医用物理学：ch-1-4刚体力学基础

1、1猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加而减少，为什么会这样呢？受伤的程度将随高度的增加而减少，为什么会这样呢？2 1-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动 1-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 1-3力矩的功定轴转动的动能定理力矩的功定轴转动的动能定理 1-4角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律 1-5 人体的静力平衡人体的静力平衡 1-6 物体的弹性物体的弹性本章教学内容本章教学

2、内容3 一一. 理解描写刚体定轴转动的物理量，并理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系掌握角量与线量的关系. 二二. 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定律绕定轴转动的转动定律. 三三 . 理解角动量概念，掌握质点在平面内运理解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题. 五五. 能运用以上规律分析和解决包括质点和能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题刚体的简单系统的力学问题. 四四. 理解刚体定轴转动的转动动能概念，能理解刚体定轴转动的转动动

3、能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律守恒定律.4刚体转动的教学始终以刚体转动的教学始终以进行。进行。由力矩的定义及牛顿第二定律导出刚体绕定轴转动由力矩的定义及牛顿第二定律导出刚体绕定轴转动的转动定律的转动定律,并与牛顿第二定律类比教学。并与牛顿第二定律类比教学。 力矩的功与力的功类比力矩的功与力的功类比;刚体的转动动能与质点的平动动能类比刚体的转动动能与质点的平动动能类比; 刚体的角动量定理及角动量守恒定律与质点刚体的角动量定理及角动量守恒定律与质点(系系)的的角动量定理及角动量守恒定律类比角动量定理及角动量守恒定律类比;刚体绕

4、定轴转动的机械能守恒定律与质点的机械能刚体绕定轴转动的机械能守恒定律与质点的机械能守恒定律类比。守恒定律类比。 51.刚体的运动刚体的运动 在讨论问题时可在讨论问题时可以忽略由于受力而引起以忽略由于受力而引起的形状和体积的改变的的形状和体积的改变的理想模型理想模型。 刚体在运动中，其刚体在运动中，其上任意两点的连线始终上任意两点的连线始终保持平行。保持平行。AA A BB B 一一.刚体定轴转动运动学刚体定轴转动运动学对对点点、对、对轴轴（只讨论（只讨论定轴转动定轴转动）O转轴转轴(定轴转动定轴转动)质心的平动质心的平动+绕质心的转动绕质心的转动 各质元的各质元的线量一般线量一般不同不同（因为

5、半径不同）（因为半径不同）但但角量角量（角位移、角速（角位移、角速度、角加速度）度、角加速度）都相同都相同。1-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动67 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动动. . 转动又分定轴转动和非定轴转动转动又分定轴转动和非定轴转动 . . 刚体的平面运动刚体的平面运动 . . 8 刚体的一般运动刚体的一般运动 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+9 AA2.描述刚体转动的物理量描述刚体转动的物理量对定轴转动的刚体可选取对定轴转动的刚体可选取垂直于转轴的一个平面进垂直于转轴的一个平面进行研究行研究.xo Pr 转动平面转

6、动平面点点P(r, )的转动可代表整的转动可代表整个刚体的转动个刚体的转动.描述点描述点P转动的物理量为转动的物理量为:(1). 角坐标角坐标 (t)一般规定一般规定逆时针转动逆时针转动为正，顺时针为负。为正，顺时针为负。定义定义:dtd 单位单位: rad/s逆时针转动时逆时针转动时， 0顺时针转动时顺时针转动时 ， 0顺时针转动时顺时针转动时 ， 0(2).角速度角速度11, 刚体作加速转动刚体作加速转动; 反之反之 减速转动减速转动.加速转动加速转动方向一致方向一致减速转动减速转动方向相反方向相反 定轴转动定轴转动时时 方方向只需用正负表示向只需用正负表示:3.刚体刚体匀变速转动匀变速转

7、动当当为常量时有为常量时有:20 质点作匀变速质点作匀变速直线运动公式直线运动公式.类似于类似于角速度矢量角速度矢量 刚体定轴转动时刚体定轴转动时,只需只需用正负来表示方向用正负来表示方向.角速度方向规定为沿轴角速度方向规定为沿轴方向，指向用方向，指向用右手螺旋右手螺旋法则法则确定。确定。(3).角加速度角加速度定义定义:单位单位: rads-2dtd120t 20012tt 22002 () 对点对点P有有考虑考虑 v , r , 都是矢量都是矢量rv r v Pdarrdt ()nar , 刚体作加速转动刚体作加速转动; 反之减速转动反之减速转动.加速转动加速转动方向一致方向一致减速转动减

