动点轨迹问题拓展性教学设计探究-教育文档

1、动点轨迹问题拓展性教学设计探究拓展性课程以培育学生的主体意识、 完善学生的认知结构为 宗旨，从教学内容、目标及过程中开发学生的潜能，促进学生个 性的发展，是一种体现不同基础要求、具有一定开放性的课程 .近年来， 在各地中考中出现一类求动点轨迹的问题， 这一热 点问题与高中数学教学紧密衔接， 故以动点轨迹问题为专题的拓 展性课程势在必行 . 由于较难确定动点轨迹的形状，学生往往无 从下手 . 通过此课程的学习，能让学生领会解决动 ?c 轨迹问题的 常用方法，提高学生综合运用圆与一次函数等知识的能力. 在解决动点轨迹问题的过程中，渗透数形结合、函数、方程等思想方 法，培养学生数学建模意识和将实际问

2、题转化为数学问题的能 力，发展学生的几何直观， 鼓励学生发表自己的想法， 勇于质疑， 大胆创新，养成认真勤奋、独立思考、合作交流的学习习惯，形 成严谨求实的科学态度 .一、点动成圆（一）等长判别法 动点到某一定点的距离为定值 . 其原理为圆的定义：到一个 定点的距离等于定长的点的轨迹 .例1如图1, 一根长为2m的木棒AB斜靠在墙角处，此时 BC为1m当A点下滑至A'处并且A'C=1m时，木棒AB的中点P 运动的路径长为 .答案解析 如图2,连结CP CP .vZ ACB=90 , BC=1rp AB=2rp:丄 BAC=30 ,vp是木棒AB的中点，二 PC=PA=imZ P

3、CA=30 ,同理求出Z Bf CP =30°,则 Z PCP =30°,木棒AB的中点P运动的路径长为：30360 X2 n X 1= n 6m.故答案为：n 6m.功能分析 基础题 . 此题为学生之前遇到过的常规题, 意在让 学生回忆动点轨迹是圆弧的情况, 理解等长判别法的含义, 理解 动点到某一定点的距离为定值时,动点的轨迹是圆弧 .教学建议 在学生自主解答的基础上,着重引导学生根据直 角三角形斜边上的中线为斜边的一半这个性质得到动点P到定点C的距离为定值1,故动点P的运动轨迹为圆弧.练习1如图3,在Rt ABC纸片中，Z C=90° , AC=BC=4 点

4、P在AC上运动，将纸片沿PB折叠，得到点C的对应点D （ P 在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对应点 D的路径答案解析 vZ C=90°, AC=BC, ABC是等腰直角三角形.如图4,点D的路径是以点B为圆心，以BC的长为半径的 扇形，路径长=90? n ?4180=2 n .故答案为：2 n .功能分析 中档题 . 进一步理解动点到某一定点的距离为定 值时，动点的轨迹是圆弧 . 培养学生挖掘隐含条件和潜在信息， 理性分析运动过程中所保持的不变性质的能力 .教学建议 在例 1 的基础上解决本题，许多学生有了经验方 法，可以大胆放手让其尝试， 教师只需适时点拨引导学生发现动

5、 点D到定点B的距离为定值4,故动点D的运动轨迹为圆弧.只 需要知道动点D的起点与终点即可求出路径长.变式1如图5,在平行四边形 ABCD中, Z BCD=30 , BC=4 CD=32 , M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将 AMN沿 MN所在直线翻折得到 A MN连接 A G贝U AC长度的最小 值是 . 图 5ANBDMCA'答案解析由题得动点A至U定点M的距离为定值2，故动点 A的运动轨迹为圆弧作ME垂直CD的延长线于点E,由勾股定 理易得：CM=7故最小值为MCA C=7-2=5.故答案为 5.功能分析 拓展题 . 培养学生应用动点轨迹的知识解决其他 类型的题目，拓宽

6、学生的思维，增强学生对知识点的运用能力教学建议 师生共同分析，教师可以让有能力的学生多发表 自己的见解，抓住机会点拨，表扬他们，也可以鼓励其他学生积 极探索，查找自己的思维误区，争取有新的突破 .（二）等角判别法 一动点与两定点所构成的角的度数为定值 . 其原理为圆周角 定理：同弧或等弧所对的圆周角相等 .反之，若一个动点P能使 得以其为顶点的/ APB大小不变，且AB为固定线段，则点P就 在以AB为一条弦且过点P的圆上运动（如图6）.例2如图7 半径为4的00中，CD为直径，弦ABLCD且 过半径0D的中点，点E为00上一动点，CFLAE于点F.当点E 从点B出发顺时针运动到点 D时，点F所

7、经过的路径长为答案解析 如图8,联结AC AO由ABLCD利用垂径定理 得到G为AB的中点，由中点的定义确定出 0G的长，在直角三角 形AOG，由AO与 0G的长，利用勾股定理求出 AG的长，进而 确定出AB的长，由CO+G求出CG的长，在直角三角形 AGC中, 利用勾股定理求出 AC的长，由CF垂直于AE,得到三角形ACF 始终为直角三角形，点 F的运动轨迹为以AC为直径的半径，当 E位于点B时，CGL AE此时F与G重合；当E位于D时，CAL AE 此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点 D时， 点F所经过的路径长AG,在直角三角形ACG,利用锐角三角 函数定义求出/ ACG

