《3.1空间向量及其运算-3.1.5空间向量的数量积》导学案

1、3.1.5空间向量的数量积导学案2教学过程一、问题情境1 平面向量数量积的坐标表示及一些应用对于平面内两个非零向量a=(xi, yi)，b=(X2，y2)，贝U a b=xiX2+yiy2.(2)长度、夹角、垂直的坐标表示垂直的充要条件:a丄b? a b=0,即Xix2+y iy2= 0.(注意与向量共线的坐标表示的区别严2.类比平面向量数量积的坐标表示，思考对于空间两个非零向量，它们的数量积的坐标表示又是怎样的呢？二、数学建构对于单位正交基底i, j, k,有i i=j j=k k= i, i j=i k=j k=0.设空间两个非零向量 a= (xi,yi, zi), b=(x2, y2,

2、Z2)，请同学们根据向量数量积的运算律推导a b的坐标表示.解 若i, j, k是空间的一个单位正交基底，则a= (xi, yi, Zi)=xii+y ij+z ik,b=(X2, y2, Z2) =x2i+y 2j+z 2k,所以 a b= (xii+y ij+z ik) (x2i+y 2j+z2k) =x ix2i 2+y iy2j2+zi Z2k2+x iy2i j+x iZ2i k+yiX2j i+y iZ2j k+z ix2k i+z iy2k j=x ix2+yiy2+ziz2.从而得两个空间向量数量积的坐标表示公式:a b=x ix2+y iy2+z iz2.即两个向量数量积等于

3、它们对应坐标的乘积的和三、数学运用探学习探究探究任务一：空间向量的数量积定义和性质问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？新知：片呻T 彳T 屮i) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量a,b，在空间一点0，作OA=a,OB =b ,则.AOB叫做向量a与b的夹角，记作 .试试：4 +范围：_： a,b <a, b =0 时,a 与 b; a, b =冗时,a 与 b:a,b b,a 成立吗？ ：:a,b = _，则称a与b互相垂直，记作 .2）向量的数量积：已知向量a,b，则叫做a, S的数量积，记作a b，即a b

4、=规定:零向量与任意向量的数量积等于零.反思：两个向量的数量积是数量还是向量？0a = （选0还是0）你能说出a b的几何意义吗？3）空间向量数量积的性质：（1）设单位向量 e，则 a e =i a| cos ： a,e.（2）a _b a b =_.（3）a; =.4）空间向量数量积运算律：（1）（ a） b - （ ba （ b）.（2）a b a （交换律）.（3）a （b c） = a b a c （分配律 反思：（a b） c = a （b c）吗？举例说明.若a b二2 c，则b =c吗？举例说明.彳4” 4* 彳若a b = 0 ,贝V a = 0或b = 0吗？为什么？探典型例

5、题例1用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那 么它也和这条斜线垂直变式1用向量方法证明：已知：m, n是平面二内的两条相交直线，直线I与平面的交点为 B，且 I _m,l _ n .求证：I丨.例 2 如图，在空间四边形 ABCD 中，AB=2 , BC =3, BD=2、.3 , CD =3，/ ABD =30, ABC =60，求AB与CD的夹角的余弦值变式：如图，在正三棱柱nAB2BB!,则AB!与C*所成的角为（）A. 60B. 90 ° C. 105D. 75例3如图，在平行四边形 ABCD-A 1B1 C1 D1中,AB =4, AD

6、=3 ,AA =5,. BAD =90 BAA =ZDAA' =60。，求 AC 的长.p尸探动手试试练 i.已知向量"a,b满足 a =1, b=2, i+b =3，则 a_b =.练2.已知 2 , b =匚,a bj2，则a与b的夹角大小为 2三、总结提升 探学习小结1.向量的数量积的定义和几何意义2.向量的数量积的性质和运算律的运用探知识拓展向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法学习评价探自我评价 你完成本节导学案的情况为（）A.很好 B.较好 C. 一般 D.较差探 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列命题中:

7、 若ab = 0 ,贝U a , b中至少一个为斗 呻 T 耳 片片呻 冲 若 a -0且 a «b =a «c，贝U b = c (a «b)C =a *(b C)(3?+2齢(3?一2尅9?24 b2正确有个数为（A. 0个 B. 1个 C. 2个D. 3个2. 已知u和e2是两个单位向量，夹角为 ，则下面向量中与2e2垂直的是（ ）3D. e2-+ H-+A. ei e2B. & q C. ei3已知.ABC中，.A,. B,. C所对的边为Ta,b,c，且 a =3,b =1，/C =30 ,贝U BC CA =4.已知a =4， b =2，且a和b不共线,当 ab与a b的夹角是锐角时，的取值范课后作业:AD