8、速转动方向相反方向相反 定轴转动定轴转动时时 方方向只需用正负表示向只需用正负表示:3.刚体刚体匀变速转动匀变速转动当当为常量时有为常量时有:20 质点作匀变速质点作匀变速直线运动公式直线运动公式.类似于类似于13v = r tdvdarrdtdt 2 ran 一圆柱形转子可绕垂一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴直其横截面通过中心的轴转动转动. 开始时它的角速度开始时它的角速度 0=0,经过经过300秒秒后后,角速度角速度 =18000转转/分分.已知其角加已知其角加速度速度与时间成正比与时间成正比.问在这问在这段时间内段时间内,转子转过多少转转子转过多少转?0t 20012tt 220

9、02 () 对点对点P有有考虑考虑 v , r , 都是矢量都是矢量rv r v Pdarrdt ()nar 14 已知已知 = Ct即即:tdtdC d = Ctdt ttdtd00C 2C21t 由条件由条件 t=300s 时时1-srad60060218000 753006002222 tCv = r tdvdarrdtdt 2 ran 一圆柱形转子可绕垂一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴直其横截面通过中心的轴转动转动. 开始时它的角速度开始时它的角速度 0=0,经过经过300秒秒后后,角速度角速度 =18000转转/分分.已知其角加已知其角加速度速度与时间成正比与时间成正比.问在

10、这问在这段时间内段时间内,转子转过多少转转子转过多少转?15再由再由:dtd dttdtd2150 积分积分 002150tdttd3450t 在在0300s内内, ,转过的转过的230045022 N= 3 104 转转2150t 为为 已知已知 = Ct即即:tdtdC d = Cdt ttdtd00C 2C21t 由条件由条件 t=300s 时时1-srad60060218000 753006002222 tC16(2) 设设t t 时刻，质点的加速度与半径成时刻，质点的加速度与半径成45o角，则角，则(2) 当当 =? 时，质点的加速度与半径成时，质点的加速度与半径成45o角？角？(1

11、) 当当t =2s 时，质点运动的时，质点运动的an 和和222230.4 m/s 4.8 m/snarar32 4 radt 一质点作半径为一质点作半径为0.1 m 的圆周运动，已知运动学方程为的圆周运动，已知运动学方程为(1) 运动学方程得运动学方程得求求a2d12dttnaa解解以及以及a的大小的大小222230.5 m/snaaa4144 24 0.55 sttt 324 2.67 radt22d24dtt2rr17一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为2 m 的圆形轨道运的圆形轨道运动。此质点的角速度与运动时间的平方成正比，即动。此质点的角速度与运动

12、时间的平方成正比，即 =kt 2 ，k 为待定常数为待定常数. .已知质点在已知质点在2 s 末的线速度为末的线速度为 32 m/s. t =0.5 s 时质点的线速度和加速度时质点的线速度和加速度32 m/s v24RRtv2d88.0 m/sdaRttv2228.25 m /snaaa 322 4 sKtRtv2 4t2 42.0 m/ sRtv222.0 m/snaRvarctan()13.6naa解解求求当当t =0.5 s 时时由题意得由题意得18二二. 刚体定轴转动动力学刚体定轴转动动力学 1.力对转轴的力矩力对转轴的力矩（1） 外力在转动平面内外力在转动平面内ZfrPdOzM 转

13、动转动 平面平面 frMz 满足右手法则满足右手法则.fdfrMzsin ( sin )frf r 即：即：只有切向分力才可能只有切向分力才可能改变转动状态。改变转动状态。19 只有在转动平面内的力只有在转动平面内的力 才能产生转动才能产生转动, ,才能改变才能改变 刚体定轴转动的转动状态。刚体定轴转动的转动状态。（2）外力不在转动平面内）外力不在转动平面内（3）外力产生的合力矩）外力产生的合力矩nMMMM 21对对定轴定轴转动转动:nMMMM 21 合力矩合力矩是各分力产是各分力产生的力矩的代数和生的力矩的代数和.(4)一对内力对转轴的力矩一对内力对转轴的力矩二二 刚体定轴转动动力学刚体定轴

