边形 ENFM是平行四边形.练习4N分别为DC AB的中点，？1 .解：在 Rt AFD和 Rt CEB中, / DAF=Z BCE1.如图，在 LJ ABCD中, BElAC于 E, DFlAC于 F, M 四边形EMFN是平行四边形吗？说明理由./ AD=BC AFDA CEB AF=CEDF=BE，且/ ADFh CBE 在厶 CEMm AFN中， CM=AN / ECMM FAN CEMA AFN 从而FN=ME 在厶 BENn DFM中, BN=DM 由得：DF=BE

13、 又/ EBNh ABC-/ CBE/ FDM/ ADC-/ ADF/ ABC=/ ADC且由有：/ ADF=/ CBE / EBN玄 FDM故 BENA DFM - FM=NE由得：四边形 EMFN是平行四边形.2 .如图，将矩形的每一内角三等分，连结靠近同一边上的两条三等分线所交成的四 点组成一个四边形，试判断此四边形的形状.(72 .答：此四边形是菱形.在 AEB与 DGC中,/ BAE-/ GDCM ABE=/ GCD=30 , AB=CD AEBA DGC 从而 AE=DG由/ HAD=/ HDA=30 得 AH=DH又/ EAHN HDG=30，且 AE=GH同理可得: EF=FG

14、 , EH=EF四边形EFGH是菱形.3.四边形ABCD的对角线相交于 0,且AD/ BC且AB+BC=AD+DC?试说明四边形 ABCD 是平行四边形.3.解：设 AB+BC=AD+DC延长 CB至点 E,使 BE=AB 延长 AD至点 F,使 DF=DC ?如图，？则EC/AF,故AECF是平行四边形.则/ E=/ F,又/ ABC=2/ E.AC/ ADC=2/ F,这样/ ABC玄 ADC/ AD/ BC,/ DAB+/ ABC=180 ,/ DAB+/ ADC=180 . AB/ CD则四边形 ABCD是平行四边形.例5如图，LI ABCD的周长是10+6 迈, BC的长度是53 ,

15、 AEX BC于E, AF丄CD交DC?勺延长线于F, AE=3,求/ D的度数.分析欲求/ D的度数，只需求出/ B的度数，在 Rt ABE中，AE=3 ?/AEB=90，再根据 周长与BC的长，不难求出 AB的长，利用勾股定理得出 BE的长，？从而得出/ B的度数， 也就是/ D的度数.解：四边形ABCD是平行四边形, AB=CD BC=AD / BC=5苗,LI ABCD勺周长是 173+/2 , AB=CD=1 (10 73+6 72-5 73-53 ) =3/2 . 2又 AE1 BC于 E, AE=3,CL 2 A L 2 A L 2 c 2-BE =AB -AE =3 .即 BE

16、=3,. AE=BE ABE是等腰直角三角形.Aft练习51.如图，的度数是( A. 45 °BLJ ABCD中 ,).60°C/ ABC=75 , AF丄 BC于 F, AF交 BD于 E,若 DE=2AB 贝U/ AED?.65° D . 70AG1.解：取ED中点G连结 在 U ABCD中, AD/ BC 又 AF丄 BC, AF丄 AD.在 Rt AED中，AG=EG=GD/ 2AB=DE - AG=AB/ ABE=/ AGB / ADG/ DAG / GAE/ GEA/ ABG/ AGB=2/ ADB/ ADB玄 DBC/ ABC=3/ ADB/ ABC

17、=75 ,/ ADB=25/ AEG=90 - / ADB=90 -25 ° =65°. / D=/ B=45°.2.已知：如图， U ABCD中 , BC=2AB将 AB向两端延长，使 AE=AB=BF若EG FD 相交于点G试说明/ EGF的度数为90°.2 .解： AE=AB 二 BE=2AB/ BC=2AB BE=BC1/ E=/ BCEa / CBF21同理可得：/ F / DAE21/ E+/ F= (/ CBF-/ DAE)2CBF-/ DAE=180 .E+/ F=180°,即/ EGF=90 . AD/ BC, / DAB/ CBA=180 . /.如图，在 U ABCD中，AEL BC, AF丄 DC BC CD=3 2, AB=?E