专题6.3基本不等式试题

1、专题6.3基本不等式思维导图6国+加之加也当H仅当口二b时取仁川基本不等式“>(h4口4。之Zjg,当且仅当"二册取不.门 2 r n +5好+ h*0 > 0, b > 0% -« Juft1 44 J1,122员佰定理已知 x叫 丁>0. M若工+t为定疸*,用当且徨当工=j时，枳不有最大值三(赭记，和定权蒙大);4若科为定值八削当且仅当才=T»t利M后者小值jEiH*器定费最小).考向分新考向一配凑型【例1】(1)已知0<x<1,则x(4 3x)取得最大值时x的值为.1 一 ，f (x) x (x 2)在 xx 2a处取最

2、小值，则a等于(A. 3B.,3C-1D. 4(3) (2019 云南)已知b 0,则2a a b的最小值为()A 4 44B.C. 33 8a a2 b2D- 3.2(4)已知xx2 7xx 1的值域为_一一2【答案】(1)3 A (3) B(4) 9，)当且仅当3x=4-3x,2,什x=w时，取33x+ 43x43'1 一一 一 .1【解析】(1) x(4 -3x) = - - (3x)(4 -3x) <- - 331 2x 2当且仅当时,即当3时，等号成立，因此,3,故选:A.b)0 , 2a4(a b) a b (a b)(4)设 t x 1 由 x2x2 7x 10x

3、1 t函数y2 (a b)a4b6,当且仅当a1 知，t 0, x(t 1)2 7(t 1)4 （当且仅当tx2 7x 10x 1 (x(a b)2,a10 t2时，等号成立）.1）的值域为9,).a1b 2(a1b) 2a b1时等号成立.故选B.5,(2)当 x 2 时，x【举一反三】1.函数y = -1 的最大值为 x+ 3+<x 11【解析】 y =x 1,当x 1 = 0时,x 1+ 4 +"x 1y= 0,当 x1>0 时，y=三w士 =1,44十 1 5山一11Vx-14”,等号成立，即x=5时,.1x- 1ymax= 1.511 ，一 ，八1,b 0,a

4、b 2,则 ，的最小值为（a 1 2bCA. 3 5B, 3 7 22。21【答案】A【解析】由题意知 a 1,b 0,a b 2,可得:(a 1) b1,a则1a 112b11(a 1) b(a 1 2ba 1 b2b a 1a 1 b2b a 1当且仅当2b12bb-b时，等号成立,a 1. .一 3 的取小值为一、2。故选:2A.考向二条件型【例2】(1) (2019 云南)已知正数y满足4x1 ，的最小值为(yA. 8B. 12C.10D. 9(2) (2019 河北)已知 m 0,xy2时，不等式2 m /一 4恒成立，则x ym的取值范围是(1)D (2)Bb. 2,C.正数x、y

5、满足4x等号成立的条件为(2)因为0,根据不等式性质得到:4x4xxy4x4xy x_y x故答案为:2,D.所以2 xmx2yx12 2m m222 .因为不等式一x一4恒成立，所以 y-252m m 24,整理得2、'm 3、2Jm,20,解得【举一反三】1. （2019 贵州高一期末）已知正实数 a, b满足aA. 4B. 6C. 9【答案】C41【斛析】a 0, b 0, a 1, b aba且仅当ab 土，a 1ab时，即a 3,时取“ ”.故答案选c4a1b 6b2. （2019 黑龙江）已知 x 0, y 0,且 2x 8y围是（）A. （ ,12B. （,14C.（【答

6、案】D288【解析】由2x 8y xy 0得：一 一 1 0,即- yxx8 2c2x8y2x y x y82 10x yy x八八八2x八 8y -Q x > 0 , y 00 , 0yx2x8y_ 2x 8y0 2x8y印2 2J 8 （当且仅当，SIyxy xyxx y 10 8 18 （当且仅当x 2y时取等号）a 18本题正确选项：D3. （2019 四川高一期末）已知正数 x、y满足x yA. 2B. 9C. 14231,则一b的最小值为（）baD. 1041,44-b5 ab52j-ab9,当baababxy 0 ,若不等式a x y恒成立，则实数a的范,16D. （,18