14、转动动力学 1、力对转轴的力矩、力对转轴的力矩ZfrPdOzM 转动转动 平面平面 frMz sinfrMz 满足右手法则满足右手法则.（1） 外力在转动平面内外力在转动平面内 ( sin )frf r 只有切向分力才可能只有切向分力才可能改变转动状态改变转动状态。即：即：20由于成对内力大小相等由于成对内力大小相等,方方向相反，则其力臂必相同向相反，则其力臂必相同.故力矩大小相等故力矩大小相等. 一对内力对转轴一对内力对转轴的合力矩为零的合力矩为零.故故: 半径为半径为R,质量为质量为m的均的均匀圆盘在水平桌面上绕中匀圆盘在水平桌面上绕中心轴转动心轴转动,盘与桌面间的摩盘与桌面间的摩擦系数为

15、擦系数为 ,求转动中的摩求转动中的摩擦力矩的大小擦力矩的大小. 只有在转动平面内的力只有在转动平面内的力 才能产生转动才能产生转动, ,才能改变才能改变 刚体定轴转动的转动状态。刚体定轴转动的转动状态。（2）外力不在转动平面内）外力不在转动平面内（3）外力产生的合力矩）外力产生的合力矩nMMMM 21对对定轴定轴转动转动:nMMMM 21 合力矩合力矩是各分力产是各分力产生的力矩的代数和生的力矩的代数和.(4)一对内力对转轴的力矩一对内力对转轴的力矩21设盘厚度为设盘厚度为h,以盘轴以盘轴心为圆心取半径为心为圆心取半径为r, 宽宽为为dr的微圆环的微圆环,其质量为其质量为h0drrdrRmr2

16、2dm =dv vrdrhhRm22它对桌面的它对桌面的为为:由于成对内力大小相等由于成对内力大小相等,方方向相反，则其力臂必相同向相反，则其力臂必相同.故力矩大小相等故力矩大小相等. 一对内力对转轴一对内力对转轴的合力矩为零的合力矩为零.故故: 半径为半径为R,质量为质量为m的均的均匀圆盘在水平桌面上绕中匀圆盘在水平桌面上绕中心轴转动心轴转动,盘与桌面间的摩盘与桌面间的摩擦系数为擦系数为 ,求转动中的摩求转动中的摩擦力矩的大小擦力矩的大小.22drRmgrgdmdN22与桌面间的与桌面间的为为:32312RRmgRdrrRmgdMM0222rdrRmgdNdf22090sinrdfdM 该摩

17、擦力的该摩擦力的为为:mgR32drrRmg222设盘厚度为设盘厚度为h,以盘轴以盘轴心为圆心取半径为心为圆心取半径为r, 宽宽为为dr的微圆环的微圆环,其质量为其质量为h0drrdrRmr22dm=dvrdrhhRm22它对桌面的它对桌面的为为:232. 转动定律转动定律(定轴定轴)恒恒矢矢量量则则,0 iM若若zOrifiFi mi i i与桌面间的与桌面间的为为:32312RRmgRdrrRmgdMM0222rdrRmgdNdf22090sinrdfdM 该摩擦力的该摩擦力的为为:mgR32drrRmg22224设刚体中质元设刚体中质元 mi受外受外力力Fi ,内力内力fi 作用作用法向

18、力法向力的的力矩为零力矩为零.iiiiamfF 对对 mi用牛顿第二定律：用牛顿第二定律：切向分量式为：切向分量式为：Fisin i+fisin i= miait外力矩外力矩内力矩内力矩两边乘以两边乘以riait=ri 2sinsiniiiiiiiirmrfrF 2. 转动定律转动定律(定轴定轴)恒恒矢矢量量则则,0 iM若若zOrifiFi mi i i25：iiiiiiiirfrFsinsiniiirm2 Fi sin i =（ mi ri2） ir内力力矩和为零内力力矩和为零，则有，则有 2iirmJJM 矢量式矢量式 JM 上式为上式为设刚体中质元设刚体中质元 mi受外受外力力Fi ,

19、内力内力fi 作用作用法向力法向力的的力矩为零力矩为零.iiiiamfF 对对 mi用牛顿第二定律：用牛顿第二定律：切向分量式为：切向分量式为：Fisin i+fisin i= miait外力矩外力矩内力矩内力矩两边乘以两边乘以riait=ri 2sinsiniiiiiiiirmrfrF 26(1)(1)定轴转动时定轴转动时M M、J J均为均为代代 数量数量. .式中式中必必 须对同一定轴而言。须对同一定轴而言。 (2) 定律具有矢量性和定律具有矢量性和 瞬时性。瞬时性。(3) ,iiiMMM 先先求求再再求求 m反映质点的反映质点的平动惯性，平动惯性， (4)amF 地位相当地位相当 JM