8、的度数，进而确定出AG所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出AG的长，即可求出点F所经过的路径长为233 n .功能分析 本题的解决，意在让学生理解当一动点与两定点所构成的角的度数为定 值时，动点轨迹为圆弧 . 为后面的练习做铺垫 .教学建议 师生共同分析，教师可以引导学生发现动点 F 与 定点A, C所构成的角的度数为定值（即/ AFC=90 ），故动点 F的运动轨迹是圆弧，线段 AC是直径，因此只要知道点 F运动 的起点与终点便可得出答案 .练习 2 如图 9，直线 y=-x+4 与两坐标轴交于 A， B 两点，点P为线段0A上的动点，联结BP,过点A作AM垂直于直线

9、BP 垂足为M当点P从点0运动到点A时，则点M运动路径的长为.答案解析根据直线与两坐标轴交点坐标的特点可得A, B两点坐标，由题意可得点 M运动的路径是以AB的中点N为圆心， AB长的一半为半径的0A，易得0A的长度为2 n .功能分析 本题的解决，意在巩固学生对当一动点与两定点 所构成的角的度数为定值时,动点轨迹为圆弧的理解 .教学建议 学生独立完成, 师生共同订正答案 . 教师小结, 等 角判别法： 动点与两定点所构成的角的度数为定值时, 动点轨迹 为圆弧.当动点M与定点A, B所构成的角的度数为定值（即 / AMB=90 ），动点 M的运动轨迹是圆弧，线段 AB是直径.变式2如图10,在

10、边长为4的等边三角形ABC中，点D和 点E分别是边AB和BC上的两个动点，且 BD=CE AE与CD相交于点P,贝V BP长度的最小值是 .答案解析 由厶BCCA ACE全等可以得到动点P与定点A, C所构成的角的度数为定值/ APC=120，故动点 P的运动轨迹 是圆弧，线段AC是弦.如图11,易得BP=433.功能分析 拓展题 . 培养学生应用动点轨迹为圆弧的知识解 决其他类型的题目， 拓宽学生的思维， 培养学生对知识点的运用 能力.教学建议 师生共同分析，教师可以先引导学生发现图中 BCD与 ACE全等，再引导学生判别动点 P的运动轨迹，最后 让部分学生发表自己的见解，抓住机会点拨，表扬

11、他们，也可以 鼓励其他学生积极回答 .设计小结 确定动点轨迹为圆的一般方法有两种，等长判别 法和等角判别法 . 几何动点路径问题需要挖掘隐含条件和潜在信 息，理性分析运动过程中所保持的不变性质， 在此过程可通过画 图（起点、终点、中间关键点） 判断路径形状和范围，然后通 过数学方法进行分析验证及几何建构进行转化 .二、点动成线坐标判别法：当动点P的横纵坐标都能用同一个变量 x （指 数为 1 ）表达时，贝动点轨迹为一直线 .例 1 如图 12，在平面直角坐标系中， A（2， 0）， B（0， 3）， 过点B作直线/x轴，点P （a, 3）是直线上的动点，以 AP为边 在AP右侧作等腰 Rt A

12、PQ / APQ=Rf ,直线AQ交y轴于点C.当点P在直线上运动时，点Q也随之运动，则点Q运动路线的函 数表达式为 .答案解析 过点P作EF丄OA垂足为E,过点Q作QFL EF, 垂足为F，如图13.易得 PEAA QFP.二 PE=QF EA=PF.若点 P 的坐标为(a, 3)，贝U PE=QF=3 EA=PF=|2-a|.点Q的坐标为(a+3, 5-a ).：无论a为何值，点Q的坐标(a+3, 5-a )都满足一次函数 解析式 y=-x+8 ，点Q始终在直线y=-x+8上运动.功能分析 培养学生利用求出动点的坐标从而得知动点轨迹 的判别方法.理解坐标判别法：当动点 P的横纵坐标都能用同

13、一 个变量x (指数为1)表达时，则动点轨迹为一直线.教学建议 师生共同分析，教师可以先引导学生在直角坐标 系中，根据条件求出点 Q的坐标，再提示可以用K形图来解决这 个问题，然后请学生回答解题步 ?E. 最后再引导学生判别动点 P 的运动轨迹为一次函数即直线，最后师生一起解出最后答案 .例2如图14,已知AB=10, P是线段AB上的动点，分别以 AP, PB为边在线段AB的同侧作等边 ACP和厶PDB联结CD 设CD的中点为G,当点P从点A运动到点B时，则点G移动路 径的长是 .功能分析 拓展题 . 加深学生对点动成线问题的理解 .教学建议 师生共同分析，教师可以先引导设出动点 P 与定 点A的坐标，再引导学生利用K形图解出点B的坐标，最后再引 导学生判别动点P的运动轨迹为直线，只需要求出它的起点与终 点，就能求出路径长 . 教师可