7、；211 1（y!x 8yy xx 2y时取等号）. 14 ，一1 1 ,则的取小值为（）x 1 yD. 54【答案】B【解析】Qx y 1 ,所以，x （1 y） 2 ,1414 、 4x 1 y c 4x 1 y则 2()x (1 y)()-5 2 -g J 5 9, x 1 yx 1 y 1 y x1 y x24x 1 y x149,所以，x fa，当且仅当 3 ,，一,1 y x ,即当 3时，等号成立,1x y 1y 3一 14. .9因此，一的最小值为-,x 1 y2故选：B .4. （2019 广东高二期中（文）已知a11 , 一，1,b 0,a b 2,则 ，的最小值为（a 1

8、 2b【答案】AC. 3 2、2D.,217【解析】由题意知a 1,b 0,a b 2,可得：(a 1) b 1,a 1 0,而 11 rz .、11、.1 a 1 b 3 c 1 a 1 b 3/-贝U (a 1) b( -) 1 - - 2J - 22 ,a 1 2ba 1 2b 2 2b a 1 2 2b a 12当且仅当 U -b时，等号成立，2b a 11 1 . 一 一 3一则的取小值为一J2。故选：A.a 1 2b2考向三换元型【例3】（2019 浙江高一期末）已知 a 0, b 0,且2a b ab 1,则a 2b的最小值为A. 5 2 ,6B. 8、. 2C. 5D. 9【答

9、案】A3 一 一【解析】由 2a b ab 1 得 a 1-0 ,解得b 2.所以b 2a 2b5 b32 22 b 25 2、6,当且仅当2-6时等号成立2.故本小题选A.【举一反三】1.若正数X、y满足X4y xy4，一的最大值为（x yA. 25B.C. 12D.【解析】正数x、y满足x 4yxy0,4,.故选：B.2已知正实数a, b满足a2b+4W0,则2a+3bu =系丁的最小值为 y - x5 2 (x 4)，一一 4的最大值为-914【答案】5【解析】 a22b+ 4< 0,b> a+ 4,a+ b> a2+ a+ 4.又a, b>0,a+ b'

10、 a2+ a+ 4'a+ba2+a+4'2a+3bU=Ta+ b3-0+b>3-a2+a+4 = 3- a+1 a14>3-=4-=2、/ a.g+1考向五实际运用【例5】某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800m3,深度为3m.如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为【答案】160【解析】设水池底面一边的长度为xm ,则另一边的长度为 4800 m ,3x由题意可得水池总造价 f x 150 4800 120 2 3x 2 3 4800 33x1600240000 720 x x 0 ,x皿

11、 r16001600则 f x 720 x240000 720 2 x 240000720 2 40 240000 297600,当且仅当x 1600-,即x 40时，f x有最小值297600, x此时另一边的长度为 4800 40m, 3x因此，当水池的底面周长为 160m时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元,故答案为160.【举一反三】1 .某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800m3,深度为3m.如果池底每1m2的造价为150元,池壁每1m2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为 m.【答案】160【解析】设水池底面一边的长度为xm ,则另一边

12、的长度为 4800 m ,3x由题意可得水池总造价f x4800150120 2 3x348003x1600240000 720 x x 0 ,x1600720 x x2400001600720 2 x x240000720 2 40 240000 297600,当且仅当x 1600 ,即x 40时，f x有最小值297600, x此时另一边的长度为 空00 40m , 3x因此，当水池的底面周长为 160m时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元,故答案为160.1 . （2019 吉林）若函数f (x) x1,(x 2)在x2a处取最小值,则a等于（A. 3B.、.3D.【解析】当

13、x2时,0,则当且仅当2.（2019 黑龙江）设正实数A. 8B.【解析】设b,2x2时，即当x, y满足x163时，等号成立，因此，a1 ，一-,y 1 ,不等式24x22y2x 1C.2,20 ,xD.3,故选：A.m恒成立，则m的最大值为（）4.2 4x2所以4xy 12 ab当且仅当a_ 4x2所以y 12x 1abb 1 即x 2,y2一的最小值是2x 13. (2019 山西)已知a 0,值是1 b 1abab 2a I ab2 kb焉篇2 2 21时取等号8 ,则m的最大值为8.故选Ab 0 , a , b的等比中项是1,且m1a 1，则m n的最小【解析】a, b的等比中项是1