20、 与与J反映刚体的反映刚体的转动惯性转动惯性：iiiiiiiirfrFsinsiniiirm2 Fi sin i =（ mi ri2） ir内力力矩和为零，则有内力力矩和为零，则有 2iirmJJM 矢量式矢量式 JM 上式为上式为27由转动惯量的定义知由转动惯量的定义知: 2iirmJ它是它是刚体中各质元的质量与刚体中各质元的质量与各质元到转轴的距离平方的各质元到转轴的距离平方的乘积之和乘积之和.:iiirmJ23.转动惯量转动惯量(1)(1)定轴转动时定轴转动时M.JM.J均为代均为代 数量数量. .式中式中必必 须对同一定轴而言。须对同一定轴而言。（2 2）定律具有矢量性和）定律具有矢量

21、性和 瞬时性。瞬时性。(3) ,iiiMMM 先先求求再再求求 m反映质点的反映质点的平动惯性，平动惯性，（4 4）amF 地位相当地位相当 JM 与与J反映刚体的反映刚体的转动惯性转动惯性28的刚体的刚体: dmrJ2单位单位:kgm2dldmdsdmdVdm质量为质量为质量为质量为质量为质量为其中其中 分别分别为质量的为质量的、和和。由转动惯量的定义知由转动惯量的定义知: 2iirmJ它是它是刚体中各质元的质量刚体中各质元的质量与各质元到转轴的距离平与各质元到转轴的距离平方的乘积之和方的乘积之和.:iiirmJ23.转动惯量转动惯量29 一质量为一质量为m, 长为长为l 的均匀长棒的均匀长

22、棒. 求通过棒中求通过棒中心并与棒垂直的轴的转心并与棒垂直的轴的转动惯量动惯量. 建立如图坐标系建立如图坐标系xOdxx在在x处取长为处取长为dx的质元的质元dxlmdxdm dxxdmxdJ22 2/2/2lldxxJ 3121l 2121ml 的刚体的刚体: dmrJ2单位单位:kgm2dldmdsdmdVdm质量为质量为质量为质量为质量为质量为其中其中 分别分别为质量的为质量的、和和。30 xO ldxxJ02 231ml 用用JC表示刚体过质心的表示刚体过质心的转动惯量转动惯量JC2121ml cdd=l /2231ml 222121 lmmlJ 一质量为一质量为m, 长为长为l 的均

23、匀长棒的均匀长棒. 求通过棒中求通过棒中心并与棒垂直的轴的转心并与棒垂直的轴的转动惯量动惯量. 建立如图坐标系建立如图坐标系xOdxx在在x处取长为处取长为dx的质元的质元dxlmdxdm dxxdmxdJ22 2/2/2lldxxJ 3121l 2121ml 31 JC是刚体通过质心的转动是刚体通过质心的转动惯量惯量, d是过质心的转轴到是过质心的转轴到另一平行转轴的距离另一平行转轴的距离.2mdJC2mdJJC 求质量为求质量为m,半径为半径为R的细的细圆环或匀质圆盘绕通过中圆环或匀质圆盘绕通过中心并与圆面垂直的转轴的心并与圆面垂直的转轴的转动惯量转动惯量.xO ldxxJ02 231ml

24、 用用JC表示刚体过质心的表示刚体过质心的转动惯量转动惯量JC2121ml cdd=l /2231ml 222121 lmmlJ 32 2iirmJ 222mRmRRmii 或或 dmRdmrJ2222mRdmR （不计厚度）（不计厚度） 细圆环的质量可认为细圆环的质量可认为全部集中在半径为全部集中在半径为 R 的的圆周上圆周上 , 故故2JmR JC是刚体通过质心的转动是刚体通过质心的转动惯量惯量, d是过质心的转轴到是过质心的转轴到另一平行转轴的距离另一平行转轴的距离.2mdJC2mdJJC 求质量为求质量为m,半径为半径为R的细的细圆环或匀质圆盘绕通过中圆环或匀质圆盘绕通过中心并与圆面垂

