第二章随机过程基本概念

1、2随机过程的基本概念§2.1 基本概念随机过程是指一族随机变量 .对随机过程的统计分析称为随机过程论 , 它 是随机数学中的一个重要分支,产生于本世纪 的初期 .其 研究对象是随机现象 ,而它 特别研究的 是随 “ 时间 ” 变化的 “ 动态 ” 的随机现象 .一 随机过程的定义1 定义 设 E 为随机试验, S 为其样本空间,如果 (1对于每个参数 t T , X(e,t为建立在 S 上的随 机变量,(2对每一个 e S , X(e,t为 t 的函数,那么称随 机变量族 X(e,t, t T, e S为一个随机过程,简 记为 X(e,t, t T或 X(t。(为随机序列。 时,通常

2、称 , 取可列集合 当 可以为无穷。通常有三种形式:参数 一般表示时间或空间, 或 有时也简写为 一个轨道。随机过程的一个实现或 过程的样本函数,或称 随机 的一般函数,通常称为 为 对于 :上的二元单值函数。为 即 若用映射来表示 注意:t X T T T b a b a T T T T t X t X t e X T t e X S e S T t e X RS T t e X t21321, , , , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, , 3, 2, 1, 0T , . 4, . 3, , 2, :, . 1=-=ÎÎ×δ&#

3、174;´L L L为一个随机过程。 则 令掷一均匀硬币, 例 , ( (cos (, 1t e X t X Rt T e t H e t t X T H S =Îîíì=p2 随机过程举例 例 2:用 X(t表示电话交换台在 (0, t 时间内接到的呼唤 的次数 , 则(1对于固定的时刻 t, X(t为随机变量 , 其样本空间为 0, 1, 2, .,且对于不同的 t, 是不同的随机变量 .(2对于固定的样本点 n, X(t=n是一个 t 的函数 .(即:在多长时间内来 n 个人 ?所以 X(t,t>0为一个随机过程 .相位正弦波。 为

4、随机过程,称为随机 则 令 例 (2, 0(sin( (3t X U Y R t Y t a t X pwÎ+=例 4 考虑 抛掷骰子 的试验 :(i 设 X n 是第 n 次抛掷的 点数 ,对于 n = 1, 2, 的 不同值, X n 为不同的随机变量,因而 Xn , n 1构成一个随机过程,(ii 设 是前 n 次抛掷中出现的最大点数,n Y 1, ³n Y n 为随机过程。k nk n X Y ££=1max例 5 1827年 布朗(Brown 发现静水中的花粉在 不停的运动,后来就把这种运动称为布朗运动。 在静水中花粉运动的原因是由于花粉受到水

5、中分 子的碰撞,这些相互独立的分子每分钟多达 1021次对花粉随机碰撞的合力使花粉产生随机运动。 若用 X(e,t表示在 t 时刻花粉所处位置的横坐 标,那么X(e,t , t(0,+就是描述花粉运动的随机过程。(布朗运动例 6 群体生长随机模型一个群体 (如:自然生长的鸟的群体、一个宇宙 射线粒子引起的裂变的原子全体、数量遗传学中:传 染病的扩散数、癌细胞的扩散数等 的大小和组成是 有起伏的(随时间而变,用 X(t表示时间 t 时群体的 大小, 则 为一随机过程。(TttX Î例 7 排队问题:顾客来到服务站要求服务(如:某时间段内 用户对电话交换台的呼叫数、到银行要求服务的顾客

6、数、用户对电器故障要求修理的户数等,当服务 站中的服务员都在忙碌时,来到的顾客就要排队。 如:用 X(t表 t 时要求服务的用户数,Y(t表 t 时来到的顾客需等候的时间Z(t表 t 时的队长,等。则 X(t, Y(t, Z(t 均为随机过程。自然界还有许多随机现象,如地震波幅 ,结构物承受的 风荷载 ,§在时间间隔 0, t 内船舶 甲板 “ 上浪 ” 的次数 , §通讯系统和自控系统中的各种 噪声和干扰 , §生物群体的生灭问题§数量遗传学§竞争现象,§传染病扩散,癌细胞扩散§质点随机游动,排队问题等等§都可用

7、随机过程这一数学模型来描述。例 8(., 2, 0(, 1, 13. , , 2, 0(2. , , 1, 11., , sin 为常数 而 的均匀分布 上 服从 上均匀分布的随机变量 是 若 为常数 上的均匀分布 服从 若 为常数 上均匀分布的随机变量 是 若 画出其图形 的任意两个样本函数并 试写出随机过程Q-QQ-+¥¥-ÎQ+=pwwpwwA A A t t A t X §2.2随机过程的分布与存在定理一、随机过程的分布函数族定义 2.1设 X (t为随机过程,对任意固定的 t ,及实数 x ,称为随机过程的一维分布函数 , 而 称为此随机过程的

8、一维分布函数族 ., , , (T t R x t x F ÎÎTt x t X P t x F ΣºD( , (1注意:随机过程的一维分布函数不是一个函数而是一 族(无数个函数,描述了随机过程在各个孤立时刻 的统计特性。 1 随机过程的一维分布函数族(1 若有 的一维密度函数。为 称 使 可积: ( , ( , ( , (, 0 , (1111T t t X t x f dxt x f t x F t x f xÎ=³ò¥-(2 若有 的一维概率分布。为 称 满足 : (1, 0 (T t t X p

