5.1.1相交线(2)

1、5.1. 1 相交线教学目标：知识与技能： 理解并掌握对顶角、邻补角的概念 .过程与方法：1. 通过动手操作、 推断、交流等活动 ,进一步发展空间观念 , 培养识图能力、 推理能力和 表达能力 .2. 在具体情境中了解邻补角、 对顶角 , 能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角, 理解对顶角相等 , 并能运用它解决一些简单问题 .情感态度与价值观：引导学生对图形进行观察、 发现 ,激发学生的好奇心和求知欲 ,并在运用数学知识解答问 题的活动中获取成功的体验 , 树立学习的信心 .教学重难点：【重点】 对顶角的性质 .【难点】 理解对顶角相等的性质的探索 .教学准备：【教师准备】【学生准备】直尺、

2、量角器、剪刀、硬纸板 直尺、三角板 .教学过程1. 新课导入： 教师出示一块硬纸板和一把剪刀 , 表演剪纸板的过程 .问题 : 剪刀两个把手之间的角发生了什么变化?剪刀的张口怎么变化 ?教师展示剪纸板的过程 , 学生认真观察 .教师应当注意先提出问题 , 以免在操作过程中分散学生的注意力 , 使学生没有注意观察应该 观察的内容 .学生观察以后 , 回答提出的问题 . 教师引导 :如果将剪刀的构造看作两条相交的直线, 这就关系到两条相交直线所成的角的问题. 设计意图 通过动手操作 , 激发学生兴趣 , 同时使学生感受生活中的数学现象 , 通过教师的 引导 ,使学生将剪刀张口的变化抽象成两条直线交

3、角的变化,将实际问题转化为数学问题 .2. 新知构建：一、邻补角与对顶角的概念 过渡语 （ 针对导入 ） 通过刚才的观察 ,我们知道握紧剪刀把手时 , 随着两个把手之间的角 逐渐变小 ,剪刀刃之间的角也相应变小 , 直到剪开纸板 .下面我们就来研究这两条直线相交所 形成的角 .问题 1 邻补角如教材图5.1-2,教师提出问题1. 在位置关系上，/ 1和/ 2有什么特点？2. 量一量,在数量关系上,/ 1和/ 2有什么特点？提示：在位置关系上,/ 1和/2有一个公共边 OC另一边互为反向延长线;在/ 1和/2的数 量关系上，学生可能从大小关系上进行比较，此时注意引导学生从两个角的和的关系去探求.

4、问题总结：有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角.追问：(1)在教材图5. 1-2中,有几组邻补角？(2)在教材图5. 1-1中,剪刀把手之间角度变化的过程中，这种关系还存在吗？提示：(1)有四组邻补角，分别是/ 1和/ 2, / 2和/ 3, / 3和/ 4, / 1和/ 4;(2)这种关系依旧 存在.知识拓展(1)邻补角指的是角的特殊位置关系，即这两个角相邻(有一条公共的边),从数量关系上说这两个角互补.(2) 邻补角指的是两个角之间的互补关系(3) 邻补角一定互补，但互补的角不一定是邻补角.问题2对顶角过渡语在教材图5. 1-2中，/ 1和/ 3之间有

5、什么关系呢？学生再观察教材图5. 1-2,教师提出问题：(1) 在位置上，/ 1和/ 3有什么特点？(2) 量一量，在数量关系上，/ 1和/ 3有什么特点？提示：(1)在位置关系上，/ 1和/ 3有一个公共顶点Q并且/ 1的两边分别是/ 3的两边的反向延长线;(2)通过测量和观察，学生可以发现/ 1和/ 3是相等的.概念提出：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.二、对顶角的性质思路一过渡语刚才通过测量和观察，我们发现了对顶角/1和/3是相等的.仅靠发现和观察，还不足以说明就是科学的结论，这就需要我们证明这个结论，怎样证明呢？性

6、质证明：解析在教材图5. 1-2中，/ 1和/2互补，/ 3和/ 2互补，由“同角的补角相等”可以得出/仁/3.同理，我们可以得出/ 2=7 4.这样我们就可以得出对顶角的性质：对顶角相等.证明：因为/ 1与/ 2互补，7 3与/ 2互补(邻补角的定义),所以/仁/ 3(同角的补角相等). 设计意图通过对图形中角的位置关系的探究，经历从图形到文字到符号的转化过程，使学生加深对相交概念的理解.积累一些对图形的研究经验和方法.通过对概念的归纳，培养学生的总结概括能力，加深学生对概念的理解和掌握.在探究发现的基础上，用科学的方法验证或证明自己的发现，这有利于培养学生的科学思维习惯.知识拓展(1)对顶