25、直的转轴的心并与圆面垂直的转轴的转动惯量转动惯量.33rdr在在r 处取处取宽为宽为dr 的细圆环的细圆环设质量面密度设质量面密度2Rm 细环元的面积细环元的面积: S=2 rdr则则 dm = dS = 2 rdrdrrdmrdJ322 RdrrdJJ032 4241R 221mR 2iirmJ 222mRmRRmii 或或 dmRdmrJ2222mRdmR （不计厚度）（不计厚度） 细圆环的质量可认为细圆环的质量可认为全部集中在半径为全部集中在半径为 R 的的圆周上圆周上 , 故故2JmR 341. 与刚体的体密度与刚体的体密度 有有关关(几何形状简单几何形状简单,则则与质量与质量m有关有

26、关)2. 与刚体的几何形状与刚体的几何形状(及及体密度体密度 的的分布分布)有关有关.3.与转轴的位置及转轴与转轴的位置及转轴的取向有关的取向有关.定义定义: 22GiimrrmJ rG 叫刚体的回转半径叫刚体的回转半径rdr在在r 处取处取宽为宽为dr 的细圆环的细圆环设质量面密度设质量面密度2Rm 细环元的面积细环元的面积: S=2 rdr则则 dm = dS = 2 rdrdrrdmrdJ322 RdrrdJJ032 4241R 221mR 35 下图所示刚体对经过下图所示刚体对经过 棒端且与棒垂直的轴棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？的转动惯量如何计算？( (棒长为棒长为L L、圆

27、半径为、圆半径为R R）2131LmJLL 252RmJoo 2002002)(RLmJdmJJLLmOm222)(5231RLmRmLmooL12LLJJJ 1. 与刚体的体密度与刚体的体密度 有有关关(几何形状简单几何形状简单,则则与质量与质量m有关有关)2. 与刚体的几何形状与刚体的几何形状(及及体密度体密度 的的分布分布)有关有关.3.与转轴的位置及转轴与转轴的位置及转轴的取向有关的取向有关.定义定义: 22GiimrrmJ rG 叫刚体的回转半径叫刚体的回转半径36刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用细杆长细杆长为为l, 质量为质量为m ,求从竖直位置由静止转到求从竖直位置由

28、静止转到 角时的角加速度和角速度角时的角加速度和角速度.O PNl 细杆受力细杆受力P 和和N1sin2pNMMmgl 下图所示刚体对经过下图所示刚体对经过 棒端且与棒垂直的轴棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？的转动惯量如何计算？( (棒长为棒长为L L、圆半径为、圆半径为R R）2131LmJLL 252RmJoo 2002002)(RLmJdmJJLLmOm222)(5231RLmRmLmooL12LLJJJ 371sin2mglJ而而231mlJ 于是于是3sin2dgdtl利用利用 dddtddddtd dlgdsin23 有有利用利用 t=0, 0=0, 0=0刚体定轴转动定律的

29、应用刚体定轴转动定律的应用细杆长细杆长为为l, 质量为质量为m ,求从竖直位置由静止转到求从竖直位置由静止转到 角时的角加速度和角速度角时的角加速度和角速度.O PNl 细杆受力细杆受力P 和和N1sin2pNMMmgl 38积分积分: 00sin23dlgd在在 角时角时,角速度为角速度为)cos1(3 lg1sin2mglJ而而231mlJ 于是于是3sin2dgdtl利用利用 dddtddddtd dlgdsin23 有有利用利用 t=0, 0=0, 0=039FOr(1) 飞轮的角加速度飞轮的角加速度(2) 如以重量如以重量P =98 N的物体挂在绳端，的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加

30、速度试计算飞轮的角加速度解解 (1)FrJ298 0.239.2 rad/s0.5FrJmg T ma (2)TrJar两者区别两者区别mgT求求一轻绳绕在半径一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦，飞轮与转轴间的摩擦不计，不计， (见图见图)2mgrJmr2298 0.221.8 rad/s0.5 10 0.240 xOPdrd rF 1、力矩的功力矩的功|cosrdFrdFdW rdF cos tFFcos MddW MrFcos MdW力矩作功是力作

