解三角形的必备知识和典型例题及详解

1、解三角形的必备知识和典型例题、知识必备：1 直角三角形中各元素间的关系:在厶 ABC中，C= 90°, A吐 c, AC= b, BC= a。(1) 三边之间的关系：a2+ b2= c2。(勾股定理)(2) 锐角之间的关系：A+ B= 90°(3) 边角之间的关系：(锐角三角函数定义)sin A= cosB= , cosA= sin B= b , tan A= 。ccb2 斜三角形中各元素间的关系：在厶ABC中, A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。(1) 三角形内角和：A+ B+ C= n。(2) 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等

2、a _ bsin A sin BcsinC=2R (R为外接圆半径)(3) 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍a2= b2+ c2 2bccosA；b2= c2 + a2 2cacosB；c2= a2+ b2 2abcosC。3 三角形的面积公式：(1) S = - aha = -bhb=丄chc (ha、h、h分别表示 a、b、c 上的高)；2 2 2111(2) S = 一 absin C= 一 bcsin A= acsin B；2224解三角形：由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有 一个是边)求其他未知元素

3、的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角 形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等主要类型：(1) 两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(2) 两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。(1) 角的变换因为在 ABC中,A+B+Cn ,所以 sin(A+B)=sinC ; cos(A+B)= cosC; tan(A+B)= ta

4、nC。.AB C A B . Csincos ,cossin2 2 2 2(2) 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式6 求解三角形应用题的一般步骤：(1) 分析：分析题意，弄清已知和所求；(2) 建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；(3) 求解：正确运用正、余弦定理求解；(4) 检验：检验上述所求是否符合实际意义。二、典例解析题型1:正、余弦定理例1. (1)在 ABC中，已知A=450，B=600，a =25解三角形；(2)在 ABC 中，已知 a=20cm, b=28cm, A = 30°，解三角形题型2:三角形面积

5、例 2 .在 ABC 中，sin A cosA -，AC = 2，AB = 3，求 tan A 的值和厶ABC 的面积。 2题型3:三角形中的三角恒等变换问题例3.在 ABC中, a、b、c分别是/ A、/ B、/ C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2 c2=ac be,求/ A的大小及bsin B厂的值题型4:正、余弦定理判断三角形形状例4 .在 ABC中，若2cosBsin A= $鬥6则厶ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形题型5:三角形中求值问题例5. ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA 2cos取得最大值，

6、并求2出这个最大值。题型6:正余弦定理的实际应用例6.如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。 测量船于水面a处测得b点和d点的仰角分别为75°，300，于水面C处测得B点和 D点的仰角均为600，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等， 然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km,2 ”1.414, I 6 : 2.449）、跟踪训练1. 若厶ABC的三个内角满足sin A: sin B : sin C = 5:11:13,贝仏ABC(A) 定是锐角三角形(C) 一定是钝角三角形(B) 定是直角三角形.(D)可

7、能是锐角三角形，也可能是钝角三角形2. 在厶 ABC中，内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，若 a2-b23bc, si nC=2、3sin B，则 A=()（A）300（ B）600（ C）1200（ D）15003. （2010 湖北理数）3.在 ABC 中，a=15,b=10,A=60。，则 cosB =A 2、2 b 2 2 C 6 D _633334. 已知 a,b,c 分别是 ABC的三个内角 A,B,C 所对的边，若 a=1,b=、.3, A+C=2B,则sinC= .5. 在锐角 ABC中，BC = 1,B = 2A,则的值等于， AC的取值范围为cosA6. 在 AB

8、C中，内角A B、C的对边长分别为a、b、C，已知a2-c2=2b且sin AcosC 二 3cos AsinC,求 b7在 ABC中，已知A、B、C成等差数列，求tan-tanC. 3tandanP的值2 2 2 28.在ABC 中, A B为锐角，角AB、C所对的边分别为a、b、c,且n a | b 丄50(I)求A B的值；(ll )若a - b =柩-1，求a、b c的值9. 在厶ABC中，已知B=45° ,D是BC边上的一点, AD=10,AC=14,DC=,求 AB的长.10. 在厶ABC中，a、b、C分别为内角A、B、C的对边,且 2a sin A = (2b c)sin B (2c b)sin C(I)求A的大小；(U)若si