九年级下数学相似三角形经典习题(含答案)上课讲义

1、九年级下数学相似三角形经典习题例 1从下面这些三角形中，选出相似的三角形例 2已知：如图，ABCD 中， AE : EB1: 2 ，求AEF 与CDF 的周长的比，如果S AEF6cm 2 ，求 S CDF 例 3如图，已知ABD ACE ，求证：ABC ADE 例 4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（ 1）所有的直角三角形都相似（ 2）所有的等腰三角形都相似（ 3）所有的等腰直角三角形都相似（ 4）所有的等边三角形都相似例 5 如图，D 点是 ABC的边 AC 上的一点， 过 D 点画线段 DE ，使点 E 在 ABC 的边上， 并且点 D、点 E 和 ABC的一个顶点组成的小三角形

2、与ABC 相似尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法例 6如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30 米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约 12 个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60 厘米，求电线杆的高例 7如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点 20m 的 A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到 C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若 AC1.5 m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m）例 8格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由例 9根据下列各组条件，判定ABC 和A B C 是否相似，并

3、说明理由：（1） AB3.5cm, BC2.5cm, CA4cm,A B24.5cm, B C 17.5cm,C A 28cm （2）A35, B104 ,C 44,A 35（3）AB3, BC2.6,B48,AB1.5, B C1.3,B 48例 10如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据例 11 已知：如图，在ABC 中，ABAC ,A36 , BD 是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AD 2DCAC 例 12已知ABC 的三边长分别为5、 12、13，与其相似的A B C 的最大边长为26，求A B C 的面积 S例 13在一

4、次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法小芳的测量方法是：拿一根高3.5 米的竹竿直立在离旗杆27 米的 C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部 E 恰好在同一直线上，又测得C、D 两点的距离为3 米，小芳的目高为1.5 米，这样便可知道旗杆的高你认为这种测量方法是否可行？请说明理由例 14如图，为了估算河的宽度， 我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B 和 C，使 ABBC ，然后再选点 E，使 EC BC ，确定 BC 与 AE 的交点为 D，测得 BD 120 米， DC 60米， EC 50

5、米，你能求出两岸之间 AB 的大致距离吗？例 15 如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和 F 处树立标杆DC 和 FE ，标杆的高都是（ 1 步等于 5 尺），并且 AB、CD 和 EF 在同一平面内，从标杆 DC 退后 123 步的 G 处，可看到山峰一直线上，从标杆 FE 退后 127 步的 H 处，可看到山峰 A 和标杆顶端 E 在一直线上求山峰的高度的水平距离 BD 各是多少？（古代问题）3 丈，相隔 1000 步 A 和标杆顶端 C 在 AB 及它和标杆 CD例 16如图，已知ABC 的边 AB 23 ， AC 2， BC 边上的高 AD 3 （ 1）求 BC 的长；（

6、2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积相似三角形经典习题答案例 1解、相似，、相似，、相似例 2解ABCD 是平行四边形， AB / CD , ABCD ， AEF CDF ，又 AE: EB 1:2， AE:CD 1:3， AEF 与CDF 的周长的比是1： 3又 SSAEF(1 )2 , S AEF6(cm2 ) ， S CDF54(cm 2 ) CDF3例3分析 由于ABD ACE ，则BADCAE ，因此BACDAE ，如果再进一步证明BACAAD，则AE问题得证证明 ABD ACE ，BADCAE 又BACBADDAC ，DAEDA

7、CCAE ，BACDAE ABD ACE ， ABAC ADAEABAC在 ABC和ADE 中，BACABC ADEADE ,，ADAE例 4分析 （ 1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同（ 2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同（3）正确设有等腰直角三角形ABC和 ABC ，其中 CC 90，则AA45,BB45 ，设 ABC 的三边为 a、b、c， A B C 的边为 a 、b 、c ，则 a b, c2a, a b , c2a ， ab ,ca ， ABC A B C abca（4）也正确，如ABC 与A B C 都