31、功的力矩作功是力作功的角量表达式角量表达式2、转动动能、转动动能iiiKvmE221所有质元的动能之和为：所有质元的动能之和为：22221)(21Jrmiiiiiirm2)(21三三. .力矩的功力矩的功 转动动能转动动能 定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理41212kEJ 3、定轴转动的动能定理、定轴转动的动能定理力矩做功：力矩做功：dtdtdJ21ddtdJ2121Md21222121 JJ 21 dJ或由或由 MdW力矩作功是力作功的力矩作功是力作功的角量表达式角量表达式2、转动动能、转动动能iiiKvmE221所有质元的动能之和为：所有质元的动能之和为：22221)(21Jrmiii

32、iiirm2)(2142dMJJdtdddJJddtd 当当=1时，时，=1 2121dJdM2122212121JJdM21222121 JJ 212kEJ 3、定轴转动的动能定理、定轴转动的动能定理力矩做功：力矩做功：dtdtdJ21ddtdJ2121Md21222121 JJ 21 dJ或由或由43合外力矩对定轴转动合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。体转动动能的增量。4、刚体的重力势能、刚体的重力势能hhihcxOmCm一一个质元：个质元：iighm iiiPhgmE 重整个刚体：整个刚体：dMJJdtdddJJddtd 当当=1时，时，=1 212

33、1dJdM2122212121JJdM21222121 JJ 44 一个不太大的刚体一个不太大的刚体的重力势能相当于它的的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心全部质量都集中在质心时所具有的势能。时所具有的势能。 对于含有刚体的系统对于含有刚体的系统, ,则此系统则此系统的机械能守恒。的机械能守恒。212cEJmgh 常常量量5.刚体的刚体的机械能守恒机械能守恒定律定律:ciiimghhmg )( 合外力矩对定轴转动合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。体转动动能的增量。4、刚体的重力势能、刚体的重力势能hhihcxOmCm一一个质元：个质元：iighm ii

34、iPhgmE 重整个刚体：整个刚体：45 有一长为有一长为L ，质量为，质量为 m 的均匀细棒，静止放的均匀细棒，静止放在水平桌面上，它可以绕着过其端点在水平桌面上，它可以绕着过其端点o，且与桌，且与桌面垂直的固定光滑轴转动，细棒与桌面的滑动面垂直的固定光滑轴转动，细棒与桌面的滑动摩擦系数为摩擦系数为 ，现给细棒一初角速度，现给细棒一初角速度0 ，oL0解：解：细棒作定轴转动，细棒作定轴转动，之所以停下来是之所以停下来是由于受到阻力矩的作用，由于受到阻力矩的作用，阻力矩是由谁产生的？阻力矩是由谁产生的？重力，支持力，摩擦力重力，支持力，摩擦力摩擦力力矩如何计算？摩擦力力矩如何计算？求：求：细棒

35、停止运动所转过的角度。细棒停止运动所转过的角度。46oL0dxxfd摩擦力力矩如何计算？摩擦力力矩如何计算？细棒与平面接触的各处都受细棒与平面接触的各处都受摩擦力，需要用积分法来计算摩擦力，需要用积分法来计算dMM在细棒上距轴在细棒上距轴 x 处取一长为处取一长为dx 质元质元该质元所受摩擦力为该质元所受摩擦力为dmgdf对轴对轴o 的力臂为的力臂为xr dmgxdMdxLmdm 方向垂直棒长方向方向垂直棒长方向质元质元 dm所受摩擦力力矩所受摩擦力力矩47oL0dxxfdgdmxdMMdmgxdMdxLmdm 整个细棒所受摩擦力力矩整个细棒所受摩擦力力矩dxxLmgML0221LLmgmgL

36、21与时间无关的恒力矩与时间无关的恒力矩48oL0dxxfdmgLM21与时间无关的恒力矩与时间无关的恒力矩2122212121JJMd由由刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理0201，20210JM202312121mLmgL231mLJ gL320491. 质点的角动量质点的角动量定义定义: 质点质点m对点对点O的的prL vmrOxyzrv d moxyzLrmvijkxyzmvmvmv 注意注意:(1) L 是矢量是矢量.(2)质点的角动量是对参考质点的角动量是对参考 点而言的点而言的.(3)其大小可以表达为其大小可以表达为 大小大小: 方向满足方向满足.四四. 刚体的角动量刚