7、角是指两个角的位置关系，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线.(2) 对顶角是成对的，在数量关系上有特殊的关系一一相等.(3) 两条直线相交所形成的四个角中，任意两个角不是对顶角就是邻补角.思路二过渡语刚才通过观察讨论，同学们了解了对顶角的概念，那么对顶角具有什么性质，下面我们就来一起学习问题思考：(1) 在教材图5. 1-2中有哪些角是对顶角？(2) 观察、测量每组对顶角，它们之间有什么数量关系？(3) 根据观察和测量，你的结论是什么？怎样去证明你的结论？设计意图通过学生的动手和动脑实践，不但可以提升学生的学习兴趣，还有助于培养学生动手动脑的行为习惯通过发现问题并证明问题的活动，培养

8、学生的科学探索精神性质证明：CP解析如图所示，/ A0(和/ AOD互补，/ AOC和/ BO(互补，由“同角的补角相等”，可以得出/ AODZ BOC类似地，/ AOCZ BOD这样，我们就得到了对顶角的性质 ：对顶角相等 证明：因为/ AOC和/ AOD互补，/ AOC和/ BOC互补(邻补角的定义)，所以/ AODZ BOC同角的补角相等).设计意图通过对角的度数的测量，使学生认识到邻补角与对顶角的性质，使学生从对这两类角的感性认识上升到理性认识，通过对结论得出的说理过程 ，使学生初步感受推理的过程三、例题讲解过渡语通过前面的研究和探讨，我们知道了邻补角互补，对顶角相等的性质.利用这些性

9、 质可以进行角的一些计算.例1 :如图所示，直线a，b相交，Z仁40。，求Z 2, Z 3, Z 4的度数.设计意图先让学生尝试解决，这里学生能够说出角的度数，关键是学生能否做到言之有理，即初步尝试使用推理的方法去解决问题，之后教师给出规范的答案.解析 计算角的度数，首先要考虑给定的角与所要求的角的位置关系和数量关系.从位置关系看，在要求的三个角中，/ 3和Z 1存在着对顶角的关系，Z 2，Z 4和Z 1存在着邻补角的 关系.解:由邻补角的定义，得：Z 2=180° - Z 仁 180° -40° =140° .由对顶角相等，得：Z 3= Z 仁40&#

10、176;,Z 4= Z 2=140° ./fjn/C/例2：如图所示，已知直线 AB与 CD相交于点 OOE是Z BOD勺平分线，Z EOI=90°，若ZBOD58。，求Z COF的度数.解析 根据角平分线的定义求出/DOE再求出/ DOF然后根据邻补角的定义列式计算即可得解解：因为OE是/ BOM平分线，/ BOD58°,所以/ DOE错误！未找到引用源。/ BOD错误！未找到引用源。X 58° =29°,因为/ EOF9O。，所以/ DOFZ EOF / DO=90° -29° =61 °,所以/ COF18O

11、。- / DOF18O。-61° =119 .解题策略本题考查了角平分线的定义，互为邻补角的两个角的和等于180° ,熟记概念并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键 设计意图通过学生的尝试，一是让学生养成主动学习的习惯，二是让学生养成说理的习惯，做到步步有据.3. 课堂小结：1. 邻补角、对顶角的概念：(1) 有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线 ，具有这种关系的两个角，互为邻补角.(2) 有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.(3) 邻补角、对顶角是成对出现的 ，在相交直线中，一个角的邻补角有

12、两个.2. 邻补角、对顶角的性质：(1) 邻补角互补.但两个角的和等于180° ,这两个角不一定是邻补角.(2) 对顶角相等.但反过来，相等的两个角不一定是对顶角.4. 检测反馈：1. 如图所示,下列判断正确的是()(1> (£)A. 图(1)中/ 1和/ 2是一组对顶角B. 图中/ 1和/ 2是一组对顶角C. 图(3)中/ 1和/ 2是一组邻补角D. 图(4)中/ 1和/ 2是一组邻补角解析:对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长 线,具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，邻补角的定义：有一条公共边，它们的另一边互 为反向延长线

13、,具有这种关系的两个角，互为邻补角，根据这两个定义进行分析.故选D2. 如图所示,直线ABCD相交于点O / AOC7O。，/ 2=40。，则/ 1的度数为 ()A. 30 °B. 35 °C. 40°D. 70°解析：因为/ AOC70。，所以/ BOD70。(对顶角相等),因为/ 2=40° ,所以/ 仁70° -40° =30° .故选 A3. 如图所示,直线AB和CD相交于点O若/ AOD与/ BOC勺和为236° ,则/ AOC勺度数为( )A. 62 °B. 118 °C.