14、 ab 1.11 ,m n b - a 2b 2a 2 4ab 4 ab当a b 1时等号成立.故答案为4, x 2x y , 一4. （2019 天津高三月考（文）已知x, y为正实数，则 1的最小值为x 2y x【答案】3 、22-0,则上式变为 x1 y【解析】原式 12yx x11 2t11 11 2t 22t2t112tt 互时等号成立，故最小值为1 2t 222y 1 一5. （2019 浙江）已知正数 x, y满足x 2y 3,则1 的最小值 x 2y1 2、33【解析】Q x 2y 3,2y 1 2y x 2yx 2y x 6y2y上L.-2|可1x 6y 3 x 6y 31

15、2.33'9 3 32，y3'3 3时取等号, 4当且仅当2y上，即xx 6y2y1的最小值为一Z3. x 2y3故答案为：L必叵.36（2018 苏北四市考试）已知实数x, y满足x2+y2=3, | x| w| y| ,则一1-2+42的最小值是 2x+ yx 2y【答案】9【解析】 由函数f(x)=ax2+bx,得f' (x) = 2ax+b,【解析】由已知可得2x+y22y=1, 151 42x+ y 2 x-2y 22x+y 2+ x 2y 21TZ* 2+152x + y2x- 2y2x- 2y 4 2x + y2+22x+y x- 2y当且仅当|x2y|

16、=之2 x+y|时取等号. 一131 .7右头数x, y满足xy+3x=3 0<x<-,则- + 的取小值为2 x y-3【答案】83 一 1 一,一【解析】由已知得，x=-又0<x<-,可得y>3, y十323 .1 一 11 ,一一+= y + 3 + = y - 3 +-+ 6 封 23 / y 一 3x y-3 ' y-3 ' y-3 j '331当且仅当 y = 4 x = 7 时，x+y3 min=8.1y-3卜 6 = 8,8.在 ABC3,ABCW面积为2,则sin2sin C sin B4, 吊+京飞的最小值为.1.兀C

17、/口，CA=二bcsin =2,得 bc=8, 262sin C*4上b2+ 4 18 -2=2-23当且仅当b=2, c=4时，等号成立.9.已知函数f (x) = ax2+bx( a>0, b>0)的图象在点(1, f (1)处的切线的斜率为8a + b2,则卞的最小值是因为函数f(x)的图象在点(1 , f(1)处的切线斜率为 2,所以 f' (1) = 2a + b= 2,所以8a+b 18 118r= -+ r= 二+ z (2 a+ b) =- 10+二+ ab a b 2 a b v 12 ab 16a1>2 10+2ba16a1b =2(10+8)=9

18、,当且仅当b=等，即a=1, b=4时等号成立, a b338a + b 所以的的最小值为9.10.已知函数f（x） = ex在点（0,f（0）处的切线为l ,动点（a, b）在直线l上，则2a+2-的最小值是由题意得 f ' (x) = ex, f (0) =e0=1,k= f' (0) = e0= 1.所以切线方程为y- 1 = x- 0,即x-y+ 1 = 0, .a b+1 = 0) - a b =+ 2 b > 2 '2a - 2 b = 2 * 2a = 221 = j2,11 , _当且仅当a=-2, b=2时取等号11 （2019 江西）已知正数

19、x, y满足x5,则1，的最小值为1 y 2则x:“=”)0,y 2 0,1，-的最小值为y 212. （2019 甘肃高二期末（理）【解析】a by2x1已知a,b,c（当且仅当x 1即x 3,y 2时取(0,1， 一的取小值为cb)( b c1 .c)b c -时等号成立.3故答案为91913. （2019 浙江）已知正实数x,y满足x+ y+ 3=xy ,则x y的最小值为【解析】由题得x+ y+ 3= xy(x y)2423所以(x y)2 4(x y) -120,所以(x y 6)(x y 2) 0,所以x+y > 6或x+y < -2（舍去），所以x+y的最小值为6.当且仅当x=y=3时取等.故答案为：6114. （2019 浙江）设正数 a,b满足a2 4b2 4,则a ; b ab1【答案】12221211【斛析】a 4ba 2b 4ab 2 4a