37、体的角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律50用用r 叉乘上式两边叉乘上式两边)( vmdtdrFr vmdtrdvmdtdrvmrdtd )()(且且0 vvvdtrd故故作用于质点的合力对参考作用于质点的合力对参考点点O的力矩的力矩 , 等于质点对等于质点对该点该点O的角动量对时间的的角动量对时间的变化率变化率.则则)(vmrdtdFr 而而vmrL FrM , ,tLMdd 质点在平面上质点在平面上作圆周运动作圆周运动,质点对质点对O的的角动量大小为角动量大小为:zov mr若考虑方向有若考虑方向有 JmrL 22. 质点的角动量定理质点的角动量定理dtvmdF)( 51上式还可写为上式还

38、可写为LtMdd M dt 叫叫。积分形式积分形式:1221LLdtMtt 对同一参考点对同一参考点O,质点所质点所受的冲量矩等于质点角动受的冲量矩等于质点角动量的增量量的增量.1.M1.M和和L L应对同一参考点。应对同一参考点。2.2.定律只适用于惯性系。定律只适用于惯性系。用用r 叉乘上式两边叉乘上式两边)(vmdtdrFr vmdtrdvmdtdrvmrdtd )()(且且0 vvvdtrd故故作用于质点的合力对参考作用于质点的合力对参考点点O的力矩的力矩 , 等于质点对等于质点对该点该点O的角动量对时间的角动量对时间的变化率的变化率.则则)(vmrdtdFr 而而vmrL FrM ,

39、 ,tLMdd 523. 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律若若 M = 0, 则则恒矢量恒矢量 vmrL即当质点所受对参考点即当质点所受对参考点O的合力矩为零时的合力矩为零时,质点对质点对该参考点该参考点O的角动量为一的角动量为一恒矢量恒矢量.iiiioFoF;注意注意 ( (如如。 F / r但过参考点但过参考点( )( )上式还可写为上式还可写为LtMdd M dt 叫叫。积分形式积分形式:1221LLdtMtt 对同一参考点对同一参考点O,质点所质点所受的冲量矩等于质点角动受的冲量矩等于质点角动量的增量量的增量.1.M1.M和和L L应对同一参考点。应对同一参考点。2.2.定律只

40、适用于惯性系。定律只适用于惯性系。53质点在同质点在同样外力作用下，对某参考样外力作用下，对某参考点力矩为零，而对另一参点力矩为零，而对另一参考点力矩考点力矩不为零不为零，如圆锥，如圆锥摆对圆心摆对圆心o角动量守恒角动量守恒, 而而对悬点角动量对悬点角动量不守恒不守恒。 3. 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律若若 M = 0, 则则恒矢量恒矢量 vmrL即当质点所受对参考点即当质点所受对参考点O的合力矩为零时的合力矩为零时,质点对质点对该参考点该参考点O的角动量为一的角动量为一恒矢量恒矢量.iiiioFoF;注意注意 如如。 F / r但过参考点但过参考点( )( )54如图所示如图所

41、示,一半径为一半径为R的的光滑圆环置于竖直平面光滑圆环置于竖直平面内内, 有一质量为有一质量为m的小球的小球穿在圆环上穿在圆环上, 并可在圆环并可在圆环上滑动上滑动. 小球开始静止于小球开始静止于圆环上的圆环上的A点点(该点通过该点通过环心环心O的水平面上的水平面上), 然后然后从从点点A开始下滑开始下滑.设小球设小球与圆环间的摩擦略去不与圆环间的摩擦略去不计计.求小球滑求小球滑到点到点B时对时对环心环心O的角动量和角速度的角动量和角速度. ARO B A OPTv小球受重力小球受重力P,支持力支持力T 作用作用为为:tLMdd 由由(方向向里方向向里)M = mgR cos 55有有dtdL

42、mgR cos又又dtd dgRmLdLcos32 2dmRdtdL 2mRL , ,由由: t=0, 0= 0, L0= 0 LdgRmLdL0032cos sin21322gRmL 即即 sin2132242gRmRm ARO B A OPTv小球受重力小球受重力P,支持力支持力T 作用作用为为:tLMdd 由由(方向向里方向向里)M = mgR cos 562/1sin2 Rg4.刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量如图如图刚体上的一个刚体上的一个质元质元 mi 对对z轴轴(或或O点点)的角的角动量为动量为Zivirim iiiiiimrvmrL2 JL 有有dtdLmgR cos又