9、 pp p x t X P k k k k kk Î=³=åT ttXtX Î=,cos(w例 1 考虑随机过程此处 w为常数, X 服从标准正态分布。 试求 X (t 的一维概率密度。 例 2 设随机过程为0(,(>=ttetY X其中 X 服从参数为 l的指数分布, 试求 Y (t 的一维概率密度。 定义 2设 X(t为随机过程,对于任意两个时刻 t 1,t 2,及实数 x 1, x 2,称为随机过程的二维分布函数 , 而称为此随机过程的二维分布函数族 .(, ( , , , (221121212x t X x t X P t t x x F

10、££=, , , , , , , (21212121T t t R x x t t x x F ÎÎ2 随机过程的 二维分布函数族注意:随机过程的二维分布函数描述了随机过 程在任意两个不同时刻的状态之间的联系。定义 3设 X (t为随机过程,对于任意 n 个时 刻 ,及实数 ,称 T t t t n Î, , , 21L R x x x n Î, , , 21L (, , (, ( , , , , , , , (22112121n n n n n x t X x t X x t X P t t t x x x F £

11、3;£=L L L 1, , , , , , , , , , , , (212121³În T t t t t t t x x x F n n n n L L L 3 n维分布函数族为 X (t 的 有限维 分布函数族。为随机过程的 n 维分布函数。称关于随机过程 X (t 的 所有有限维分布函数的集合注意:随机过程的 n 维分布函数描述了随机 过程在任意 n 不同时刻的状态之间的 联系。随机过程 X (t 的有限维分布函数族的意义何在 ? 随机过程的 n 维分布函数(或概率密度能 够近似地描述随机过程的统计特性,而且, n 越大,则 n 维分布函数越趋完善地描述

12、随机过 程的统计特性。1931年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫证明了关于有 限维分布函数族的重要性的定理 .(1对称性:对于 (1, 2, , n 的任一排列 i 1,i 2, ,i n 有 满足 , 1 , , , , , , , , (2121T t n t t t x x x F F i n n n γ=L L , , , , , , , ( , , , , , , , (21212121n n i i i i i i n t t t x x x F t t t x x x F n n L L L L =(, , (, ( , , , , , , , (22112121n

13、 n n n n x t X x t X x t X P t t t x x x F £££=L L L 则 F 必为某个随机过程的有限维分布族。即存在 X(t,使 (2相容性:对于任意自然数 m < n ,函数簇中的 m 维分布函数与 n 维分布函数之间有关系:定理 2.1(存在定理 设分布函数簇, , , , , , , , , , ( , , , , , , , (21212121n m n m m m t t t x x x F t t t x x x F L L L L L +¥+¥=例 3 设 为随机过程,其 中 A 和 B

14、为随机变量 , 相互独立 , 均服从正态分布 N (0, 1 b t a Bt A t X ££<+=0 , (试求 X (t 的 n 维分布函数。 二、随机过程的数字特征与特征函数1 随机过程的数字特征(1若对于任意给定的 t , EX (t的存在,则 称它为随 机过程的均值(t 的函数,记为( (t EX t m X =又称为 X(t的均值函数。 (2若对于任意给定的 t , EX 2(t存在,则称 它为随机 过程的均方值函数,记为 ( (22t EX t X =y(3若对于任意给定的 t, E(X(t-mX (t2存在,则称它 为随机过程的方差函数,记为 2(

15、( (t m t X E t D X X -=(4若对于任意给定的 t 1,t 2, EX(t1X(t2存在,则称它 为随机过程的自相关函数 , 记为( ( , (2121t X t X E t t R X =(5若对于任意给定的 t 1,t 2,存在则称它为随机过程的自协方差函数,记为 (2211t m t X t m t X E x x -均值函数,均方值函数与方差函数是刻画随机 过程在某个孤立时刻状态的数字特征,而自相关函 数与自协方差函数则是刻画随机过程自身在两个不 同时刻状态之间的线性依从关系的数字特征。( ( ( , (221121t m t X t m t X E t t C X

16、 X X -=数字特征之间具有如下关系, ( (22t t R t X E t X X =y ( ( , ( , (212121t m t m t t R t t C X X X X -=( , ( , ( (2t m t t R t t C t D X X X X -=( (22t m t X X -=ycos(Q+=tatX w的均值函数,方差函数和自相关函数。 其中, a , w为常数, Q是在 (0, 2p 上均匀分布的随机变量。 例 4试求随机相位余弦波 2 随机过程的特征函数的一维特征函数。为 称 为随机变量,记由于给定 ( , ( ( ( , ( (, ( (t X u t u

17、eE u t t X T t X t X t iuX X jjjÙ=Îåò=¥¥-k k iux X k k iux X p eu t p x t X P t X dx t x f e u t t x f t X k , ( ( ( 2 , ( , ( , ( (111jj则 有分布列 若 (,则有密度 若 (有时也需要利用常用的一些特征函数来求 随机变量的分布函数,由特征函数与分布函数 的一一对应性有:kk k k iux t X p x t X P p eu k =Û=å ( ( (j例 6:设 独立,且服从

18、, 0(, (221sN X t X X t X i +=求 X(t的一维特征函数。 随机过程的 n 维特征函数:( , , ; , , ( ( (112211n n t X u t X u t X u i n n X e E u u t t +=L L L j定义:称随机过程 的一维、二 维、 n 维等有限维特征函数全体为 X(t的有限维特征函数簇。: (T t t X Î1, : , , ; , , (11³În T t u u t t i n n X L L j随机过程与分布函数一样,能较全面地描述 X(t的统计特性。§2.3 随机过程的基本类型 对一般随机过程进行研究是十分困难的 .因为实际问题产生的随机过程总可以归结为 一些特殊的随机过程,所以我们有必要对随