8、是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ABC 答：（ 1）、（ 2）不正确（ 3）、（ 4）正确例 5解：画法略例 6分析本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即DF60 厘米0.6 米， GF 12 厘米0.12 米，CE 30米，求 BC由于 ADF AEC, DFAF ，又 ACF ABC ， DFGF ，从而可以求出BC 的长ECACECBC解AEEC,DF / EC ，ADFAEC ,DAFEAC ，ADF AEC DFAF ECAC又 GFEC, BCEC ， GF / BC,AFGACB,AGFABC ，AGF ABC ， AFGF ，DFGF ACBCE

9、CBC又 DF60厘米0.6米， GF 12厘米0.12 米， EC30米， BC 6 米即电线杆的高为6 米例 7分析根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA 与 MNA 的相似关系就明确了解因为 BCCA, MN AN , BACMAN ，所以BCA MNA 所以 MN :BCAN : AC ，即 MN :1.620 :1.5 所以 MN 1.620 1.521.3 （ m）说明这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦例 8分析这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的实际上格点无形中给图形增添了条件长度和角度解在格点中 DEEF,ABBC ，所

10、以EB90 ，又 EF1, DE2, BC2, AB 4 所以 DEEF1 所以DEF ABC ABBC2说明遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏例 9解（ 1）因为 AB3.5cm1, BC2.5cm1, CA4cm1 ，所以ABC ABC ；A B24.5cm7 B C17.5cm7 C A28cm7（ 2）因为C180AB41，两个三角形中只有AA ，另外两个角都不相等，所以ABC 与ABC 不相似；（3）因为BB, ABBC2，所以ABC 相似于ABC A BB C1例 10解 （ 1） ADE ABC两角相等；（ 2） ADE ACB两角相等；（3）CDE CAB两角

11、相等；（ 4）EAB ECD两边成比例夹角相等；（5）ABD ACB 两边成比例夹角相等；（ 6） ABD ACB两边成比例夹角相等例 11分析 有一个角是 65°的等腰三角形，它的底角是72°，而 BD 是底角的平分线，CBD36，则可推出ABC BCD ，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系证明A36 ,ABAC ，ABCC72又BD 平分ABC ， ABDCBD36 ADBDBC ，且ABC BCD ， BC : ABCD:BC， BC2AB CD ， AD2ACCD说明（ 1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，

12、并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边（ 2）要说明线段的乘积式abcd ，或平方式 a 2bc ，一般都是证明比例式，ad ，或 ba ，再根据cbac比例的基本性质推出乘积式或平方式例 12分析由ABC 的三边长可以判断出ABC 为直角三角形，又因为ABC ABC ，所以ABC 也是直角三角形，那么由A B C 的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出A B C 的两条直角边长，再求得ABC 的面积解设ABC 的三边依次为，BC5, AC12, AB13，则 AB2BC 2AC2，C90 又ABC ABC ，CC90 BCACAB131 ，B CA CA B262又 BC5, A

13、C 12， BC10,AC24 S1 A CB C12410120 22例 13分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高按这种测量方法，过F作 FGAB 于 G，交 CE 于 H，可知AGF EHF ，且 GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG，故旗杆 AB 可求解这种测量方法可行理由如下：设旗杆高 ABx 过 F 作 FGAB 于 G，交 CE 于 H （如图）所以 AGF EHF 因为 FD1.5,GF27 330, HF3 ，所以 EH3.51.52, AGx1.5由AGF EHF ，得 AGGF ，即 x1.530 ，所以 x1.520，解得 x

14、21.5 （米）EHHF23所以旗杆的高为21.5 米说明在具体测量时，方法要现实、切实可行例 14. 解：ADBEDC ,ABCECD90 ， ABD ECD， ABBD ,ABBD EC120 50100 （米），答：两岸间AB 大致相距100 米ECCDCD60例 15.答案： AB 1506米， BD 30750步，（注意： KCDG AK ,KEFHAK ）CDFE例 16.分析： 要求 BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高 AD，那么有两种情况存在，即点D在BC上或点 D在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论求正方形的面积，关键是求正方形的边长解：（ 1）如上图，由AD BC，由勾股定理得BD 3， DC 1，所以 BC BD DC 3 1 4如下图，同理可求BD 3，DC 1，所以 BC BD CD 312（ 2）如下图， 由题目中的图知BC 4，且 AB 2AC 2(23) 22216 ，BC 216 ， AB2 AC 2 BC 2 所以 ABC 是直角三角形由 AEGF 是正方形，