14、 72°D. 59°解析：因为直线 AB和 CD相交于点 Q / AOD<Z BOC勺和为236° ,又因为/ AODfZ BOC!对 顶角，所以/ AOC180。-错误！未找到引用源。=62。.故选Ait:4. 如图所示,直线AB与CD相交于点O射线OE平分/ BOF.(1) / AOD勺对顶角是 , / BOC勺邻补角是 ;若/ AOD200 , / DOFZ FOB1 : 7,求/ EOC勺度数.解析: 根据对顶角和邻补角的定义可直接得出答案；(2)根据/ AOD20。和/ DOFZFOB1 : 7,求出/ BOF等于 140° ,所以/ E

15、OB等于 70° ,所以/ EOC等于 90° .解: / BOC / AOC/ BOD(2) 因为OE平分/ BOF所以/ BOEZ EOF因为/ DOFZ FOB=1 ： 7, / AOD20。，所以/ DOF错误！未找到引用源。Z BOD错误！未找到引用源。X (180 ° -20° )=20 ° ,所以Z BOF1400,因为Z BOE错误！未找到引用源。Z BOF错误！未找到引用源。X 140° =70°,所以 Z EOCZ BOCZ EOB200 +70° =90°.5. 板书设计5. 1.

16、1相交线1. 邻补角与对顶角的概念2. 对顶角的性质3. 例题讲解例1例26. 布置作用：一、教材作业【必做题】教材第3页练习.【选做题】教材第7页习题5. 1第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1. 已知/ a和/ 3是对顶角，若/ a =30° ,则/ 3的度数为（）A. 30 °B.60 °C.70°D.150°2. 如图所示的四个图形中，/ 1与/ 2是邻补角的是（）y -3JABwC1rI*3. 下列说法正确的是（）A. 若两个角相等，则这两个角是对顶角B. 若两个角是对顶角，则这两个角相等C. 若两个角不是对顶角，则这两个角不相等D

17、. 所有的对顶角相等CR4. 如图所示，直线ABCD交于点0,射线OM平分/ AOC若/ BOD76。，则/ BOM等于（）A.38 °B.104 °C.142°D.144°【能力提升】5. 如图所示，直线AB CD相交于Q OE平分/ AOD/ FOC90。，/ 1=40°，求/ 2和/ 3的度数.6.如图所示，直线AB CD相交于点Q，QE是/ CQB勺平分线.（1）图中有几对对顶角，请分别写出来；当/ BOC130。时，求/ DO啲度数.7.如图所示,直线AB CD EF相交于点O.（1）写出/ COE勺邻补角； 分别写出/ COEHZ

18、BOE的对顶角；如果Z BOD60° , Z BOI=90° ,求Z AOF和 Z FOC勺度数.【拓展探究】8.如图所示的各图形，寻找对顶角(不含平角).()>42)(3>(1)如图(1) 所示,图中共有多少对对顶角？如图所示,图中共有多少对对顶角？如图所示,图中共有多少对对顶角？(4) 研究(1)(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系,若有n条直线相交于一点,则可形成多少对对顶角？(5) 若有2016条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角 ？【答案与解析】1. A(解析：因为/ a和/ 3是对顶角，/ a =30° ,所以根据对顶角相等可得/

19、3 =/ a =30° 故选A )2. D(解析:A,B选项，/ 1与/ 2没有公共顶点且不相邻，不是邻补角；C选项，/ 1与/ 2不互补, 不是邻补角；D选项,互补且相邻，是邻补角故选D )3. B(解析:根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的 反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，所以选项A,C错误；根据对顶角的性 质：对顶角相等，知选项D错误.故选B.)4. C(解析：因为/ BOD76。，所以/ AOC/ BOD76。(对顶角相等).又因为/ BO(和/ BO互为邻补角，所以/ BOC180。-76° =104° .因为射线 OM平分/ AOC所以/ MOC38° ,所以/ BOMIZ BOCZ MOC104&