43、又dtd dgRmLdLcos32 2dmRdtdL 2mRL , ,由由: t=0, 0= 0, L0= 0 LdgRmLdL0032cos sin21322gRmL 即即 sin2132242gRmRm 57刚体对刚体对z轴的角动量轴的角动量 iiiirmLL 2 J 5.刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理对质元对质元i)(2 iiiirmdtddtdLM 内内外外iiiMMM 外外内内外外iiiiMMMM对所有质元求和对所有质元求和: )(iiLdtdMM外外而而刚体的内力矩和为零刚体的内力矩和为零.2/1sin2 Rg4.刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量如图如图刚

44、体上的一个刚体上的一个质元质元 mi 对对z轴轴(或或O点点)的角的角动量为动量为Zivirim iiiiiimrvmrL2 JL 58刚体绕某定轴转动时刚体绕某定轴转动时,作用作用于刚体的合外力矩等于刚于刚体的合外力矩等于刚体绕此定轴的角动量随时体绕此定轴的角动量随时间的变化率间的变化率.由由)( JdtddtdLM 当当J为恒量时为恒量时dMJJdt转动定律的另一种表达转动定律的另一种表达形式形式.)( Jdtd dtdL 刚体对刚体对z轴的角动量轴的角动量 iiiirmLL 2 J 5.刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理对质元对质元i)(2 iiiirmdtddtdLM 内

45、内外外iiiMMM 外外内内外外iiiiMMMM对所有质元求和对所有质元求和: )(iiLdtdMM外外而刚体的内力矩和为零而刚体的内力矩和为零.59再看再看 : Mdt = dL两边积分两边积分:21121LttLMdtdLLL1122 JJ ttMdt1作用在物体上的作用在物体上的等于物体角动量的增量等于物体角动量的增量.刚体绕某定轴转动时刚体绕某定轴转动时,作用作用于刚体的合外力矩等于刚于刚体的合外力矩等于刚体绕此定轴的角动量随时体绕此定轴的角动量随时间的变化率间的变化率.由由)( JdtddtdLM 当当J为恒量时为恒量时dMJJdt转动定律的另一种表达转动定律的另一种表达形式形式.)

46、( Jdtd dtdL 606.刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律如如: M=0, 则有则有:L = J = 恒量恒量即：即：1. 当当J = 恒量恒量, J = J 0 , 则则 = 0 ,如如:回转仪回转仪, 定向装置定向装置.再看再看 : Mdt = dL两边积分两边积分:21121LttLMdtdLLL1122 JJ ttMdt1作用在物体上的作用在物体上的等于物体角动量的增量等于物体角动量的增量.612 J = J 0 如如: 滑冰运动员旋转时滑冰运动员旋转时两臂收拢转速快。两臂收拢转速快。在有心力作用下的质点在有心力作用下的质点其角动量守恒其角动量守恒.如如:天体天体的运动的

47、运动,电子的绕核运动电子的绕核运动,合外力都不为零合外力都不为零,则则动量动量不守恒不守恒,但角动量守恒但角动量守恒.若刚体由几部分组成若刚体由几部分组成, 角动量守恒时角动量守恒时,如一部如一部 分运动分运动,则其它部分必则其它部分必 反向运动反向运动.6.刚体的角动量守恒定刚体的角动量守恒定律律如如: M=0, 则有则有:L = J = 恒量恒量即：即：1. 当当J = 恒量恒量, J = J 0 , 则则 = 0 ,如如:回转仪回转仪, 定向装置定向装置.62 细杆长为细杆长为l可绕可绕O点转点转动动,当细杆水平静止时当细杆水平静止时,小虫小虫以速率以速率v0垂直落到距点垂直落到距点O为

48、为l/4处处,并向并向A点爬行点爬行.设小虫设小虫和细杆质量都为和细杆质量都为m.细杆以细杆以恒定的角速度转动恒定的角速度转动,小虫的小虫的爬行速率为多少爬行速率为多少?O Av0APr 2 J = J 0 如如: 滑冰运动员旋转时滑冰运动员旋转时两臂收拢转速快。两臂收拢转速快。在有心力作用下的质点在有心力作用下的质点其角动量守恒其角动量守恒.如如:天体天体的运动的运动,电子的绕核运动电子的绕核运动,合外力都不为零合外力都不为零,则则动量动量不守恒不守恒,但角动量守恒但角动量守恒.若刚体由几部分组成若刚体由几部分组成, 角动量守恒时角动量守恒时,如一部如一部 分运动分运动,则其它部分必则其它部分必 反向运动反向运动.63 22041214lmmllmv小虫与细杆的碰撞为小虫与细杆的碰撞为完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞,且